抛物线与几何图形的结合是各地中考考察的重点，下面分层次将各知识点的结合归纳为下列专题： 一．抛物线中线段最值求法1．如图抛物线y=ax2+bx(a>0)经过A(3,3)和B(2,0)其顶点为c,AC 与Y 轴交于点D (1) 求a ，b 的值。

(2) 点P 是线段OA 上的动点，过P 作y 轴的平行线交抛物线于H,当线段PH 最长时，求P的坐标和PH 的最大值。

2.直线BC 交X 轴，y 轴于B （3,0）C （0,3）且抛物线于另一点A。

（1） 求直线BC 和抛物线的的解析式（2） 设P （x ，y ）是（1）中抛物线上的一动点，过P 作直线L ⊥ x 轴于M 交直线BC于N ，若点P 在第一象限了内，线段PN 的长度为h.试求出h 与x 的函数关系式，h 是否存在最大值？若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由。

3. 已知如图，抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与点A重合），过点P作PD ∥y轴交直线AC于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；（3）△APD能否构成直角三角形？若能请直接写出点P坐标，若不能请说明理由；（4）在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA-MC|最大？若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由．4.已知，如图抛物线y＝ax2＋3ax＋c(a>0)与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在B点左侧．点B的坐标为(1,0)，OC＝3OB.(1)求抛物线的解析式；(2)若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD的面积的最大值；(3)若点E在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．二．二次函数图形中面积求法1.如图，直线AB ：y=kx+3过点（-2，4）与抛物线y= 21x2交于A 、B 两点； （1）直接写出点A 、点B 的坐标；（2）在直线AB 的下方的抛物线上求点P ，使△ABP 的面积等于52.如图，二次函数y=ax2+bx+c 的图象与x 轴交于A 、B 两点，且A 点坐标为（-3，0），抛物线顶点P 的纵坐标为-4，经过B 点的一次函数y=x-1的图象交抛物线于点D ．（1）求抛物线的解析式；（2）求当二次函数值小于一次函数值时，x 的取值范围；（3）求△BPD 的面积．3.如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E 运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．4.如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx-4（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣2，0）、C（8，0）两点，与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D．（1）求该二次函数的解析式；（2）如图1，连结BC，在线段BC上是否存在点E，使得△CDE为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，若点P（m，n）是该二次函数图象上的一个动点（其中m＞0，n＜0），连结PB，PD，BD，求△BDP面积的最大值及此时点P的坐标．三．抛物线与勾股定理1.如图抛物线y=x2-2x-3的顶点为A,与y轴交于点B,与x轴交于C ,D(C在D的左侧)２.如图抛物线ｙ＝－ｘ２＋２ｘ＋３交ｘ轴于Ａ，Ｂ。

交ｙ轴于Ｃ其对称轴为ｘ＝１，ｄｉ点Ｐ为直线ｘ＝１上一点当ＰＡ＝ＰＣ时，求点Ｐ的坐标3.如图，抛物线y=-x2+3x+4于x轴交于A，B两点，与y轴交于点C。

点P为抛物线上一点，是否存在点P，使得△ACP是已AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条4.如图抛物线y=-x2-2x+3交x轴于点B（-3，0 ）交y轴于C（0，3）P是对称轴X=-1上一个动的，若△BPC为直角三角形，求点P的坐标。

四．抛物线与等腰三角形1．如图，二次函数y=x 2-x-2的图象交x 轴于A （ -1， 0），B 两点，交y 轴于C （0 ，-2）点P 在x 轴正半轴上，且PA=PC 。

2.如图，抛物线y= -21x 2-x+4与X 轴交于点A 和B ，与Ｙ轴交于点Ｃ，平行于Ｘ轴的动直线Ｌ与该抛物线交于点Ｐ，与直线ＡＣ交于点Ｆ，点Ｄ坐标（－２， ０），问是否有直线Ｌ使得△ＯＤＦ是等腰直角三角形？若存在，请求出Ｐ的坐标。

若不存在，请说明理由。

３．如图，抛物线ｙ＝－83ｘ２＋43ｘ＋３与ｘ轴交于Ａ，Ｂ两点，与ｙ轴交于点Ｃ，在ｙ轴上是否存在点Ｍ使得△ＡＣＭ为等腰三角形，若存在，求出符合条件的Ｍ坐标，若不存在，请说明理由。

４．如图，二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ－４的图象与ｘ轴交于Ａ（－２ ，０）Ｃ（８，０）两点与ｙ轴交于点Ｂ，其对称轴与ｘ轴交于点点Ｄ （１）求二次函数解析式（２）连接ＢＣ，在线段ＢＣ上是否存在点Ｅ，使得△ＣＤＥ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Ｅ的坐标，若不存在，请说明理由。

