所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。

高中数学椭圆的知识总结1.椭圆的定义：平面内一个动点P 到两个定点12,F F 的距离之和等于常数（12122PF PF a F F +=>），这个动点P 的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距.注意：若1212PF PF F F +=，则动点P 的轨迹为线段12F F ；若1212PF PF F F +<，则动点P 的轨迹无图形.（1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+by a x （222a b c =+）⇔{cos sin x a y b ϕϕ==（参数方程，其中ϕ为参数），焦点在y 轴上时2222bx a y +＝1（0a b >>）。

2. 椭圆的几何性质：（1）椭圆（以12222=+bya x （0ab >>）为例）：①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为2a ，短轴长为2b ； ④离心率：ce a=，椭圆⇔01e <<，e越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。

⑥（2）.点与椭圆的位置关系：①点00(,)P x y 在椭圆外⇔2200221x y a b+>；②点00(,)P x y 在椭圆上⇔220220by a x +＝1；③点00(,)P x y 在椭圆内⇔2200221x y a b +<3．直线与圆锥曲线的位置关系：（1）相交：0∆>⇔直线与椭圆相交；（2）相切：0∆=⇔直线与椭圆相切； （3）相离：0∆<⇔直线与椭圆相离；如:直线y ―kx ―1=0与椭圆2215x y m+=恒有公共点，则m 的取值范围是_______； 4.焦点三角形（椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形）5.弦长公式：若直线y kx b =+与圆锥曲线相交于两点A 、B ，且12,x x 分别为A 、B 的横坐标，则AB ＝2121kx x +-，若12,y y 分别为A 、B 的纵坐标，则AB ＝21211y y k-+，若弦AB 所在直线方程设为x ky b =+，则AB ＝2121ky y +-。

6.圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。

在椭圆12222=+b y a x 中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=－0202y a x b ； 如（1）如果椭圆221369x y +=弦被点A （4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是 ； （2）已知直线y=－x+1与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>相交于A 、B 两点，且线段AB 的中点在直线L ：x －2y=0上，则此椭圆的离心率为_______；（3）试确定m 的取值范围，使得椭圆13422=+y x 上有不同的两点关于直线m x y +=4对称；特别提醒：因为0∆>是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0∆>！椭圆知识点的应用 1.如何确定椭圆的标准方程？任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴。

当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，椭圆的方程才是标准方程形式。

此时，椭圆焦点在坐标轴上。

确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件b a ,；一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。

2.椭圆标准方程中的三个量c b a ,,的几何意义椭圆标准方程中，c b a ,,三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的。

分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：)0(>>b a ，)0(>>c a ，且)(222c b a +=。

可借助右图理解记忆：c b a ,,恰构成一个直角三角形的三条边，其中a 是斜边，b 、c 为两条直角边。

3．如何由椭圆标准方程判断焦点位置椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看2x ，2y 的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。

4．方程均不为零）C B A C By Ax ,,(22=+是表示椭圆的条件方程C By Ax =+22可化为122=+CBy C Ax ，即122=+BC By A C x ，所以只有A 、B 、C 同号，且A ≠B 时，方程表示椭圆。

当B C A C >时，椭圆的焦点在x 轴上；当BCA C <时，椭圆的焦点在y 轴上。

5．求椭圆标准方程的常用方法：①待定系数法：由已知条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数c b a ,,的值。

其主要步骤是“先定型，再定量”；②定义法：由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。

6．共焦点的椭圆标准方程形式上的差异所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。

共焦点，则c 相同。

与椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 共焦点的椭圆方程可设为12222=+++mb y m a x )(2b m ->，此类问题常用待定系数法求解。

7．判断曲线关于x 轴、y 轴、原点对称的依据：① 若把曲线方程中的x 换成x -，方程不变，则曲线关于y 轴对称； ② 若把曲线方程中的y 换成y -，方程不变，则曲线关于x 轴对称；③ 若把曲线方程中的x 、y 同时换成x -、y -，方程不变，则曲线关于原点对称。

8．如何求解与焦点三角形△PF 1F 2（P 为椭圆上的点）有关的计算问题？思路分析：与焦点三角形△PF 1F 2有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式2121sin 2121PF F PF PF S F PF ∠⨯⨯=∆相结合的方法进行计算解题。

将有关线段2121F F PF PF 、、，有关角21PF F ∠ (21PF F ∠≤21BF F ∠)结合起来，建立21PF PF +、21PF PF ⨯之间的关系. 9．如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系？长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。

