小
河
使AM+MN+NA最小.
如图，作点A关于l1和l2的对称点A1、A2，连接A1A， 交l1于M点，交l2于N点。 连接AM和AN， AM+MN+NA最小.
因此，那天这样走路线最短.
A1
l1
M A
l2 N
A2
挑战自我：（两定两动）
某中学八(1)班举行文艺晚会，桌子摆成如图所示，两直排
(图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果， 站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D处座位上。请你
A
D
作点B关于AC的对称点D，
连接DE，交AC于点P。
P
则点P即为所求。
B
C
E
拓展提升：（一定两动）
如图，A为马厩，牧马人某一天要从马
厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河
边饮马，然后回到马厩. 请你帮他确定这一
天的最短路线.
l1
M A
N
l2
已知：如图，在l1、l2之间有一点A.
A
求作：分别在l1、l2上确定一点M、N
P
到最短距离呢？
连接AB,线段AB与直线L的交点P ，就是所求。
根据：两点之间线段最短.
问题2:两点在一条直线同侧的最短路径问题
如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的 河边 l处 饮马，然后到B地．牧马人到河边的 什么地方饮马，可使所走的路径最短？
思考：
B
你能把这个问题
A
转化为数学问题吗？
l
分析：
八年级 上册
13.4 课题学习 最短路径问题(1)
天津市滨海新区大港海滨学校 孙淑欣
最短 路径 问题
复习引入
A
B
线段公理： 两点之间，线段最短.
A
l
B 垂线段性质：
垂线段最短.
问题1：两点在一条直线异侧的最短路径问题
已知：如图，A，B在直线L的两侧， 在L上求一点P，使得PA+PB最小。
为什么这样做就能得
C′ C
∴BC=B′C，BC′=B′C′．
∴AC+BC=AC+B′C=AB′．
在△AB′C′中，
B′
AB′< AC′+B′C′，
∴AC+BC < AC′+B′C′，
即AC+BC最小．
归纳
B A
l
解决实 际问题
B
A
C
l
B′
抽象为数学问题 用旧知解决新知
B
A
C
l
联想旧知
A
C
l
B
练习1：（两定一动）
已知：正方形ABCD的边BC上有一点E， 请你在对角线AC上找到一点P， 使得BP+PE的和最小
B B
A
A
l
CC
l
转化为数学问题
当点C在直线 l 的什么位置时， AC与BC的和最小？
分析：
A C
B
A
l
l
C
（1）这两个问题之B间，有什么相同点和不同点？
（2）我们能否把A、B两点转化到直线l 的异侧呢？ 转化需要遵循的原则是什么？
（3）利用什么知识可以实现转化目标？
如下左图，作点B关于直线 l 的对称点B′ . 当点C在直线 l 的什么位置时，AC与CB′的和最小？
B
A
C
l
B
A
l
C
B′
如上右图，当A， C， B′共线时 ，
B′
线段AC+C B′的和最小 .
即AC+BC的和最小 .
所以，线段AB′与直线 l 的交点C即为所求。
证明：如图.
在直线 l 上任取另一点C′ ，
B
连接AC′ 、BC′ 、B′ C′ ．
A
∵直线 l 是点B、B′的对称轴，
l
点C、C′在对称轴上，
帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？
橘子
A
O
C
糖

果
D
B
C1
A
P
O
C D
Q D2
B
小结归纳
A C
轴对称 变换
B
A
A'
M
a
l
b
N
B′
B
A
C
l
平移 变换
B
两点之间，线段最短.