【冲击高分系列】2014年高考数学（文）难题专项训练：三角函数及三角恒等变换1.（2013湖北黄冈市高三三月质量检测，10,5分）已知O是锐角三角形△ABC的外接圆的圆心，且若则（）A． B. C. D. 不能确定2.(2013吉林省吉林市普通高中高三一月期末，12,5分)设函数的定义域为D，若存在非零实数使得对于任意，有，且，则称为M上的高调函数.现给出下列命题：①函数为R上的1高调函数；②函数为R上的高调函数；③如果定义域为的函数为上高调函数，那么实数的取值范围是；④函数为上的2高调函数.其中真命题的个数为（）A．0B．1C．2D．3 3. (2013吉林省吉林市普通高中高三一月期末，11,5分)已知是定义在上的奇函数，当时的图像如图，那么不等式的解集是（）A．B．C．D．4.(2012山东省规范化学校高三11月月考，12,5分)在中，角所对的边分别为且，,若，则的取值范围是（）A. B. C. D.5. (2012山东省规范化学校高三11月月考，11,5分)复数()在坐标平面中对应的点分别是,若函数（为坐标原点），则下列命题正确的是（）A．最大值为2B．的图像向左平移个单位后对应的函数是奇函数C．的周期为D．的图像向左平移后对应函数图像关于对称6.(2012湖北省黄冈中学高三11月月考，8,5分)给出下列的四个式子：①，②，③，④；已知其中至少有两个式子的值与的值相等，则（）A．B．C．D．7. (2012北京海淀区高三11月月考，8,5分)已知集合，若对于任意，存在，使得成立，则称集合是“好集合”．给出下列4个集合：①②③④其中所有“好集合”的序号是A．①②④B．②③C．③④D．①③④8. (2012江西省临川一中、师大附中联考，9,5分)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且＝(b－c，cosC)，＝(a，cosA)，，则cosA的值等于（）9. (2012浙江绍兴一中高三十月月考,10，3分)已知函数（为常数，且），对于定义域内的任意两个实数、，恒有成立，则正整数可以取的值有（）A．4个B．5个C．6 个D．7个10. (2012浙江绍兴一中高三十月月考,9，3分) 直线与函数的图像相切于点，且，为坐标原点，为图像的极大值点，与轴交于点，过切点作轴的垂线，垂足为，则（）A. B. C. D. 211.(2012河南省毕业班模拟，10,5分)函数（ω＞0），在区间[a，b]上是增函数，且，则函数在[a，b]上()A．是增函数B．是减函数C．可以取得最大值M D．可以取得最小值－M12.（2012江西省南昌市第二次模拟，10,5分）下图展示了一个由区间到实数集R的映射过程：区间中的实数x对应轴上的点M（如图1）：将线段AB围成一个圆，使两端点A、B恰好重合（从A到B是逆时针，如图2）：再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在x轴上，点A的坐标为(1,0)（如图3），图3中直线OM的斜率为k，则x的象就是k，记作k= (x).有下列判断：(1) (x)是奇函数；(2) (x)是存在3个极值点的函数；(3) (x)的值域是；(4) (x)是区间上的增函数.其中正确的是()A、(1)(2)B、(1)(3)C、(2)(3)D、(1)(4)13. (2012天津十二区县联考，7,5分)设. 若当时，恒成立，则实数M的取值范围是（）A． B.C． D.14. 函数f(x) =(0≤x≤2π) 的值域是()A. B. [-1, 0] C. [-, 0] D. [-, 0]15. 如图, l1、l2、l3是同一平面内的三条平行直线, l1与l2间的距离是1, l2与l3间的距离是2, 正三角形ABC 的三顶点分别在l1、l2、l3上, 则△ABC的边长是()A. 2B.C.D.16.(2013北京海淀区高三三月模拟题，14,5分) 已知函数，任取，定义集合：，点，满足.设分别表示集合中元素的最大值和最小值，记. 则（1）函数的最大值是_____；（2）函数的单调递增区间为________.17.（2013福建厦门高三一月质量检查，14,5分）已知函数，下列命题正确的是.（写出所有正确命题的序号）①是奇函数；②对定义域内任意x，<1恒成立；③当时，取得极小值；④；⑤当x>0时，若方程||=k有且仅有两个不同的实数解，则.18.(2012浙江绍兴一中高三十月月考,17，3分) 在平面直角坐标系中，定义为两点,之间的“折线距离”. 则坐标原点与直线上一点的“折线距离”的最小值是____；圆上一点与直线上一点的“折线距离”的最小值是___.19.(2012山西大学附中高三十月月考，16,5分)给出以下四个命题：①已知命题；命题则命题是真命题；②过点且在轴和轴上的截距相等的直线方程是；③函数在定义域内有且只有一个零点；④若直线和直线垂直，则角其中正确命题的序号为______．（把你认为正确的命题序号都填上）20.（2012江西省联考，14,5分）直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数的图象恰好通过个格点，则称函数为阶格点函数，下列函数：①;②；③;④;其中是一阶格点函数的有_______.21. (2012北京东城区高三模拟，13,5分) 已知函数的最大值为M，最小值为m，则M+m的值_______.22. (2012东北三省四市第一次联考，15，5分)在△中，角的对边分别为，已知，且，则△的面积的最大值为________.23.