b
c
b cd
cd
ab , ac , ad , bc , bd , cd
d
(6个)
概念讲解
（二）、组合数
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所
有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m
个元素的组合数，用符号
C
m n
表示.
注意：
Cnm 是一个数，应该把它与“组合”区别开来．
如:从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素
解：（1）取出3个球中有黑球的方法数
C72
7 6 21 2!
Cm n1
Cnm (不含元素a)
C m1 n
(含元素a)
例1 计算：（1）C74和 C73
（2）C1300 和 C939 C929
例2．计算：
C73
C74
C85
C
6 9
解：原式＝ (C73 C74 ) C85 C96 C84 C85 C96 (C84 C85 ) C96 C95 C96 C160 C140
A C A 根据分步计数原理， 3 4
3
4
3 3.
A 从而 C A
3
3
C4 3 4
P4 3
34
P3 3 3
概念讲解 （三）、组合数公式
排列与组合是有区别的，但它们又有联系．
一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的 排列数，可以分为以下2步：
第1步，先求出从这n个不同元素中取出m个
元素的组合数 C．nm
多少种车票?
排列问题
有多少种不同的火车票价？ 组合问题
组合是选择的结果，排列 是选择后再排序的结果.
概念理解
1.从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的所 有组合分别是: ab , ac , bc (3个)
2.已知4个元素a , b , c , d ,写出每次取出两个元
素的所有组合.
a
m
1)!
m 1
n!
(m 1)! (n m )(n m 1)!
n! m !(n
m)!
C
m n
.
例题讲解
例．一个口袋内装有大小不同的7个白球和1个黑球.（1） 从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种 取法？（2）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球， 有多少种取法？ （3）从口袋内取出3个球，共有多少 种取法？
的所有组合个数是:
C32 3
如:已知4个元素a 、b 、 c 、 d ,写出每次取出 两个元素的所有组合个数是： C42 6
练一练
1.写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有 组合
c bd ac d b cd
abc ， abd ， acd ，bcd .
组合 abc
排列
abc bac cab acb bca cba
abd
abd bad dab
你发现ad了b bda dba
acd
什么ac?d cad dac
adc cda dca
bcd cbd dbc
bcd
bdc cdb dcb
（三个元素的）1个组合，对应着6个排列
A3
对于 4 ，我们可以按照以下步骤进行
C 第一步， 3 （ 4）个； 4
A 第二步， 3 （ 6）个； 3
m!(n m 1)!
m!(n m 1)!
(n 1)! m!(n m 1)!
Cm n 1
Cm n1
Cnm
Cnm1
⑵
Cm n1
Cnm
C m1 n
①公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数 之和，等于下标比原下标多1而上标与大的相同 的一个组合数；
②此性质的作用：恒等变形，简化运算；
③等式体现：“含与不含某元素”的分类思想.
有
顺
Hale Waihona Puke 序排列问题二
从已知的3个 不同元素中 每次取出2个 元素,并成一 组
无
顺
组合
序
（一）、组合的定义:
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n） 个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个组合.
?
排列与组合的 概念有什么共 同点与不同点？
概念讲解
排列定义: 一般地，从n个不同元素中取出m (m≤n) 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不 同元素中取出 m 个元素的一个排列.
１）元素相同； ２）元素排列顺序相同.
元素相同
思考三:组合与排列有联系吗?
构造排列分成两步完成，先取后排； 而构造组合就是其中一个步骤.
判断下列问题是组合问题还是排列问题?
(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的
子集有多少个?
组合问题
(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备
组合定义: 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n） 个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元 素的一个组合．
共同点: 都要“从n个不同元素中任取m个元素”
不同点: 排列与元素的顺序有关， 而组合则与元素的顺序无关.
概念理解 思考一:aB与Ba是相同的排列 还
是相同的组合?为什么?
思考二:两个相同的排列有什么特点?两个相同 的组合呢?
第2步，求每一个组合中m个元素的全排列数 Amm．
根据分步计数原理，得到：Anm Cnm Amm
因此：C
m n
Anm Amm
nn 1n 2
m!
n m 1
这里m,n是自然数，且 mn ，这个公式叫做组合
数公式．
从 n个不同元中取出m个元素的排列数
A C A m m m
n
n
m
组合数公式:
Cnm
Anm Amm
n(n 1)(n 2)L m!
(n m 1)
Cnm
n! m!(n m)!
我
们
规
定
：
C n0
1.
组合数的两个性质:
⑴
Cnm
C nm n
⑵
Cm n1
Cnm
C m1 n
证明:
Q
Cnm
C m1 n
n! m!(n
m)!
(m
n! 1)![n
(m
1)]!
n!(n m 1) n!m (n m 1 m)n!
组合与组合数公式
问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参 加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的 活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不 同的选法？
A32 6
问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参 加某天一项活动，有多少种不同的选法？
甲、乙；甲、丙；乙、丙 3
问题一
从已知的3 个不同元素 中每次取出 2个元素,按 照一定的顺 序排成一列.
1098 7 210 4!
巩固练习
1．方程 C2x8
C3x 28
8
的解集为（
D
）
A ．4
B ．9
C ．
D ．4,9
2．若 Cn10 Cn8 ，则 C2n0 的值为 190
例
求证
:
C
m n
m 1 nm
C
m n
1
.
证明:
Cm n
m
（!
n！ nm
）!
,
m 1 nm
C
m n
1
m 1 nm
(m
n! 1)!(n