公开课教案
教者龚桂琼科目数学班级12级数一班课题两个重要极限（一）课型
时间地点
教材分析
《两个重要极限》是在学生学习了数列的极限、函数的极限以及函数极限的四则运算法则的基础上进行研究的，它是解决极限计算问题的一个有效工具，也是今后研究初等函数求导公式的一个工具，所以两个重要极限是后继学习的重要基础。
学情分析
一方面，学生已经学习了函数的极限以及函数极限的运算法则，会用因式分解约去非零因子、有理化分子或分母这两种方法计算“
0型”函数的极限，具备了接受新知识的基础；另一方面，学生理性思维能力相对较弱，对函数极限概念的理解还比较浅显，运用极限思维解决问题的能力有限。
教学目标
知识与技能：让学生了解公式1
sin
lim
=
→x
x
x
的证明过程，正确理解公式，知道公式应用的条件，熟练运用公式及其变形式解决有关函数极限的计算。
过程与方法：通过教师引导，学生观察、实验、猜想、分析讨论和练习，培养学生观察、归纳、举一反三的能力，进一步认识换元法、转化思想、数型结合思想在数学解题中的重要作用。
情感态度与价值观：通过对这一重要极限公式的研究，进一步认识数学的美，激发学生的学习兴趣；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维品质。
教学重点
正确理解公式1
sin
lim
=
→x
x
x
，并能运用公式及其变形式解决有关函数极限的计算。
教学难点
公式1sin lim
0=→x
x
x 的证明、公式及其变形式灵活运用。
教法学法
本节课采用实验法、讨论法以及讲练结合的教学方法。
通过复习函
数极限的定义以及函数极限的运算法则，配以适当的练习，强化学生对极限概念的理解和运算能力。
在公式的引入上通过设疑引导学生尝试、讨论、猜想，并借助多媒体动画帮助学生理解结论，锻炼学生运用数学工具解决数学问题的意识，提高学生的学习兴趣。
对于公式的证明，所涉及的内容比较多，逻辑性较强，在老师的引导下了解论证过程。
在公式的运用上按照循序渐进的原则，设计梯度、降低难度，留出学生的思考空间，让学生去尝试、联想、探索，以独立思考和相互交流相结合的形式，在教师的指导下分析和解决问题，帮助学生获得成功的体验。
课前准备 教师：多媒体课件；学生：计算器。
教学环节 教 学 内 容
师生双边活动 复习导入
1、说说当0x x →时，函数)(x f 的极限的定义。
如果当x 无限接近于定值0x 时，函数)(x f 无限接近于一个确定的常数A ，那么A 称为函数)(x f 当0x x →时的极限，记作A x f x x =→)(lim 0。
2、A x f x x =→)(lim 0
的充要条件是什么？
A x f x x =→)(lim 0
⇔ )(lim 0
x f x x -→=A x f x x =+→)(lim 0
3、说出函数极限的四则运算法则。
B A x g x f x g x f B x g A x f +=+=+==)(lim )(lim )]()(lim[,
)(lim ,)(lim :1则设法则
B A x g x f x g x f B x g A x f ⋅=⋅=⋅==)]([lim )]([lim )]()(lim[,
)(lim ,)(lim 2则：设法则
B
A x g x f x g x f
B B x g A x f =
=≠==)(lim )(lim )()(lim ,0,)(lim ,)(lim 3则且：设法则
教师引导，
学生回忆口述，为了解公式的证明、正确计算有关函数极限作铺垫，达到温故知新的目
的。
新授
4、求下列函数的极限：①
3
5
lim
2
0-
+
→x
x
x
；②
2
4
lim
2
2-
-
→x
x
x
③
1
1
lim
2
2
0-
+
→x
x
x
一、问题的提出
“
型”极限的计算方法，到目前为止，我们学过
因式分解约去非零因子，有理化分子或分母这两种方法。
是不是所有的“
型”都可以用这两种方法解决呢？
问题：如何求
x
x
x
sin
lim
→
？
（学生使用计算器进行实验）
二、动态演示，验证猜想
OA
BC
