标准实用绝对值函数和绝对值不等式【知识点】一、绝对值的性质a，a≥0，1.| a|=－a， a<0推论①： |ab |≥ab ( 当且仅当ab ≥0时，“=”成立)；推论②： |ab |≥－ab (当且仅当ab ≤0时，“=”成立).2.| a| 2= a2；二、绝对值不等式3.若 a2≥b 2，则| a|≥|b |；证明：由性质2，a2≥ 2a2≥2 a ≥ b|.b| ||b || | |4.| a| ≥a， ( 当且仅当a≥0时等号成立 )；推论③： |ab |≥ab .推论④： || a| － |b || ≤| a±b| ≤|a|+| b |.证明： (1) || a|－| b||≤|a－b |：因为 |ab |≥ab，所以：－ 2| ab |≤－2 ab，所以：a2 + b2－ 2| ab|≤a2+ b2－ 2ab，由性质 2 ，则： (|a|－| b|)2≤(a－b)2，由性质 3即证 .此时，当且仅当ab ≥0时等号成立.(2) || a|－ |b||≤|a+ b |.证明：由推论②：|ab |≥－ab，所以：－ 2| ab |≤2 ab，从而： (|a|－| b |)2≤(a+b )2，由性质2即证 .此时，“ = ”成立的条件为ab ≤0.(3)由 2ab ≤2|ab|=2|||b|，则( +)2≤(||+|b|) 2，由性质 2 即证 .等号成立的条件为ab≥0.a ab a同理可： |a－b |≤|a|+| b |.等号成立的条件ab ≤0.推⑤： |a1 + a2 + ⋯+ a n |≤| a1 |+| a2 |+ ⋯+| a n|.明：当 n=2，然成立；当 n = k ，有：|a1+ a2+⋯+ a k|≤|a1|+| a2|+⋯+| a k|；当 n = k+1，|a1+a2+⋯+a k+a k+1|=|(a1+a2+⋯+a k)+a k+1|≤|a1+a2+⋯+a k|+|a k+1|≤|a1 |+| a2|+ ⋯+| a k |+| a k+1 |.| a+ b |，ab≥0 ，推⑥： |a|+| b|=|a|+| b|=max{|a+ b |，|a－ b |}.| a－b | ，ab <0 ，明：若 ab ≥0，然有|a|+| b |=| a+ b|，且此： |a+ b| ≥|a－b|，所以： |a|+| b |=max{| a+ b |， |a－b |}；ab <，同理可.5. 任意a，b∈ R，a+ b +| a－b |=2max{a， b }.明：由于称性，不妨≥ ，：a +b+|a－b|=a+b+a－b=2a=2max{a，b}.a b6. 任意a，b∈ R，a+ b－ | a－b |=2min{a， b }.明： a+ b =max{ a， b }+min{ a， b}，由性 5 ， |a－b |=2max{a， b }－(a+ b)，从而：a+ b －|a－ b |= a+ b －[2max{ a，b }－(a+ b )]=2(a+ b )－2max{ a，b}=2max{ a，b }+2min{a，b }－2max{ a， b}=2min{a， b}.7. 任意数a，b， |a+ b |+| a－b |=2max{|a|，| b |}.明①：不妨 a≥b ，|a－ b|+| a+ b |= a－ b+| a－(－ b )|=2max{a，－ b }；若 b≤a≤0，2max{ a，－ b }=2(－ b)=2max{| a|，| b|}；若 b≤0≤a，2max{ a，－ b }=2max{| a|，|b |}；若 0 ≤b≤a， 2max{ a，－b }=2 a=2max{| a|， |b |}.综上：命题得证.证明②：由轮换性，不妨设ab ≥0，则|a+ b |=| a|+| b|=max{| a|，|b |}+min{|a|，|b |}；|a－b |=max{| a|， |b|} － min{| a|， |b |}，两式相加即得.8. 