正多边形与圆、弧长与扇形面积一、目标与策略明确学习目标及主要的学习方法就是提高学习效率的首要条件,要做到心中有数!学习目标:● 了解正多边形与圆的有关概念;理解并掌握正多边形半径与边长、边心距、中心角之间的关系,会应用正多边形与圆的有关知识画正多边形.● 通过复习圆的周长、圆的面积公式,探索n °的圆心角所对的弧长180n R l π=与扇形面积2360n R S π=扇的计算公式,并应用这些公式解决问题、● 了解圆锥母线的概念,理解圆锥侧面积计算公式,理解圆锥全面积的计算方法,并会应用公式解决问题、 重点难点:● 重点:正多边形半径与边长、边心距、中心角之间的关系;n °的圆心角所对的弧长180n R l π=,扇形面积2360n R S π=扇及它们的应用;圆锥侧面积与全面积的计算公式. ● 难点:正多边形半径与边长、边心距、中心角之间的关系;弧长与扇形面积公式的应用;由圆的周长与面积迁移到弧长与扇形面积公式的过程;圆锥侧面积与全面积的计算公式. 学习策略:● 要结合图形真正理解掌握相关概念,注意多观察实物模型、多动手、二、学习与应用(一)多边形的内角与公式为 ,多边形的外角与为 、(二)正ｎ边形有 个内角,每一个内角都 ,每一个内角的度数为 、 (三)正n 边形有 个外角,每一个外角都 ,每一个外角度数为 、 (四)正ｎ边形有 条对角线.(五)圆的半径为r ,则其周长为 ,面积为 、知识点一:正多边形的概念各边 ,各角也 的多边形就是正多边形、 “凡事预则立,不预则废”.科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性与针对性.知识要点——预习与课堂学习知识回顾——复习学习新知识之前,瞧瞧您的知识贮备过关了不？判断一个多边形就是否就是正多边形,必须满足两个条件:(1)各边;(2)各角 ;缺一不可、如菱形的各边都相等,矩形的各角都相等,但它们都不就是正多边形(正方形)、知识点二:正多边形的重要元素(一)正多边形的外接圆与圆的内接正多边形正多边形与圆的关系十分密切,只要把一个圆分成的一些弧,就可以作出这个圆的内接正多边形,这个圆就就是这个正多边形的外接圆.(二)正多边形的有关概念(1)一个正多边形的圆的圆心叫做这个正多边形的中心.(２)正多边形圆的半径叫做正多边形的半径.(３)正多边形每一边所对的角叫做正多边形的中心角、(4)正多边形的到正多边形的一边的叫做正多边形的边心距、(三)正多边形的有关计算(1)正n边形每一个内角的度数就是 ;(2)正n边形每个中心角的度数就是;(3)正n边形每个外角的度数就是、知识点三:正多边形的性质(一)正多边形都只有个外接圆,圆有个内接正多边形、(二)正ｎ边形的半径与边心距把正n边形分成个全等的直角三角形、(三)正多边形都就是图形,对称轴的条数与它的数相同,每条对称轴都通过正n边形的;当边数就是偶数时,它也就是对称图形,它的就就是对称中心、知识点四:正多边形的画法(一)用量角器等分圆由于在同圆中相等的圆心角所对的弧相等,因此作相等的圆心角可以等分圆、(二)用尺规等分圆对于一些特殊的正ｎ边形,可以用圆规与直尺作图、知识点五:弧长公式半径为R的圆中360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式: n°的圆心角所对的圆的弧长公式: (弧就是圆的一部分)要点诠释:12360180R R ππ⨯=; (２)公式中的n 表示1°圆心角的倍数,故n 与１8０都不带单位,R 为弧所在圆的半径;(3)弧长公式所涉及的三个量: 、 度数、弧所在圆的 ,知道其中的两个量就可以求出第三个量、 知识点六:扇形面积公式 (一)扇形定义:由组成圆心角的两条 与圆心角所对的 所围成的图形叫做扇形、 (二)扇形面积公式:半径为R 的圆中360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式: n °的圆心角所对的扇形面积公式: 要点诠释:（1） 对于扇形面积公式,关键要理解圆心角就是1°的扇形面积就是圆面积的 ,即221360360R R ππ⨯=; (２)在扇形面积公式中,涉及三个量:扇形 、扇形 、扇形的 ,知道其中的两个量就可以求出第三个量.