2020—2021学年度第一学期阶段检测试卷数 学一、选择题：（共8小题，每题5分，共40分）1. i 为虚数单位， 512iz i=+， 则的共轭复数为 （ ）A. 2i - B ．2i + C. 2i -- D ．2i -+2．函数2()ln 1f x x x=-+的零点所在的大致区间是（ ）A ．(2,)eB ． (1,2)C ．(,3)eD ．(3,)+∞3.已知集合A ＝{x ｜lg （x －2）＜1}，集合B ＝{x ｜x 2－2x －3＜0}，则A∪B 等于（ ） A ．（2，12） B ．（一1，3） C ．（一1，12） D ．（2，3）4. 指数函数（，且）在上是减函数，则函数在其定义域上的单调性为（ ）A ．单调递增B ．单调递减C ．在上递增，在上递减 D ．在上递减，在上递增5. 已知函数f (x )＝若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0] 6..设函数f(x)=xIn,则函数的图像可能为( )7.对于给定的复数z ，若满足42z i -=的复数对应的点的轨迹是椭圆，则1z -的取值范围是（ ）A ．2⎤-+⎦B ．1⎤+⎦C.2⎤+⎦ D ．1⎤+⎦8.平面向量 a = ( 2 , 1 ) ,| b | = 2 , a ·b =4,则向量 a , b 夹角的余弦值为 A.255 B.45 C.55 D.15 二、多项选择题（共4小题，每题5分，选对不全得3分） 9. 下列函数中，在其定义域内是偶函数的有( ) A. y =xcosx , B. y =e x +x 2 C. y =lg √x 2−2 D. y =xsinx10. 给出四个选项能推出1a <1b 的有( )A. b>0>aB. 0>a >bC. a >0>bD. a >b>011.如图所示,在长方体ABCD−A 1B 1C 1D 1,若AB=BC,E,F 分别是A B 1,B C 1的中点,则下列结论中不成立的是( )A. EF 与BB 1垂直B. EF ⊥平面BDD 1B 1C. EF 与C 1D 所成的角为450D. EF ∥平面A 1B 1C 1D 112. 已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,当x <0时,f (x )=e x (x +1),则下列命题正确的是( )A. 当x >0时,f (x )=−e −x (x −1)B. 函数f (x )有3个零点C. f (x )<0的解集为(−∞,−1)∪(0,1)D. ∀x 1,x 2∈R,都有|f (x 1)−f (x 2)|<2三、填空题：（共4小题，每题5分，计20分）13.如图，某种螺帽是由一个半径为2的半球体挖去一个正三棱锥构成的几何体，该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面大圆，顶点在半球面上，则被挖去的正三棱锥体积为________．14. 函数e x y mx =-在区间(]0,3上有两个零点，则m 的取值范围是_________15. 已知函数f (x )＝x 3－ax ＋1，g (x )＝3x －2，若函数F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≥g (x )，g (x )，f (x )＜g (x )，有三个零点，则实数a 的取值范围是 ．16. 在ABC ∆中，若tan tan 3tan tan A AB C+=，则sin A 的最大值为_____. 四、计算题：17.已知二次函数f (x )满足f (x )= f (-4-x ),f (0)=3，若x 1 x 2是f (x )的两个零点,且|x 1− x 2|=2.(I)求f (x )的解析式; .(I)若x >0,求g(x )=xf(x)的最大值。

18.已知f (x )是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,且当x >0时, f (x )={3x −7,0<x ≤2|x −5|−1,x >2 g(x )=f (x )-a .(1)若函数g(x )恰有三个不相同的零点,求实数a 的值;(2)记h (a )为函数g(x )的所有零点之和.当-1<a <1时,求h(a )的取值范围.19.有甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪80元，送餐员每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内(含40单)的部分送餐员每单抽成6元，超过40单的部分送餐员每单抽成7元．现从这两家公司各随机选取一名送餐员，分别记录其50天的送餐单送餐单数 38 39 40 41 42 甲公司天数 10 10 15 10 5 乙公司天数1015 10 105 (1)从记录甲公司的50天送餐单数中随机抽取3天，求这3天的送餐单数都不小于40单的概率；(2)假设同一个公司的送餐员一天的送餐单数相同，将频率视为概率，回答下列两个问题：(ⅰ)求乙公司送餐员日工资的分布列和数学期望；(∪)小张打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日均工资的角度考虑，小张应选择哪家公司应聘？说明你的理由．20. 