对任意的实数2min{| a|， | b|} ，ab≥0 a， b ，| a+ b |－| a－ b|=－ 2min{| a|， | b |} ，ab <0证明：若 ab ≥0，则|a+ b |=| a|+| b |=max{| a|，|b|}+min{|a|，|b |}；|a－b |=max{| a|， |b|} － min{| a|， |b |}，两式相减得： |a+ b |－ |a－b |=2min{|a|，|b |}.若 ab <0，则|a+ b|=| a－(－ b )|=max{| a|，|b |}－min{| a|，| b|}；|a－b |=| a+( －b)|=max{|a|，|b |}+min{|a|，| b|}；两式相减得： |a+ b |－ |a－b |= －2min{| a| ，|b |}四、绝对值函数1.f (x)= a|x－m |+ b(1)函数 y=f ( x)以点(m ， b )为顶点；注意这个点的轨迹往往可以帮助我们简化解题；(2) 当a>0 时，函数有最小值 b ，无最大值；当a<0时，函数有最大值 b ，无最小值.2.f (x)= a|x－m |+ b |x－n|.(1)函数的图像是以 A(m ，f ( m ))， B(n，f ( n))为折点的折线；(2) 当a+ b >0 时，图像的两端无限向上延伸，y= f (x)的值域为[min{ f (m )， f (n )}，+∞)；(3)当 a+ b <0时，图像的两端无限向下延伸， y=f (x)的值域为(－∞，max{ f ( m )， f ( n)}]；(4) 当a+ b =0 时，函数的图像两端无限平行于x 轴，函数的值域为[min{ f (m )，f (n )}，max{ f (m )，f (n )}].五、绝对值不等式的其他形式1. 向量形式① || a |－ |b | |≤|a + b | ≤|a |+| b ||| a |－ |b || ≤|a + b |当且仅当 a ·b ≤0 时等号成立； | a + b |≤| a |+| b |当且仅当 a ·b ≥0 时等号成立 . ② || a |－ |b | |≤|a － b |≤|a |+| b |.nn③λiai ≤ |λ1||a i |.i =1i =12. 复数形式① | z 1 －z 2 |≤|z 1±z 2|≤|z 1 |+| z 2|；n n②邋z i ￡z i .i =1i =1【方法概论】遇到绝对值的问题时，方法主要以下几种：1.分类讨论：即去掉绝对值；这种方法是解决绝对值问题的基本办法。

一般说来，分类讨论 主要是用“零点分类讨论”的方法，即绝对值内什么时候非负，什么时候为负，要做到“不重不漏”；2.几何意义：绝对值的几何意义主要分为两块，一个是表示函数图象的翻折，另一个则表示 数轴上两点之间的距离；3.用绝对值不等式： 将含有绝对值的不等式或者函数转化为我们上面的结论或者推论， 从而直接应用前面的结论或者推论.无论应用上面的哪一种方法，拿到题目以后尽量先画出函数的草图是很重要的.典型例题：题型一、分类讨论核心技能：分类讨论是解决绝对值函数问题的主要的方法，解题时，注意函数的的定义域，做到“不重不漏”.【例题 1 】【 2016年浙江高考，19 】已知a≥3 ，函数此题的解法显然是分()=min{2|x － 1|，x2－ 2ax+4a－ 2}.类讨论，去掉题中的绝F x(1) 求使得F(x)= x2－ 2 ax+4 a－2成立的 x 的取值范围；对值 .(2)①求 F(x )的最小值 m (a)；②求 F(x)在区间[0，6]上的最大值M (a).【例题 2 】【浙江省衢州市2015年4月高三教学质量检测，15 】先由函数的对称性性已知函数 f(x)= x2－ 2 x，若关于x 的方程|f (x )|+| f (a－ x)|= t 有四质求出 a 的值，然后写个不同的实数解，且四个根之和为 2 ，则实数t的取值范围出分段函数的形式，最为.后由函数的图象即可得出答案 .【例题 3 】【 2015高考湖北，文 17 】a为实数，函数 f ( x) | x2ax |由于 a 的值不同，从而在区间 [0, 1] 上的最大值记为g (a ) . 当 a _________时， g (a) 的值g (a)的表达式也不一最小 .样，需要分情况讨论 .