五．抛物线中两点之间线段最短的运用1.如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴为x ＝1，且抛物线经过A （—1，0）、C （0，—3）两点，与x 轴交于另一点B ． （1）求这条抛物线所对应的函数关系式；（2）在抛物线的对称轴x ＝1上求一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，并求出此时点M 的坐标；2.已知抛物线y=82(x+2)(x-4)与x 轴交于点A ，B （点A 位于B 的左则），与y 轴交于点C 。

CD ∥x 轴交抛物线于点D 。

M 为抛物线的顶点。

（1）求点A ，B ，C 的坐标（2）设动的N （-2，n ）求使MN+BN 的值最小时n 的值。

3.如图。

抛物线y= -x 2+2x+3交x 轴于A ，B ，与y 轴交于点C 。

抛物线的顶点为D ，点C 关于抛物线对称轴的对称点为E ，在x 轴，y 轴上是否存在点Ｇ，Ｆ使得四边形ＥＤＦＧ周长最小，若存在，求出点Ｇ，Ｆ的坐标，若不存在，请说明理由。

AMDCBxyO AD C BxyO六．抛物线与全等1.如图，抛物线L：y=ax2+bx+c与x轴交于A，B（3,0）两点（A 在B的左侧），与y轴交于C（0,3），已知对称轴x=1.（1）求抛物线的解析式：（2）将抛物线L向下平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的定点落在△OBC内（包括△OBC的边界），求h的范围；（3）设点P是抛物线L上任意点，点Q在直线l：x= -3上△ＰＢＱ能否成为以点Ｐ为直角顶点的等要直角三角形？若能，求出符合条件的点Ｐ的坐标；若不能，请说明理由七．抛物线解析式中含有一个参数的问题1．(2017孝感）在平面直角坐标系xOy 中，规定：抛物线y=a （x ﹣h ）2+k 的伴随直线为y=a （x ﹣h ）+k ．例如：抛物线y=2（x +1）2﹣3的伴随直线为y=2（x +1）﹣3，即y=2x ﹣1．（1）在上面规定下，抛物线y=（x +1）2﹣4的顶点坐标为 （﹣1，﹣4） ，伴随直线为 y=x ﹣3 ，抛物线y=（x +1）2﹣4与其伴随直线的交点坐标为 （0，﹣3） 和 （﹣1，﹣4） ；（2）如图，顶点在第一象限的抛物线y=m （x ﹣1）2﹣4m 与其伴随直线相交于点A ，B （点A 在点B 的右侧），与x 轴交于点C ，D ． ①若∠CAB=90°，求m 的值；②如果点P （x ，y ）是直线BC 上方抛物线上的一个动点，△PBC 的面积记为S ，当S 取得最大值时，求m 的值．2.如图：关于x 的二次函数y=x 2-2mx+m 2+m 的图象与直线y=x+2交于两点A ，B 。

（1） 求A 。

B 两点坐标（用 m 的代数式表示） （2） 求线段AB 的长（3） 设P 为线段AB 下方抛物线上的动的。

过P 作PH ∥y 轴交AB 于H 。

当点P 的横坐标X=1时，线段PH 长度存在最大值，求m 的值。

A B XY H OP3.已知。

抛物线y=21x 2+mx-2m-2(m ≧0)与x 轴交于A ，B 两点。

点A 在点B 的左边与y 轴交于点C 。

（1） 求点A,B,C 的坐标（用m 的代数式表示）（2） 抛物线上有点D （-1，n ）,若△ACD 的面积为5，求m 的值4．如图，已知二次函数y=m 2x 2﹣2mx ﹣3（m 是常数，m ＞0）的图象与x 轴分别相交于点A 、B （点A 位于点B 的左侧），与y 轴交于点C ，对称轴为直线l ．点C 关于l 的对称点为D ，连接AD ．点E 为该函数图象上一点，AB 平分∠DAE ．（1）①线段AB 的长为 ．②求点E 的坐标；（①、②中的结论均用含m 的代数式表示）（2）设M 是该函数图象上一点，点N 在l 上．探索：是否存在点M ．使得以A 、E 、M 、N 为顶点的四边形是矩形？如果存在，求出点M 坐标；如果不存在，说明理由．A B O x y5．如图，抛物线y=a （x-1）（x-3）与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴的正半轴交于点C ，其顶点为D ．（1）写出C ，D 两点的坐标（用含a 的式子表示）； （2）设S△BCD：S△ABD=k ，求k 的值；（3）当△BCD 是直角三角形时，求对应抛物线的解析式．。