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因为 f ( x ) 0 , x ( x0 , x0 ) , f ( x ) 在 ( x0 , x0 ] 上连续，所以 f ( x ) 在 ( x0 , x0 ] 上递减，故 f ( x ) f ( x0 ) , x ( x0 , x0 ) .
y
导数为零, 但 x 0 不是它的
极值点. 于是得极值的必要条件： 可微函数的极值点一定是导数为零. 下面给出极值的充分条件.
O
x
定理6.10 (极值的第一充分条件) 设函数 f (x) 在
x0 连续，在某邻域 U ( x0 ; ) 上可导 .
(i) 若当 x ( x0 , x0 ) 时,f ( x0 ) 0,当 x ( x0 , x0 ) 时，f ( x ) 0, 则 f ( x ) 在点 x0 取得极小值 . (ii) 若当 x ( x0 , x0 )时, f ( x0 ) 0, 当x ( x0 , x0 ) 时，f ( x ) 0, 则 f ( x ) 在点 x0 取得极大值 .
定理 6.10 的几何说明
y
y
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ

x0


x
o
y
x
o
y
x0
x0 是极值点情形



x0
o
x0
x
o
x
x0 不是极值点情形
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根据导函数的符号判别函数单调性的方法， 可 以知道定理的几何意义十分明显. 出 (i) 的证明， (ii) 的证明类似. 在这里仅给
证明 利用导函数符号得出函数的单调性方法.
同理可证 f ( x ) 在 [ x0 , x0 ) 上递增,故
f ( x ) f ( x0 ) , x ( x0 , x0 ) .
于是
f ( x0 ) f ( x ) , x U ( x0 ; ) ,
即 x0 是 f ( x ) 的一个极小值点 .
第一充分条件求极值的步骤归纳如下：
件，学会求闭区间上连续函数的最
值的基本方法．
§4 函数的极值与最大(小)值
极大(小)值是局部的最大(小)值, 它
有着很明显的几何特征. 在本节中,我 们将逐一研究函数的这些几何特征. 一、极值判别 二、最大值与最小值
函数的极值不仅在实际问题中占有重要的地位，而
且也是函数性态的一个重要特征．
费马定理告诉我们：若函数 f 在点 x0 可导，且 x0 是 f 的极值点，则 f ( x0 ) 0，即可导函数在点 x0有极值的 话，必有 f ( x0 ) 0. 进一步的问题是：如果 y f ( x ) 在点 x0 不可导，它 有没有可能在 x0 取得极值？回答是肯定的，例如， y x ，在 x 0 不可导，但在 x 0 有极小值.
的某邻域 U ( x0 ; ) 内可导，f ( x0 ) 存在.若
f ( x0 ) 0, f ( x0 ) 0 ,
那么 x x0 是 f ( x ) 的一个极值点 , 并且
(i) f ( x0 ) 0, 则 f ( x ) 在 x x0 处取极小值. (ii) f ( x0 ) 0, 则 f ( x ) 在 x x0 处取极大值 .
①确定函数 f x 的定义域，求出导函数 f x ； ②找出函数 f x 的所有驻点（由 f x 0 ）
以及所有 f x 不存在的点；
③利用第一充分条件，检查上述的点两侧邻近
f x 的符号（列表完成）。
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定理 6.11 (极值的第二充分条件) 设 f (x) 在点 x0
用 f 在 点 x0 二 阶 泰 勒 公 式 ， 确 定 f ( x) f ( x0 ) 的符号 .
注：①只有二阶导数存在且不为零的驻点才可以 用本定理判别法； ②使用本定理时，一般要求二阶导数的计算相对 较为容易；
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③对于二阶导数 f x 不存在的点、不可导的点， 只能用第一充分条件进行判别。 例1 求函数 f ( x ) 3 arctan x ln x 的极值点.
证 同样我们仅证(i). 因为 f ( x ) f ( x0 ) f ( x ) f ( x0 ) lim lim 0, x x0 x x0 x x x x0 0
所以由保号性， 存在 0, 当 x U ( x0 ; ) 时,
f ( x ) 0. x x0
从而当 x ( x0 , x0 ) 时,
f ( x0 ) 0 ; 当 x ( x0 , x0 ) 时,
f ( x ) 0.
由极值判别的第一充分条件得知: x0 是极小值点 .
注 建议同学们与教材上的证明方法相比较, 这里 的证明方法更简单且具有一般性.
证明 要点
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综上所述可见：函数的 极值点可能是下述 两种点： （1）使 f ( x0 ) 0 的点 x0 ； （2）使 y f ( x )不可导的点 x0 . 把这两类点称为“极值 可疑点”或“可疑极值 点” . 如何来判定一个极值可 疑点且是真正的极值 点呢？ 这正是我们下面要解决 的问题.
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一、极值判别
费马定理告诉我们.可微函数的极值点一定是稳
定点. 也就是说, 在曲线上相应的点处的切线一 定是水平的. 我们在这里再次强调: 费马定理是在函数可微的 条件下建立的. 换句话说，若没有可微这个前提 条件，费马定理的结论 f ( x ) 0 就无从说起.
当然，费马定理的逆命题亦不真. 例如对于任意 的可微函数导数为零也不一定取得极值. 如幂函数y=x3，在 x=0
数学分析
§1 §2 §3 §4 §5 §6
拉格朗日定理和函数的单调性 柯西中值定理和不定积分 泰勒公式 函数的极值和最大(小)值 函数的凸性和拐点 函数图像的讨论
第六章 微分中值定理 及其应用
§4 函数的极值和最大(小)值
§4 函数的极值与最大(小)值
教学内容：函数的极值与最值． 教学重点：函数极值与最值的确定． 教学难点：函数极值充分条件． 教学要求：掌握函数极值的第一、第二充分条