【例题 4 】【 2015 年浙江省金华一中全真模拟考试( 理)，20 】已知适当转化思路，即可得函数 f (x )= x2－|ax－ b|(其中， a∈R+， b∈ R)到比较简便的解答.(1) 若a=2 ，b≥2 ，且函数 f (x)的定义域和值域均为(1 ，b)，求b的值；(2)若函数 f ( x)的图像于直线 y=1在(0，2)上有两个不同的交点，b试求的取值范围.a题型二、数形结合核心技能：掌握绝对值的两种几何意义，并能应用.【例题 5 】【 2017年浙江省台州市高三期末质量评估，17 】已知函设 g (x)= x+1，x数 f (x)=11x+－ ax－ b ，当 x∈， 2 时，设f (x)的最大值为M，h(x)= ax+ b ，则 f (x)表x2则 M 的最小值为.示为在同一个x0条件下， g( x0)、 h (x0)(即两个纵坐标之差的绝对值 )的大小 .3先将等式两边同除以x 【例题 6 】【 2017 年 9+1 联盟期中， 17 】当x∈，4，不等式2然后应用线性规划的| ax2 + bx +4 a|≤2x方法加以解决，当然，恒成立，则 6 a+ b的最大值是.也可以用“线性表出”的方法 .【例题 7 】【 2015年浙江高考理，14 】已知实数x， y 满足 x2+ y 2一样是一道线性规划≤1 ，则 |2 x + y－ 2|+|6 －x－3 y|的最小值是.的问题.【例 8 】【 2011 年北 考 】求函数考察 的几何意f (x )=| x － 1|+|2 x －1|+ ⋯+|2011 x － 1|.的最小 .【例 9 】【 2010 年新疆 ，1 】由曲 |x |－ |y |=|2 x － 3| 所 成 考 的几何意的几何 形的面..型三、 化和放核心技能：掌握【知 点】部分的各个 及其推 ，包括等号成立的条件.【例 10 】【 2017年浙江高考， 17 】已知 a ∈R ，函数4令 t = x + ，t ∈ [4 ，5] ，xf ( x )= x + 4－ a + a原 化 g (t )=| tx在区 [1 ， 4] 上的最大 5 ， 数 a 的取 范 是 .－ a |+ a ≤5 在 t ∈ [4 ，5]上恒成立的 .【例题 11 】【 2017 年湖州、丽水、金丽衢联考】设m ∈R，巩固例题9 的方法，并f (x )=| x3－3 x－2 m |+ m应用数形结合的方法.在 x∈[0，2]上的最大值和最小值之差为3，则m =.【例题 12 】【 2017 年浙江省嵊州市高三第一学期质调】已知不妨设f ( x)= x2+( a－4) x+1+|x2－ ax+1|g (x)+h (x)= x2+( a－1.4) x+1 ，g ( x)－h(x)= x2的最小值为，则是实数 a 的值为2－ ax+1，然后即可发现问题的本质 .【例题 13 】【浙江省杭州市2017 届高三二模，17 】已知令 g (x)= f (x)－1，则原ìx,| x | 1,条件转化为2cos p2f (x) = í2- 1,| x |> 1,|g(x)+ g( x+ l)|+| g (x) －x实数 l>0，若|f (x)+ f(x+ l)－ 2|+| f (x )－f ( x+l )|≥2 恒成立，则l的g (x－ l)|≥2.最小值为.注意到g(x+ l)(l>0)是将函数g(x)的图像向左平移 l 个单位所得到.这种图象的平移要重视，比如已知 f (x )为 R上的奇函数，当x>0时，f1(|x－a2|+| x－(x)=22 a2|－ 3a2) ，若对任意的实数 x ∈R 都有 f(x － 1) ≤f(x)，则实数a 的取值范围为.【例题 14 】【浙江省→→→这一道题的解法比较2016 年高考， 15 】已知向量a， b 满足：| a→，若对任意的单位向量→→ →→ →6 ，多，唯独用绝对值不等|=1 ， | b |=2e，都有 | a·e |+| b·e |≤→ →.式比较简便：则 a ·b 的最大值是由 2( a2 + b2)=10 ，而→→| a + b |≤→ →→ →，| a·e|+| b·e |≤ 6而 4a·b=( a+ b )2－ (a－b )2即可解出答案.【例题 15 】【 20141设 |z|= r，则年安徽预赛】已知复数z 满足 z+≤2 ，则 |z|z1的取值范围是.r－≤2，考虑其意r义是什么 ?