离心率)10(<<=e ace ，因为222b a c -=，0>>c a ，用b a 、表示为)10()(12<<-=e abe 。

显然：当a b 越小时，)10(<<e e 越大，椭圆形状越扁；当ab越大，)10(<<e e 越小，椭圆形状越趋近于圆。

题型1:椭圆定义的运用例1.已知1,F F 为椭圆221259x y +=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点若2212F A F B +=，则AB =______.例2.如果方程222x ky +=表示焦点在x 轴的椭圆，那么实数k 的取值范围是____________.例3.已知P 为椭圆2212516x y +=上的一点，,M N 分别为圆22(3)1x y ++=和圆22(3)4x y -+=上的点，则PM PN +的最小值为题型2： 求椭圆的标准方程例1、求满足下列各条件的椭圆的标准方程. (1)经过两点2),(A B --；(2)经过点(2，－3)且与椭圆229436x y +=具有共同的焦点；(3)一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为 4. 题型3:求椭圆的离心率例1、ABC ∆中，30,2,oABCA AB S ∠===若以,A B 为焦点的椭圆经过点C ，则椭圆的离心率为 .例2、过椭圆的一个焦点2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于P ，若 12F PF ∆为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为题型4:椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）例1.已知实数,x y 满足22142x y +=,则22x y x +-的范围为 例2.已知点,A B 是椭圆22221x y m n+=（0,0m n >>）上两点,且AO BO λ=,则λ=题型5：焦点三角形问题例1.已知12,F F 为椭圆22194x y +=的两个焦点，p 为椭圆上的一点，已知12,,P F F 为一个直角三角形的三个顶点，且12PF PF >,求12PF PF 的值. 例2.已知12,F F 为椭圆C:22184x y +=的两个焦点，在C 上满足12PF PF ⊥的点的个数为 . 例3.已知椭圆的焦点是)1,0(),1,0(21F F -,且离心率1e 2= ① 求椭圆的方程; ② 设点P 在椭圆上,且121=-PF PF ,求cos 21PF F ∠.所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。

题型6: 三角代换的应用例1.椭圆221169x y +=上的点到直线l:90x y +-=的距离的最小值为___________． 例2.椭圆221169x y +=的内接矩形的面积的最大值为 题型7：直线与椭圆的位置关系的判断例1.当m 为何值时，直线y x m =+与椭圆221169x y +=相交？相切？相离？ 例2.若直线)(1R k kx y ∈+=与椭圆1522=+my x 恒有公共点，求实数m 的取值范围； 题型8：弦长问题例1.求直线24y x =-被椭圆224199x y +=所截得的弦长. 例2.已知椭圆2212xy +=的左右焦点分别为F 1,F 2，若过点P （0，-2）及F 1的直线交椭圆于A,B 两点，求⊿ABF 2的面积；题型9：中点弦问题 例1. 求以椭圆22185x y+=内的点A （2，-1）为中点的弦所在的直线方程。

例2.中心在原点，一个焦点为1(0,50)F 的椭圆截直线32y x =- 所得弦的中点横坐标为12，求椭圆的方程．例3.椭圆221mx ny +=与直线1x y += 相交于A 、B 两点，点C 是AB 的中点．若22AB = ，OC 的斜率为22（O 为原点），求椭圆的方程．巩固训练1. 如图,椭圆中心在原点,F 是左焦点,直线1AB 与BF 交于D,且o1=90BDB ∠,则椭圆的离心率为2.设12,F F 为椭圆2214x y +=的两焦点，P 在椭圆上，当12F PF ∆面积为1时，12PF PF ⋅的值为 3.椭圆221369x y +=的一条弦被()4,2A 平分,那么这条弦所在的直线方程是 4. 若12,F F 为椭圆的两个焦点,P 为椭圆上一点,若122112::1:2:3PF F PF F F PF ∠∠∠=, 则此椭圆的离心率为5.在平面直角坐标系中，椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的焦距为2c ，以O 为圆心，a 为半径的圆，过点2(,0)a c作圆的两切线互相垂直，则离心率e = ．双曲线基本知识点双曲线标准方程（焦点在x 轴） )0,0(12222>>=-b a b y a x 标准方程（焦点在y 轴）)0,0(12222>>=-b a bx a y 定义定义：平面内与两个定点1F ，2F 的距离的差的绝对值是常数（小于12F F ）的点的轨迹叫双曲线。