南京航空航天大学金城学院《控制系统工程》（《自控》48学时）习题册班级………..…………….学号……….……………..姓名……………………..第五章 频率特性法习题5-1 单位反馈控制系统的开环传递函数110)(+=s s G ，当下列信号作用在系统输入端时，求系统的稳态输出。

(1) )30sin()(︒+=t t r (2) )452cos(2)(︒-=t t r(3) )452cos(2)30sin()(︒--︒+=t t t r 解：本题注意事项：一定要用闭环传递函数求模求角，计算角度一定要看象限（1）1110)(+=Φs s ，1110)(+=Φωωj j ， ︒-∠=-∠=+=Φ-19.5905.0111122101110)1(1tg j j )8.24sin(905.0)19.530sin(905.0)(︒+=︒-︒+=t t t c ss (2)︒-∠=+=Φ3.10894.011210)2(j j )3.552cos(788.1)(︒-=t t c ss（3）)3.552cos(788.1)8.24sin(905.0︒--︒+=t t c ss 5-2 设控制系统的开环传递函数如下，试绘制各系统的开环幅相频率特性曲线和开环对数频率特性曲线。

(1))15)(5(750)(++=s s s s G (2) )100s 8s (s )1s (1000)s (G 2+++= (3) 13110)(++=s s s G 解：（1）起点s 10，︒-∞∠90；终点3750s，︒-∠2700；交点5.0)75(-=j G （2）起点s 10，︒-∞∠90；终点21000s ，︒-∠1800； 交点)100927()1(1000)(232-++-=s s s s s s G ，南京航空航天大学金城学院《控制系统工程》（《自控》48学时）习题册班级………..…………….学号……….……………..姓名……………………..)]92()1007[()1(1000)(222ωωωωωω--++=j j j G ，03.13)92(j j G -= （3）起点1；终点，3.33，与坐标轴无交点；曲线在第一象限(1)(2)南京航空航天大学金城学院《控制系统工程》（《自控》48学时）习题册班级………..…………….学号……….……………..姓名……………………..5-4 最小相位系统对数幅频特性曲线如图所示，试写出他们的传递函数。

解：(a)11.010)(+=s s G (b)105.01.0)(+=s s s G (c))101.0)(1100(100)(++=s s s s G (d))101.0)(11.0)(1(19.251)(+++=s s s s G （书后答案有误）(a) (b)(c) (d) (3)南京航空航天大学金城学院《控制系统工程》（《自控》48学时）习题册班级………..…………….学号……….……………..姓名…………………….. 5-5 试由下述幅值和相角计算公式确定最小相位系统的开环传递函数。

(1) 3)1( ),10arctan()5.0arctan()2arctan(90=ω-ω+ω-︒-=ϕA(2) 10)5( ),1.0arctan(arctan )5arctan(180=ω-ω-ω+︒-=ϕA 解： (1) 由相角公式可得)110)(12()15.0()(+++=s s s s k s G ， 由3101525.1)110)(12()15.0()1(=⨯=+++=k j j j j k A 得k=60.3 (2) 由相角公式可得)11.0)(1()15()(2+++=s s s s k s G ， 由1025.12625626)1.50)(15(25-)125()5(=⨯=+++=k j j j k A 得k=56.96 5-6 画出下列传递函数的极坐标图。

这些曲线是否穿越实轴？若穿越，求出与实轴交点的频率ω及相应的幅值)(ωj G 。

(1) )21)(1(1)(s s s G ++= (2) )21)(1(1)(s s s s G ++= (3) )1(1)(2s s s G += (4) )s 005.01(s s 02.01()s (G 2++=） 解：（1）无穿越 （2）交点67.0)71.0(-=j G（3）无穿越 （4）无穿越南京航空航天大学金城学院《控制系统工程》（《自控》48学时）习题册班级………..…………….学号……….……………..姓名…………………….. 5-7开环系统的奈氏曲线如图所示，其中p为s的右半平面上开环根的个数， 为开环积分环节的个数，试判断系统的稳定性。

(a) (b) (c)(e) (f) (g) 解：对型别不为零的补圆得下图：(a)z=p-2N=0-2(-1)=2 系统不稳定，有2个特征根在s右半平面(b)系统为2型要补180度，z=0-0=0稳定(c) z=p-2N=-2(-1)=2不稳定(e) z=p-2N=-2(1-1)=0(f) z=p-2N=-2(1-1)=0 稳定(g) z=p-2N=1-2(0.5)=0 稳定南京航空航天大学金城学院《控制系统工程》（《自控》48学时）习题册班级………..…………….学号……….……………..姓名……………………..5-8 系统的开环传递函数如下，试绘制各系统的开环对数频率特性曲线，并用近似法求出幅值穿越频率c ω。