【例题 16 【】浙江省 2015 年高考，18 】已知函数 f (x )= x2+ ax+ b (a，注意基本不等式：b ∈R)，记 M (a， b )是|f ( x)|在区间[－1，1]上的最大值.a+ bmin{ a，b }≤ab≤2 (1)证明：当 | a| ≥2 时，M (a，b )≥2 ；a2+ b 2(2)当 a， b 满足 M (a， b )≤2时，求| a|+| b|的最大值.≤≤max{ a，2b }.【例题 17 】【 2014 年河北预赛， 6 】已知对x∈[0，1]，都有|ax+ b |令f(x)=ax+b，则≤1 ，则 |bx + a|的最大值为. f (0)= b ， a= f (1)－ f(0).【例题 18 】【 2018年浙江省预赛，12 】设a∈ R，且对任意实数b此题的解法比较多，应均有用绝对值不等式是最max |x2 + ax+ b| ≥1，简的解法 .x∈ [0 ，1]求 a 的取值范围.【例题 19 】【 2017 年全国联赛， 9 】设k、m为实数，不等式|x2－kx－m |≤1对所有 x∈[a， b ]成立.证明： b － a≤22.【过关习题 4 】1.【 2018 年学考选考十校联盟，☆☆】已知a，b是实数，则“|a|≤1且|b|≤1”是“|a+b|+|a －b |≤2”的.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.【 2018 年绍兴高三适应性考试，，☆☆】已知a>0，函数f(x)=|x2+|x－a|－3|在区间[－1，1] 上的最大值是2，则a=.3.【2018 年温州二模，17 ，，☆☆☆】已知f ( x)= x2－ax，| f ( f ( x))| ≤1 在 [1 ，2] 上恒成立，则实数 a 的最大值为.4.【2017 年绍兴诸暨二模，，☆☆☆☆】已知函数 f (x)=| x2+ ax+ b |在区间[0， c]内的最大值为M (，∈ R，c>0为常数 )且存在实数，b，使得M取最小值 2 ，则a+b+=.a b a c5.【☆☆】设正实数 x， y，则|x－ y|+1. + y2的最小值为x6.【2017年杭州二模， 10 ，☆☆】设函数f (x)=x2+ax+( 、∈ R)的两个零点为x1、 2 ，b a b x若| x1 |+| x2|≤2 ，则.A.|a|≥1B.|b|≤1C.|a+2 b|≥2D.|a+2 b|≤27.【2017年浙江4月份学考，☆☆】已知a，b∈ ，≠ ，则|a+ b|+1－ b的最小值R a1a+1为.8.【2017年浙江绍兴市柯桥中学 5 月质检， 8，☆☆】已知x，y∈ R，则.12123A.若|x2+ y|+| x－ y2|≤1，则 x++y－≤222.若 | 2 －|+|－12123y x2|≤1 ，则x－+ y－≤B x y222若22－12123|x+ y|+|x y|+C.1222若2212123|+|+ y|+D.|x+ y x12229.【 2016年浙江高考， 8 ，☆☆☆】已知实数a、b、c，下面四个选项中正确的是.A.若|a2+ b+ c|+| a+ b 2+ c|≤1，则 a2+ b 2+ c2<100B.若|a2+ b+ c|+| a2+ b － c|≤1，则 a2+ b 2+ c2<100C.若|a+ b + c2|+| a+ b － c2|≤1，则 a2+ b 2+ c2<100D.若|a2+ b + c|+| a+ b 2－ c|≤1，则 a2+ b 2+ c2<100|x+2 y－ 3 z|≤6 ，|x－ 2 y+3 z| ≤6 ，10.【 2017 年杭州高级中学最后一模，17 ，☆☆】设实数x，y，z满足则|x－ 2 y－3 z|≤6，|x+2 y +3 z|≤6 ，||+|y |+| |的最大值为.x z11. 【 2017 年浙江名校协作体，| a+1| － |2 a－ 1|7 ，☆】设f ( x)=|2 x－ 1| ，若f (x)≥对任意的|a|a≠0恒成立，则 x 的取值范围为.12.