ln Yt B1 B2t ut (5 18)

形如（5-18）的回归模型称为半对数模型。 注意，在满足OLS基本假定的条件下，能够用OLS方法来估计 模型（5-18）。根据表5-4提供的数据，得到如下回归结果：
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Dependent Variable: LOG(Y) Method: Least Squares Sample: 1975 2007 Included observations: 33 Variable C T R-squared Adjusted R-squared Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
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5.4.2 线性趋势模型

线性趋势模型：

Yt=B1+B2t+ut
(5-23)

即Y对时间t的回归，其中t按时间先后顺序 计算。时间t称为趋势变量。
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5.4.2 线性趋势模型

根据表5-4提供的数据，拟合的回归方程如下：
ˆ 209 Y .6731 2.7570 t t

t=(287.4376) (73.6450) r2=0.9943 回归结果表明，在样本区间内，美国人口每年 绝对增长为2.757（百万）。因此，在此期间， 美国人口有一个向上的趋势。
12.26708 0.010748 0.998163 0.998104
0.001614 8.28E-05
7601.801 129.7794
0 0 12.4498 0.104024
Mean dependent var S.D. dependent var
S.E. of regression
Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat


经济学家、企业家和政府部门都很关 注经济变量的增长率。 半对数模型又称为增长模型，通常我 们用这类模型来测度许多变量的增长 率。
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例5.4 1975-2007年间美国人口增长率 （ P108）

我们现在要求在此期间的美国人口增长率（Y）。 复利计算公式：
Yt Y0 (1 r )t .......... ..........化量等于乘以 的相对变化量。 因而，若 X X 每变化0.01个单位（或1%），则Y的绝对改变量为 0.01（B2）
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5.6 双曲线模型

双曲函数模型：
1 Yi B1 B2 X ui ...(5 28) i
该模型的显著特征：随着X的无限增大，Y 将逐渐接近B1 渐进值（asymptotic value)或极限值。
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5.6 双曲线模型
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5.6 双曲线模型



在图5-3a中，若Y表示生产的平均固定成本 （AFC），也即总固定成本除以产出，X代表产 出，则根据经济理论，随着产出的不断增加， AFC将逐渐降低，最终接近其渐进线。 图5-3b描绘了恩格尔消费曲线（Engel expenditure curve)：消费者对某一商品的支 出占其总收入或总消费支出的比例。该商品有以 下特征（1）收入有一个临界值（2）消费有一个 满足水平。 图5-3c描绘了菲利普斯曲线(Philips curve)。Y 表示英国货币工资变化的百分比，X表示失业率。
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例5.3 对能源的需求（P107）

表5-3给出了1960-1982年间7个OECD 国家的总最终能源需求指数（Y）、实际 GDP（ X2 ）、实际能源价格（ X3）的数 据。所有指数均以1970年为基准 （1970=100）。
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例5.3 对能源的需求
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例5.3 对能源的需求
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5.4 如何测度增长率：半对数模型
由(5-16)式，b2=B2的估计值=ln(1+r) 因此：antilog(b2)=(1+r)即：1+r=exp（ b2） 于是 r= antilog(b2)- 1 即：r= exp（ b2）-1= exp （ 0.0107）-1=1.0108=0.0108 (r 是复利增长率) b2是瞬时增长率， r 是复合增长率。

现令
B1 ln Y0.......... (5 15) .......... .......... ......
B2 ln(1 r ).......... .......... .........( 5 16)

因此，模型（5-14）可表示为： 若引入随机误差项，得到：
ln Yt Bt B2t (5 17)
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5.3 多元对数线性回归模型

三变量对数模型：
ln Yi B1 B2 ln X 2i B3 ln X 3i ui...(5 10)



其中， B2 B3 又称为偏弹性系数。 B2是Y对X2的弹性（X3保持不变）。 B3 是Y对X3的弹性（X2保持不变）。

在多元对数线性模型中，每一个偏斜率系数度量 了在其他变量保持不变的条件下，应变量对某一 解释变量的偏弹性。
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5.5 线性对数模型：解释变量是对数形式