(1))1.01)(5.01(10)(s s s s G ++= (2))11.001.0()5.01(10)(2+++=s s s s s G 解：(1)c j G s s G ωωωωω，它不是得，令时，10110)(10)(20===≈<< c j G s s G ωωωωω之间，是，在得，令时，102472.4120)(20)(10222-===≈<<（2）南京航空航天大学金城学院《控制系统工程》（《自控》48学时）习题册班级………..…………….学号……….……………..姓名……………………..c j G s s G ωωωωω，它不是得，令时，10110)(10)(20===≈<< c s G ωω，没有时，5)(102≈<< c 22.36.221500)j (G s 500)s (G 10ω=ω=ω=ω≈∞<ω<，它是得，令时， 5-10 某反馈控制系统的开环传递函数为)1()1(10)(+-=s s s s G ， 试画出系统的奈奎斯特曲线，并判断闭环系统的稳定性。

解：起点：︒-∞∠-≈27010)(，s s G ；终点：︒-∠≈90010)(，ss G 交点：)12()1(10)(22++-=s s s s s G ，]2)1[()1(10)(22ωωωωωj j j G +-+-=，10)(=j G补圆前 补圆后 5-11 反馈控制系统开环奈奎斯特曲线如图所示，设开环增益50=K ，且在右半平面无开环极点，试确定使闭环系统稳定的K 值范围。

解：k=1时实轴上的交点为-0.1、-0.04、-0.01 所以k 不定时交点为-0.1k 、-0.04k 、-0.01k 令z=p-2N=0-2N=0，N 必须为零， 当0.1k<1时N=0；当0.04k>1且0.01k<1时 N=1-1=0，最终答案：0<k<10；25<k<100 5-13 反馈控制系统的特征方程是010)3(423=++++s K Ks s ，试确定使闭环系统稳定的K 值范围。

南京航空航天大学金城学院《控制系统工程》（《自控》48学时）习题册班级………..…………….学号……….……………..姓名……………………..解：特征方程可写为0103)14(13=++++s s s ks ，由劳斯判据得等效开环传递函数的p=2 交点参数k j G 48.1)92.1(-=，要使z=p-2N=2-2N=0应有N=1，即1.48k>1,k>0.68 5-14 系统的开环传递函数为)11.0)(1()(++=s s s K s G ，分别求当开环放大倍数5=K 和20=K 时，系统的相位裕量和幅值裕量，并判断闭环系统的稳定性。

解： k=5时4545.0)10(-=j G ，dB dB k g 85.64545.0lg 201=-=；︒=8.10236.2）（γ，稳定。

k=20时818.1)10(-=j G ，dB dB k g 19.5818.1lg 202-=-=； ︒-=49.11472.4）（γ，不稳定。

5-15 单位反馈系统的开环传递函数为)1()3()(-+=s s s K s G ，试用奈奎斯特判据确定使闭环系统稳定的K 值范围。

解：起点：s k s G -≈3)(，︒-∞∠270；终点：sk s G ≈)(，0︒-∠90； 交点：分子分母同乘以(s+1)，)1()34()(22-++=s s s s k s G南京航空航天大学金城学院《控制系统工程》（《自控》48学时）习题册班级………..…………….学号……….……………..姓名……………………..)1(]4)3[()(22+-+-=ωωωωωj j k j G ，k j G -=)3(， 令z=p-2N=1-2N=0，N 必须为0.5，由图可见k>1即可。

5-16 单位反馈控制系统的开环传递函数为)1)(21()21()(s s s s G ++-=，试用奈奎斯特稳定判据判断闭环系统的稳定性，并求出增益裕量g K 。

解：将分子有理化得158441)(232+++-=s s s s s G ， )81()45(41)(222ωωωωω-+-+=j j G 3/2)118.1(-=j G ，z=p=2N=0-2(0-0)=0系统稳定。

5.1=g k 5-17 某最小相位系统的开环对数幅频特性如图所示，要求：(1) 写出系统开环传递函数；(2) 利用相位裕量判断系统稳定性； (3) 将其对数幅频特性向右平移十倍频，试讨论对系统性能的影响。

解：（1）由图可得：)105.0)(110(10)(++=s s s s G （2）由近似方法求截止频率： 21)(ss G ≈，令1112==c s ω得 0848.205.010*******>︒=--︒-︒=--tg tg γ 稳定。

（3）此时)1005.0)(1(100)(++=s s s s G ，10=c ω，不变γ，稳定性不变， 由于截止频率变大，所以快速性变好，响应速度加快。