【 2016 年浙江样卷，☆】已知f ( x)= ax2+ bx + c，a、b、c∈ R，且a≠0 ，记M (a，b，a+ b +2 cc)为|f ( x)|在[0，1]上的最大值，则的最大值是.M (a，b ， c)13.【☆☆】设函数 f ( x)=| x2+ ax+ b |，若对任意的实数a、b ，总存在 x0∈[0，4]使得 f ( x0)≥m 成立，则实数m 的取值范围是.14.【 2017年浙江缙云、富阳、长兴联考，☆☆☆】已知函数 f ( x)=－ x3－3 x2+ x，记 M (a，b )为函数g (x)=| ax+ b － f (x)|( a>0， b ∈R)在[－2，0]上的最大值，则M (a， b )的最小值为.15.【2017年杭州一模，9 ，☆☆☆】设函数f (x )= x2+ ax+ b，记M为函数y=| f (x)| 在 [－ 1 ，1] 上的最大值，N为 |a|+| b |的最大值，则.11A.若 M =，则 N=3B.若 M =，则 N=332C.若 M=2，则 N=3D.若 M =3，则 N=316.【 2017年诸暨，☆☆☆】设函数f ( )=|ax+2x+b|，若对任意的x∈[0，4]，函数() x f x1≤恒成立，则 a+2 b =.217.【浙江省绍兴市2017届高三二模， 17 ，☆☆☆】已知对任意实数x都有 |a cos 2x+ b sin x+ c|≤1恒成立，则 |a sin x + b|的最大值为.18. 【浙江省嘉兴市 2016 届高三教学质量测试(二 )，14 ，☆☆】a ( a ≥b )y + m |，| y 2 － 2 x + n |}设 max{ a ，b }= b ( a < b )，已知 x ，y ∈ R ，m + n =6 ，则 F = max {|x 2－4 的最小值为．19. 【☆☆】已知 f (x )= ax 2+ bx + c (a ≠0) ，若对任意的 |x |≤1 ，都有 | f (x )|≤1 ，则 | a |+| b |+| c |的最大值为 .20.【 2014 年湖南高考， ☆☆】在直角平面坐标系 xOy 中，O 为原点， A (－ 1，0) ，B (0 ， 3) ，→ →→ →.C (3 ，0) ，动点D 满足 |CD |=1 ，则 |OA + OB + OD |的最大值为－ 2 x ， x <0 ，1 － x 2+| f21.【浙江省 2017 年预赛， 10 ，☆☆☆】已知 f (x )=若方程 f (x )+2x 2 － 1， x ≥0 ，(x )－ 2 1 －x 2 |－ 2 ax － 4=0 有三个不等的实数根 x 1，x 2，x 3，且 x 1< x 2< x 3，若 x 3 －x 2 =2( x 2－x 1 )，则 a =.22. 【 2006 f11(x )的值域年辽宁，☆】已知函数(x )= (sin x +cosx ) － |sin x － cos x |，则 f22为.23【. 2008年江西，☆】函数 y =tan x +sin x － |tan x － sin x |在区间 π 3π.， 内的图像是2 2yy2 2Oπ π3πxOπ π3πx2 2 22AByyππ3ππ3π222π 2O x O x-2-2C D24.【浙江省绍兴市2015 年高三教学质量调测，15 ，☆☆☆】当且仅当x∈ ( a，b )∪ (c，d )( b≤c)时，函数 f (x )=2 x2+ x+2的图像在函数 g (x)=|2 x+1|+| x－ t|的下方，则 b －a+d － c 的取值范围为.25. 【 2016高考浙江文数，☆☆】已知平面向量a，b ，|a|=1，|b |=2，a ·b=1．若 e 为平面单位向量，则 |a·e|+| b·e|的最大值是 ______．26. 【 2014年四川预赛， 9 ，☆☆】已知a、b为实数，对任何满足0 ≤x≤1的实数 x，都有|ax+ b| ≤1 成立，则 |20 a+14 b|+|20 a－ 14 b |的最大值是.－ x2+ x， x≤1，27. 【 2014年黑龙江预赛， 14 ，☆☆】已知f (x )= log1x，x>1，g( x)=| x－k|+| x－ 1| ，若2对任意的 x 1，x2∈R，都有 f ( x1)≤g ( x2)成立，则实数 k 的取值范围为.28.