(３)扇形面积公式12S lR =扇形,可根据题目条件灵活选择使用,它与三角形面积公式12S ah =有点类似,可类比记忆;(4)扇形两个面积公式之间的联系:21136021802n R n R S R lR ππ==⨯⨯=扇形、 知识点七:圆锥的侧面积与全面积连接圆锥 与底面圆上任意一点的 叫做圆锥的母线、圆锥的母线长为l ,底面半径为r ,侧面展开图中的扇形面积圆心角为ｎ°,则圆锥的侧面积 ,全面积 、 要点诠释:扇形的半径就就是圆锥的 ,扇形的弧长就就是圆锥底面圆的 .因此,要求圆锥的侧面积就就是求展开图 形面积,全面积就是由 与 组成的、类型一:正多边形的概念例1、(1)(２０１1江苏南通)比较正五边形与正六边形,可以发现它们的相同点与不同点.例如ﻩ它们的一个相同点:正五边形的各边相等,正六边形的各边也相等、 它们的一个不同点:正五边形不就是中心对称图形,正六边形就是中心对称图形、请您再写出它们的两个相同点与不同点、经典例题-自主学习ﻩ (２)ﻩ不同点:(1)ﻩ (2)(２)如图,在正方形ABCD中,对角线AC、BD交于Ｏ点,若分别以A、B、C、D为圆心,以OA长为半径作弧,分别与各边交于E、F、G、H、K、L、M、N点.求证:八边形EFGHＫLMN就是正八边形、例２、已知:如图,△ABC就是⊙Ｏ的内接等腰三角形,顶角∠A=36°,弦BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB、求证:五边形ＡEＢＣＤ就是正五边形类型二:正多边形的有关计算例3、(1)(20１1广东中山)正八边形的每个内角为( )A.120° B、1３5° Ｃ.1４0° ﻩ D.14４°(2)已知正六边形ＡＢCDEＦ,如图所示,其外接圆的半径就是a,•求正六边形的周长与面积、DEBOM举一反三:【变式1】已知,如图,正八边形ABCDE ＦGH 内接于半径为R 的⊙O ,求这个八边形的面积.探究思考:这个八边形的边长a =?提示:如图所示,当ＯＡ=Ｒ时,2AK OK R ==a = ＝ = =类型三:考查弧长与扇形的计算例4.(1)(2011广东广州)如图4,ＡB 切⊙O 于点B ,OA =２3,ＡB =3,弦BC ∥OA ,则劣弧 ⌒BC的弧长为( ). Ａ.错误!π ﻩB.错误!π ﻩ C.πﻩＤ、错误!π图 4(2)制作弯形管道时,需要先按中心线计算“展直长度”再下料,•试计算如图所示的管道的展直长度,即AB 的长(结果精确到0、１mm )CBO例５、如图,已知扇形ＡO Ｂ的半径为１０,∠ＡＯB =60°,求AB 的长(结果精确到0、1)与扇形ＡOB 的面积(结果精确到０.1).举一反三:【变式1】如图,AB 为O 的直径,CD AB ⊥于点E ,交O 于点D ,OF AC ⊥于点F 、(1)请写出三条与BC 有关的正确结论;(2)当30D ∠=,1BC =时,求圆中阴影部分的面积、类型四:圆锥面积的计算例6.(１)(201１山东泰安)一圆锥的侧面展开图就是半径为2的半圆,则该圆锥的全面积就是( )A 、5π Ｂ、 4π C.３π D.2π(2)圣诞节将近,某家商店正在制作圣诞节的圆锥形纸帽,已知纸帽的底面周长为5８ｃm ,高为20c ｍ,要制作２0顶这样的纸帽至少要用多少平方厘米的纸?