线性对数模型（lin-log model)： 应变量是线性形式而解释变量是对数 形式。 线性对数模型常用于研究解释变量每变动 1%，相应应变量的绝对变化量的情形。


26
例5.5 美国个人消费与服务支出间的关 系（1970-2006年）（P111）

R-squared
Adjusted R-squared S.E. of regression
0.900513
0.888077
Mean dependent var
S.D. dependent var Akaike info criterion
6.221059
0.130161
0.043545 0.015169

弹性的定义： E=
Y Y的变动 % X Y100 Y * X 斜率* X的变动 % X X Y Y X100


需求函数及其对数变形后的图形见图5-1a 和 图5-2b.
5
5.1 如何度量弹性：对数线性模型
6
例5.1 数学成绩一例



在（3-46）式中，我们给出了数学成绩函数，数 学成绩和家庭收入之间是近似线性关系的，因为 并非所有的样本点都恰好落在直线上。 下面，我们看一下，如果用对数线性模型拟合表 5-1给出的数据，情况又会怎样？ 图5-2描绘了（5-8）所表示的回归直线。 双对数模型的假设检验 就假设检验而言，线性模型与双对数模型并没有 什么不同。

选择什么函数形式是一个经验型的问题。 选择模型的规律： 1）根据数据作图，判断模型形式（只适 用于双变量情况）。 2 r 2）不能仅仅根据 选择模型。不是判定系 数越大，方程越好。 3）线性模型的弹性系数随着需求曲线上 的点的不同而变化，而对数线性模型在需 求曲线上任何一点的弹性系数都相同。

其中，Y0----Y的初始值 Yt----第t期的Y值 r-----Y的增长率 （复利率） 将（5-13）式变形，对等式两边取对数，得：
ln Yt ln Y0 t ln(1 r ).......... ........( 5 14)
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例5.4 1970-1999年间美国人口增长率 （ P108）
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例5.2 柯布-道格拉斯生产函数
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例5.2 柯布-道格拉斯生产函数
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例5.2 柯布-道格拉斯生产函数


将（5-11）式中两个弹性系数相加，得到 一个重要的经济参数-----规模报酬参数。 它反映了产出对投入的比例变动。 两个弹性系数和为1-----规模报酬不变。 两个弹性系数和大于1-----规模报酬递增。 两个弹性系数和小于1-----规模报酬递减。


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例5.5 个人总消费支出与服务支出的关系 （1976-2006年）
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例5.5美国个人消费与服务支出间的关系 （1970-2006年）（P111）
ˆ 12564 Y .8 1844 .22ln X t (5 25) t


t=(-13.71) (16.13) r2=0.881 斜率系数1884度量了总消费支出的对数增加一个单位，服务支出 的绝对变化。 回顾一下：对数形式的变化称为相对变化。因此，模型（5-25） 中的斜率度量了： Y的绝对变化量 Y B2 （5 26） X的相对变化量 X X X 式（5-26）也可写为： Y B2 (5 27)
第5章 回归方程的函数形式
5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 如何度量弹性：对数线性模型 线性模型与对数线性模型的比较 多元对数线性回归模型 如何测度增长率：半对数模型 线性对数模型：解释变量是对数形式
1
第5章 回归方程的函数形式



5.6 双曲线模型 5.7 多项式回归模型 5.8 不同函数形式小结 5.9 小结 本章讨论以下几种回归模型： （1）双对数模型 （2）半对数模型 （3）倒数模型 （4）多项式回归模型 （5）过原点的回归模型
2
5.1 如何度量弹性：双对数线性模型

数学分数与家庭收入： 双对数（double-log) 模型/对数线性(loglinear)模型 对（5-5）式可变换 为：
Yi AX iB2 ( 51)

ln Yt B1 B2 ln Xt ut...(5 5)

Yt* B1 B2 X t* ut ...(5 6)
18.26589 1.573399