【 2014 年全国联赛， 3 ，☆☆】若函数f (x)= x2+ a|x－1| 在 [0 ， + ∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是.29. 【2015 年湖北预赛， 1 ，☆☆】若对任意实数x，|x+ a|+| x+1|≤2 a 恒成立，则实数 a 的最小值为.30. 【 2016年山东预赛， 1 ，☆☆☆】方程x=| x－ |x－ 6|| 的解为.31. 【 2016年陕西预赛， 12 ，☆☆】设x∈R，则函数f (x)=|2 x－1|+|3x－2|+|4 x－3|+|5 x－4| 的最小值为.32. 【 2016 年浙江预赛， 11 ，☆☆☆】设a∈R，方程 ||x－a| －a|=2 恰有三个不同的实数根，则 a=.33.【 1982 年全国， 4，☆☆】由曲线 |x－ 1|+| y－ 1|=1 确定的曲线所围成的图形的面积是.A.1B.2C.πD.434.【2017 年江苏预赛， 5，，☆☆】定义区间 [x1，x2]的长度为x2－x1.若函数y=|log 2x|的定义域为 [a，b ]，值域为 [0 ， 2] ，则区间 [ a，b ] 的长度的最大值和最小值的差为. 35. 【 2018 年浙江预赛， 8 ，☆】设f (x)=| x+1|+| x|－ |x－ 2| ，则f (f (x))+1=0有个不同的解 .36.【 2015 年全国， 6，☆☆】在平面直角坐标系xOy中，点集K={( x，y )|(| x|+3| y|－6)(3| x |+| y|－6)≤0}所对应的平面区域的面积为.37.【 2008 年湖南预赛， 9 ，☆☆☆】在平行直角坐标系中，定义点P(x1，y 1)， Q(x2，y 2)之间的“直角距离”为 d (P， Q)=| x1－x2|+| y 1－ y2|.若 C(x， y)到点 A(1，3)、 B(6，9)的“直角距离”相等，其中实数x、 y 满足0≤x≤10，0≤y≤10，则所有满足条件点C 的轨迹的长度之和为.38. 【 2014年湖北预赛，4，☆☆】在直角坐标系中，曲线|x－ 1|+| x+ 1|+| y|=3围成的图形的面积是.39. 【 2017年金华十校期末调研考试，9，☆☆】设x、y∈ R，下列不等式成立的是.A.1+| x+ y|+| xy|≥|x|+| y|B.1+2| x+ y|≥|x|+| y|C.1+2| xy|≥|x|+| y|D.|x+ y |+2|xy|≥|x|+| y|40. 【 2017年绍兴市高三教学质量调测，9 ，☆☆☆】记 min{ x，y }=y， x≥y ，x， x< y，设 f ( x)=min{ x 2，x3}，则.A.存在 t>0，|f (t )+ f (－ t )|> f ( t)－f (－ t)B.存在 t>0，|f (t )－ f (－ t)|≥f (t)－ f (－t)C.存在 t>0，|f (1+ t)+ f (1－ t)|> f (1+ t )+ f (1－ t)D.存在 t>0，|f (1+ t )－ f (1－t)|> f (1+ t)－ f (1－ t )41【.浙江省 2016 届高三下学期第二次五校联考( 理)，18 ，☆☆☆】已知函数 f (x)= ax2+ bx + c，1g (x)= c|x|+ bx + a，对任意 x∈[－1，1]，|f (x)|≤.2(I)求 |f (2)| 的取值范围；(II)证明：对任意的 x∈[－1，1]，都有|g (x)|≤142. 【浙江省嘉兴市2016 届高三期末考试，20 ，☆☆☆】已知函数f (x)= －x2 +2 bx + c，，设函数 g (x)=| f (x)|在区间[－1，1]上的最大值为M ．(I) 若b =2 ，试求出M ；标准实用(II) 若M ≥ 对任意的b，c恒成立，试求出k的最大值．k43. 【 2016 四川预赛， 16 ，☆☆☆☆】已知a为实数，函数 f (x)=| x2－ax|－ln x，请讨论函数 f ( x)的单调性.文案大全。