x
AB
x
x
AOB
O⊥
=
<
<
=
∠作
则弧
，设
作单位圆,
),
2
0(,
π
于C，则x
BC sin
=，拖动点B，改变x的大小，观察
x
x
sin
值的变化趋势。
得出结论：1
sin
lim
=
→x
x
x
三、证明猜想
过程见课本
52
51
P
P-
强调：①极限中函数
x
x
sin
的分子分母都是当0
→
x时
的无穷小。
学生分组巩
固练习
设疑激趣
分组讨论
教师视情况
引导学生使
用计算器代
入进行近似
计算，并猜
想。
利用几何画
板事先制作
课件，拖动
动点，让学
生观察比值
的变化，验
证猜想。
体
会数形结合
思想的作用
教师讲授证
明过程，学
②这里的自变量x 是用弧度度量的，以后引用这个极限时必须用弧度作单位。
③在利用这个极限求较复杂函数的极限时，必须注意所有含有自变量的表达形式应一致。
④1sin lim 0=→x
x x 四、公式的应用
例1：求⑴ x x x 3sin lim 0→ ⑵ x
x
x tan lim 0→
解：⑴ =→x x x 3sin lim
03
1131sin lim 31)sin 31(lim 00=⋅==⋅→→x x x x x x
⑵ x x x tan lim
0→=)cos 1sin (lim 0x x x x ⋅→=x
x x x x cos 1
lim
sin lim 00→→⋅ =111=⨯
回顾反思：1、求此类函数的极限其关键是把此函数转化为x x
sin 与另一个函数的乘积，若另一个函数的极限可求，则可求出此函数的极限。
2、当
为等价无穷小、、时，x x x x tan sin 0→。
如1sin tan lim
0=→x
x
x 。
例2：求 ⑴ x x x 3sin lim
0→ ⑵ x
x x 2sin 3tan lim 0→
解：⑴ ()x
x x x x x 33sin 3lim 3sin lim 00⋅=→→=3x x
x 33sin lim 03→=3 ⑵ x x x 2sin 3tan lim 0→=⎪⎭
⎫
⋅⋅ ⎝⎛→x x x x x 2sin 233tan 23lim 0 =x
x
x x x x 2sin 2lim
33tan lim 230203→→⋅⋅ 生理解识
记，记住公
式特征。
教师引导鼓励学生发表观点。
第（1）小题学生独立思考，第
（2）小题教师引导并板书。
学生尝试，
教师引导。
体会换元
法、转化思想在数学解题中的重要
=2
3
回顾反思：1、此例用到了变量替换（换元），变量替换后一定要注意变量的变化趋势可能会发生变化。
2、函数变形后要注意系数的变化，防止计算错误。
3、一般地b
a
bx ax x =
→sin lim
0，b
a
bx ax x =
→tan lim
0， b
a bx ax x =→sin tan lim 0。
例3：求 2
0cos 1lim
x x
x -→
解：20cos 1lim x x x -→=2
202sin 2lim
x x x →=2
0222sin lim 21⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛
→x x x =21 回顾反思：利用公式1sin lim
0=→x
x x 求函数极限，有时不仅
要进行变量替换，还要利用三角函数公式进行变形。
作用。
师生回顾归
纳交流解题经验
综合运用，提高分析、解决问题的
能力
课堂练习
练习：求下列极限： ③ x x x 5sin lim 0→ ② x
x
x 3tan lim 0→
③ x x x 3tan 5sin lim
0→ ④ 202cos 1lim x
x
x -→ 小结
1． 正确、灵活地运用公式1sin lim
0=→x
x
x 。
2． 当为等价无穷小、、
时，x x x x tan sin 0→。
3． 运用换元法时须注意自变量的变化趋势的改变和系数的变化。
4. 利用此公式求极限时，一定要注意变量的变化趋势，不能一概而论，造成思维定势，如求0sin lim
=∞→x
x
x 。
作业P
A组1
54。