(结果精确到0、1cm ２)举一反三:【变式１】如图,圆锥形的烟囱帽的底面直径就是cm 80,母线长cm 50、计算这个烟囱帽侧面展开图的面积及圆心角、CBAO FDE【变式2】如图,已知Ｒt △ABC 的斜边ＡＢ=13ｃm ,一条直角边A Ｃ＝5cm ,以直线ＡB 为轴旋转一周得一个几何体.求这个几何体的表面积.三、总结与测评要想学习成绩好,总结测评少不了！课后复习就是学习不可或缺的环节,它可以帮助我们巩固学习效果,弥补知识缺漏,提高学习能力、(一)首先要结合图形真正理解掌握正多边形及其相关的一些概念;(二)在进行正多边形的有关计算时,要利用由正多边形的半径、边心距及弦的一半组成的直角三角形结合勾股定理进行计算;(三)注意掌握用尺规等分圆的方法画一些特殊的正多边形;(四)注意弧长公式中,n 表示1°的圆心角的倍数,n 与180都不带单位,若圆心角的单位不统一,应先统一单位,化为度;(五)扇形面积公式lR S 21扇与三角形面积公式类似、把弧长瞧作底,R 瞧做高就比较容易记忆了; (六)对组合图形面积的计算问题,应认真全面观察与分析图形,避免拿起题目就盲目乱做、经典例题透析总结规律与方法——强化所学认真回顾总结本部分内容的规律与方法,熟练掌握技能技巧.1.(1)(201１江苏南通)比较正五边形与正六边形,可以发现它们的相同点与不同点、例如它们的一个相同点:正五边形的各边相等,正六边形的各边也相等、它们的一个不同点:正五边形不就是中心对称图形,正六边形就是中心对称图形、ﻫ请您再写出它们的两个相同点与不同点.ﻫ相同点:(1)____＿____＿___＿(2)＿__＿__＿＿_____＿ﻫ不同点:(1)＿＿_＿___＿＿___＿＿ﻫ (2)_____＿_____＿__答案:相同点(1)每个内角都相等(或每个外角都相等或对角线都相等…);(２)都就是轴对称图形(或都有外接圆与内切圆…);、不同点(１)正五边形的每个内角就是１08°,正六边形的每个内角就是1２0°(或…);(2)正五边形的对称轴就是５条,正六边形的对称轴就是６条(或…)、ﻫ(２)如图,在正方形ABCD中,对角线AC、BD交于Ｏ点,若分别以A、B、Ｃ、D为圆心,以OA长为半径作弧,分别与各边交于E、F、G、H、Ｋ、L、Ｍ、Ｎ点、ﻫ求证:八边形EFGHKLＭN就是正八边形、ﻫ思路点拨:欲证八边形EFGＨKＬMＮ就是正八边形,依据定义,只要证它的各角相等(都为13５°),各边也相等、证明:设正方形ＡBCD的边长为a,则ﻫﻫﻫ同理可证ﻫﻫ同理可证∴八边形EFGＨKLMＮ的各边相等而△BＦＧ、△CＨK、△ＤML、△ＡＥＮ都就是等腰直角三角形,由三角形的外角性质可得此八边形的每个内角都为90°+45°=135°∴八边形EＦGHKLＭN就是正八边形、ﻫ 2.已知:如图,△AＢＣ就是⊙Ｏ的内接等腰三角形,顶角∠A=36°,弦ＢD、CE分别平分∠ABC、∠ＡCB、求证:五边形ＡEBCD就是正五边形ﻫ解:∵△ABC就是等腰三角形,顶角∠Ａ＝36°,ﻫ∴∠AＢＣ=72°,∠AＣB＝72°,又弦BＤ、CE分别平分∠AＢC、∠ACBﻫ∴∠ABＤ=∠DBC=∠AＣE＝∠BCＥ=∠BAＣ＝３6°∴五边形ＡEBＣD就是正五边形.ﻫﻫ类型二、正多边形的有关计算ﻫ3、 (1)(20１１广东中山)正八边形的每个内角为( )Ａ、12０°B、135° C.1４0° D.144°思路点拨:正八边形的每个内角为,故选B、ﻫ答案:B(2)已知正六边形AＢCDEF,如图所示,其外接圆的半径就是a,•求正六边形的周长与面积、思路点拨:要求正六边形的周长,只要求AB的长,已知条件就是外接圆半径,因此自然而然,边长应与半径挂上钩,很自然应连接OA,过O点作OＭ⊥AB于M,在Ｒt△AOM 中便可求得AM,又应用垂径定理可求得AB的长.正六边形的面积就是由六块正三角形面积组成的.