垂径定理一知识讲解(提高)
【学习目标】
1. 理解圆的对称性；
2 .掌握垂径定理及其推论；
3 •学会运用垂径定理及其推论解决有关的计算、证明和作图问题.
【要点梳理】知识点一、垂径定理
1. 垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧•
2. 推论
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
要点诠释：
(1) 垂径定理是由两个条件推岀两个结论，即
直径1 J平分弦
垂直于弦j n j平分弦所对的弧
(2) 这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.
知识点二、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：
(1)平分弦(该弦不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
(4)圆的两条平行弦所夹的弧相等• 要点诠释：
在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论•(注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分
的弦不能是直径)
【典型例题】
类型一、应用垂径定理进行计算与证明
的半径是______________________
O=如图，。

O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为
E，且AB=CD ,已知CE=1，ED=3 ,则Θ O
【答案】 【解析】 【点评】 举一反三: .5.
作OM 丄AB 于M 、ON 丄CD 于N ,连结 OA ,
T AB=CD , CE=1 , ED=3,
∙∙∙ OM=EN=I , AM=2 , ∙ OA= . 22+12=,5. Y
B
对于垂径定理的使用，一般多用于解决有关半径、弦长、弦心距之间的运算 题• （配合勾股定理）问
【变式1】如图所示，Θ
O 两弦AB CD 垂直相交于 H AH= 4, BH= 6, 【答案】如图所示，过点
MO=HN O 分别作OML AB 于M ONL CD 于 N,则四边形 1 =CN -CH CD -CH 2 1 1 (CH DH ) -CH (3 8) -3 = 2.5 , 2 2 1 1 1
BM AB (BH AH ) (4 6) =5 , 2 2 2 在 Rt △ BOM 中 OB =∙ BM
2 OM 2 = 55 .
2
【高清ID 号： 356965 关联的位置名称(播放点名称)
【变式2】如图，AB 为Θ O 的弦，M 是AB 上一点， C
:例2-例3】
OM= 10Cm 求Θ O 的半径.
【答案】14cm.
【高清ID 号：356965 关联的位置名称(播放点名称)：例2-例3】
▼ 2.已知：Θ O 的半径为10cm,弦AB// CD AB=12cm CD=16cm 求AB CD 间的距离.
【思路点拨】
在Θ O 中，两平行弦ABCD 间的距离就是它们的公垂线段的长度， 若分别作弦ABCD 的弦心距,
则可用弦心距的长表示这两条平行弦
AB CD 间的距离.
【答案与解析】
(1)如图1,当Θ O 的圆心 O 位于AB CD 之间时，作 OMLAB 于点M, 并延长MO
交CD 于 N 点.分别连结AO CO.
∙∙∙ AB// CD
∙ ONL CD 即ON 为弦CD 的弦心距. ■/ AB=12cm CD=16cm AO=OC=10cm
AM= -AB=6cm J CN=- CD=8cm
2 2 ________________________
MN=MO+NO√102-62 +
=8+6 =14(Cm)
图1 图2
(2)
如图2所示，当Θ O 的圆心O 不在两平行弦 AB CD 之间(即弦AB CD 在圆心O 的同侧)时， 同理可得：MN=OM-ON=8-6=2(Cm)
∙∙∙Θ O 中，平行弦 AB CD 间的距离是14cm 或2cm.
【点评】 解这类问题时，要按平行线与圆心间的位置关系，分类讨论，千万别丢解 举一反三：
【变式】在Θ O 中，直径 MNLAB,垂足为C, MN=10 AB=8,则MC= ________________ : 【答案】2或&
类型二、垂径定理的综合应用
&
3.
要测量一个钢板上小孔的直径，通常采用间接的测量方法•如果用一个直径为 IOmm 的标准钢
珠放在小孔上，测得钢珠顶端与小孔平面的距离
h = 8mm 如图所示),求此小孔的直径 d •
N
I
【思路点拨】
此小孔的直径d 就是Θ O 中的弦AB.根据垂径定理构造直角三角形来解决. 【答案与解析】 过O 作MN ⊥ AB,交Θ O 于M N,垂足为 C,
心
1
则 OA 10=5mm , OC= MC-OM= 8— 5 = 3mm
2
在 Rt △ ACO 中, AC= 一 5
2
-32 =4mm ,
AB = 2AC = 2 × 4= 8mm
答：此小孔的直径 d 为8mm 应用垂径定理解题，一般转化为有关半径、弦、弦心距之间的关系与勾股定理的运算问题
不过圆心的直线I 交Θ O 于C 、D 两点，AB 是Θ O 的直径，AE ⊥ I 于E , BF 丄I 于F .
(1) 在下面三个圆中分别画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形； (2)
请你观察(1)中所画图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论
(OA = OB 除外)(不再标注 其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程
);
(3)
请你选择(1)中的一个图形，证明(2)所得出的结论.
【答案与解析】
(1)如图所示,
在图①中AB CD 延长线交于Θ O 外一点;
在图②中AB CD 交于Θ O 内一点;
在图③中
AB// CD
【点评】。