如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，FA FC =，且60DAB DBF ∠=∠=︒． （1）求证：AC ⊥平面BDEF ；（2）求直线AD 与平面AEF 所成角的正弦值．21.已知函数f (x )=kx -xInx ,k ∪R.(1)当k =2时,求函数f (x )的单调区间;(2)当0<x ≤l 时,f (x )≤k 恒成立,求k 的取值范围; (3)设n ∪N + ,求证:ln12+ln23+⋯…lnnn+1 ≤n （n−1）42020——2021学年度第一学期阶段检测数学参考答案1.A2.B3.C4.C5.D6.B7.A8.A9. CD 10.ABD 11.ABD 12.CD13. 2 3 14. 3e e,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ 15. a ＞3518 16.17.解(I):f(x)=f(-4-x), x 1 x 2是f(x) 的两个零点,且|x 1 x 2|= 2. f(x)的对称轴为: x=-2,可得x 1=-3, x 2=-1 设f(x)= a(x+3)(x+1) (a≠0) 由f(0)=3a=3得a=1,.f(x)=x 2+4x+3 (II)∪g(x)=xf(x) =xx 2+4x+3 =1x+3x+4 ≤4+2√3 =1-√32当且仅当x=3x ,即x=√3时等号成立。

∪g(x)的最大值是1-√3218. (1)作出函数f(x)的图象,如图,由图象可知,当且仅当a=2或a=-2时,直线y=a 与函数y=f(x)的图象有三个不同的交点,∪当且仅当a=2或a=-2时，函数g(x)恰有三个不相同的零点.(2)由f(x)的图象可知，当-1<a<1时,g(x)有6个不同的零点设这6个零点从左到右依次为x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6,则x 1+ x 2=-10, x 5+ x 6=10, x 3是方程−3x +7-a=0的解, x 4是方程−3x -7-a=0的解.∪h(a)= -10-log 3(7-a) +log 3 (7+a)+ 10=log 3 7+a7−a当-1<a<1时，7+a 7−a =147−a −1∪(34 ,43)∪h(a)∪(1-2l log 32,2log 32-1)∪当-1<a<1时,h(a)的取值范围为( 1-2log 32,2log 32-1).19(1)由表知，50天送餐单数中有30天的送餐单数不小于40单，记抽取的3天送餐单数都不小于40为事件A ，则P (A )＝C 330C 350＝29140(2)(ⅰ)设乙公司送餐员的送餐单数为n ，日工资为X 元，则当n ＝38时，X ＝38×6＝228；当n ＝39时，X ＝39×6＝234；当n ＝40时，X ＝40×6＝240；当n ＝41时，X ＝40×6＋7＝247；当n ＝42时，X ＝40×6＋14＝254.所以X 的分布列为E ()X ＝228×15＋234×310＋240×15＋247×15＋254×110＝238.6. (ⅱ)依题意，甲公司送餐员的日平均送餐单数为38×0.2＋39×0.2＋40×0.3＋41×0.2＋42×0.1＝39.8， 所以甲公司送餐员的日平均工资为80＋4×39.8＝239.2元， 因为238.6<239.2，所以小张应选择甲公司应聘．（意对即可）20. （1）设AC 与BD 相交于点O ，连接FO ，∵四边形ABCD 为菱形，∴AC BD ⊥，且O 为AC 中点， ∵FA FC =，∴AC FO ⊥,又FO BD O =，∴AC ⊥平面BDEF（2）连接DF ，∵四边形BDEF 为菱形，且60DBF ∠=︒，∴DBF ∆为等边三角形， ∵O 为BD 中点，∴FO BD ⊥，又AC FO ⊥，∴FO ⊥平面ABCD . ∵,,OA OB OF 两两垂直，∴建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示， ∴()()()3,0,0,0,1,0,0,1,0,A B D F -,DB EF DB EF =(0,2,3)E -∴(()(),3,0,3,0,2,0AF AD EF =-=-=.(),,n x y z =320AF n x EF n y ⎧⋅=-+⎪⎨⋅==⎪⎩，得()1,0,1n =.设直线AD 与平面6,4AD n AD n AD n⋅==⋅21.解: (1)当k=2时，f(x)-2x-xlnx, f[x)-1-Inx, 由(x)>0，解得0<x<e; 由f(x)<0, 解得x>e,因此函数f(x)单调递增区间为(0,e), 单调递减区间为(e ，+∞) (2) f(x)=kx-xinx, 故f(x)=k-1-lnx.当k≥1时，因为0<x≤l,所以k-1≥0≥Inx,因此/(x)≥0恒成立，即f(x)在(0，1]上单调递增，所以f(x)≤f(1)=k恒成立.当k<1时，令f(x)=0, 解得x=e x−1∪(0，1). .当x∪(0，e x−1), f(x)>0, f(x)单调递增;当x∪(e x−1, 1), (x)<0, f(x)单调递减;于是f(e x−1)>f(1)=k，与f(x)≤k 恒成立相矛盾.综上，k的取值范围为[1，+∞).(3)由(2)知，当0<x≤1时，x-xlnx≤1.令x=1n2(n∪N+)，则1n2+2n2lnn≤1 即2lnn≤n2-I, .因此lnnn+1≤n−12所以ln12+ ln22+ ……+ lnnn+1≤ 02+ 12… +n−12= n(n−1)4。