ﻫ解:如图所示,由于AＢCDEF就是正六边形,所以它的中心角等于,ﻫ△ＯBＣ就是等边三角形,从而正六边形的边长等于它的半径.ﻫ因此,所求的正六边形的周长为6a在Rｔ△ＯＡＭ中,OA=ａ,ＡM=ＡB=利用勾股定理,可得边心距∴所求正六边形的面积=6××AB×OM＝、ﻫ举一反三:【变式1】已知,如图,正八边形ABCDEFGH内接于半径为Ｒ的⊙Ｏ,求这个八边形的面积、解:如图,分别连结OA,OＣ及ＡC由正八边形的对称性,则AC⊥OB,∠AOＣ=90°ﻫﻫﻫﻫﻫ探究思考:ﻫ这个八边形的边长a＝?提示:如图所示,当ＯA=R时,ﻫﻫ、ﻫ类型三、考查弧长与扇形的计算4、 (１)(201１广东广州)如图４,ＡB切⊙O于点B,OA=,AＢ＝3,弦BC∥OA,则劣弧的弧长为( )、A、 B. C.π D、图4思路点拨:连结OＢ、OC,则,OB＝,,,由弦ＢC∥OA得A、答案:Aﻫﻫ (2)制作弯形管道时,需要先按中心线计算“展直长度”再下料,•试计算如图所示的管道的展直长度,即的长(结果精确到0.1mm)ﻫﻫ思路点拨:要求的弧长,圆心角知,半径知,只要代入弧长公式即可.ﻫ解:R＝4０ｍm,ｎ=110∴的长==≈７6、８(mｍ)因此,管道的展直长度约为76、8mm、5.如图,已知扇形AOB的半径为１0,∠AOB=６0°,求的长(•结果精确到0.１)与扇形ＡＯB的面积(结果精确到0、1).ﻫ思路点拨:要求弧长与扇形面积,只要有圆心角,半径的已知量便可求,本题已满足、ﻫ解:的长＝S扇形=因此,的长为１0、５,扇形AOB的面积为5２、4、ﻫﻫ举一反三:ﻫ【变式１】如图,为的直径,于点,交于点,于点.(1)请写出三条与有关的正确结论;ﻫ (2)当,时,求圆中阴影部分的面积、ﻫ解:(1)答案不唯一,只要合理均可.例如:①; ②; ③;ﻫ④; ⑤就是直角三角形; ⑥就是等腰三角形.ﻫ(2)连结,则.,,.ﻫ为的直径,、在中,,,、,.ﻫ,就是的中位线、.、ﻫ..ﻫ类型四、圆锥面积的计算ﻫ6、(1)(２011山东泰安)一圆锥的侧面展开图就是半径为2的半圆,则该圆锥的全面积就是( )ﻫＡ.5π B、4π C.3πＤ、2πﻫ思路点拨:圆锥的侧面展开图的弧长为2π,圆锥的侧面面积为2π,底面半径为1,圆锥的底面面积为π,则该圆锥的全面积就是2π+π=3π、故选C.答案:Cﻫ (2)圣诞节将近,某家商店正在制作圣诞节的圆锥形纸帽,已知纸帽的底面周长为58cm,高为２0cm,要制作20顶这样的纸帽至少要用多少平方厘米的纸？(结果精确到０、１cm2)思路点拨:要计算制作20顶这样的纸帽至少要用多少平方厘米的纸,只要计算纸帽的侧面积.解:设纸帽的底面半径为ｒcｍ,母线长为,则(cm)ﻫ22、0３(cm)ﻫＳ纸帽侧=×５８×2２、0３=63８、８7(cｍ)ﻫ638、87×2０=1２777.4(ｃm２)ﻫ所以,至少需要1２777、4cm2的纸.举一反三:【变式1】如图,圆锥形的烟囱帽的底面直径就是,母线长、计算这个烟囱帽侧面展开图的面积及圆心角、思路点拨:烟囱帽的展开图就是扇形,这个扇形的半径就是圆锥的母线长,弧长就是圆锥底面的周长、ﻫ解:设扇形的半径为,弧长为,圆心角为,则,、ﻫ∵ﻫ∴ﻫ∴答:烟囱帽侧面展开图的圆心角就是,面积就是、ﻫ【变式２】如图,已知Ｒt△ABＣ的斜边AB＝13cm,一条直角边AC=5ｃm,以直线AＢ为轴旋转一周得一个几何体.求这个几何体的表面积、ﻫ思路点拨:首先应了解这个几何体的形状就是上下两个圆锥,共用一个底面,表面积即为两个圆锥的侧面积之与.根据可知,用第二个公式比较好求,但就是得求出底面圆的半径、ﻫ解:在Ｒt△ABC中,AＢ=１3cm,AＣ=5cm,∴BC＝1２cm.∵OＣ·AB＝BＣ·AC(由三角形面积得),ﻫ∴、ﻫ∴所以,这个几何体的表面积为、。