(2012黑龙江高三模拟，16,5分)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且acos B-bcos A=c,当tan(A-B)取最大值时,角C的值为.24.(2012山东,16,4分)如图,在平面直角坐标系xOy中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1),此时圆上一点P的位置在(0,0),圆在x轴上沿正向滚动. 当圆滚动到圆心位于(2,1)时,的坐标为.25.(2008江苏, 13, 5分) 满足条件AB=2, AC=BC的三角形ABC的面积的最大值是.26.(2010课标全国, 16,5分) 在△ABC中, D为边BC上一点, BD=DC, ∠ADB=120°, AD=2. 若△ADC的面积为3-, 则∠BAC=.27.(2011课标, 16, 5分) 在△ABC中, B=60°, AC=, 则AB+2BC的最大值为.28. (2008辽宁, 16, 4分) 已知f(x) =sin(ω>0) , f=f, 且f(x) 在区间内有最小值, 无最大值, 则ω=.29. (2012山东省规范化学校高三11月月考，21，12分)在中角的对边分别为且，（1）判断的形状；（2）求sinA+sinB的取值范围；（3）若，试确定的取值范围.30.(2012湖北省黄冈中学高三11月月考，21,14分）已知函数在上为增函数，且，，．（1）求的值；（2）当时，求函数的单调区间和极值；（3）若在上至少存在一个，使得成立，求的取值范围．31. (2012浙江绍兴一中高三十月月考,21,10分）已知集合M是满足下列性质的函数的全体：存在非零常数T，对任意x∈R，有成立.（Ⅰ）函数是否属于集合M？说明理由；（Ⅱ）设函数且a≠1）的图像与的图像有公共点，证明：；（Ⅲ）若函数,求实数k的值.32.（2012江西省联考，21,14分）设函数数列满足，.(1)证明：函数在是增函数；（2）求证：（3）若，求证：33.(2012福建省毕业班质量检测，20，14分)设函数的图象是由函数的图象经下列两个步骤变换得到：（1）将函数的图象向右平移个单位，并将横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象；（2）将函数的图象上各点的纵坐标缩短为原来的倍（横坐标不变），并将图象向上平移1个单位，得到函数的图象．（Ⅰ）求的表达式；（Ⅱ）判断方程的实根的个数，证明你的结论；（Ⅲ）设数列满足，试探究数列的单调性，并加以证明．34. （2012安徽合肥高三第二次检测，21，13分)已知的三边长动点满足且.（1）求最小值，并指出此时与的夹角；（2）是否存在两定点使恒为常数？若存在，指出常数的值，若不存在，说明理由.35.(2012河南高三第二次联考，21,12分)已知函数f(x)=ax,g(x)=ln x,其中a∈R.(Ⅰ)若函数F(x)=f(x)-g(x)有极值1,求a的值;(Ⅱ)若函数G(x)=f[sin(1-x)]+g(x)在区间(0,1)上为增函数,求a的取值范围;(Ⅲ)证明:sin<LN span < 2.>36. 在一个特定时段内, 以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域. 点E正北55海里处有一个雷达观测站A. 某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距40海里的位置B, 经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45°+θ(其中sin θ=, 0°<θ<90°) 且与点A相距10海里的位置C.(Ⅰ) 求该船的行驶速度(单位:海里/小时) ;(Ⅱ) 若该船不改变航行方向继续行驶, 判断它是否会进入警戒水域, 并说明理由.37. 设函数f(x) =.(Ⅰ) 求f(x) 的单调区间;(Ⅱ) 如果对任何x≥0, 都有f(x) ≤ax, 求a的取值范围.答案1.A2.D3.B4. A5. D6. A7. B8. C9. B 10. B 11. C12. B 13.D14.B15. D16.17.②④⑤①中，函数的定义域是，且，所以函数是偶函数，所以①不正确；②中，设，则，所以函数是增函数，所以，所以，所以当时，，即，又函数是偶函数，所以当时，，所以，综上所得，对定义域内任意x，<1恒成立，所以②正确；③中，由于，所以，所以不是的极值点，所以③不正确；④中，当时，，所以恒成立，所以函数在区间上是减函数，又,所以，所以④正确；⑤中，当时，，所以关于的方程即有且仅有两个不同的实数解，在同一坐标系中画出函数和函数的图象，如图所示，则这两个图象仅有两个交点，且右边的交点是直线与函数的图象相切的切点，所以是切点，并且切线斜率，所以切线方程是，又点在切线上，所以，即，所以⑤正确.18.，19. ①③20.③④21.222.23.24.(2-sin 2,1-cos 2)25.226.60°27.228.29.（1）∵，∴，----1分由正弦定理，得，∴，∴，----------2分又，∴，∴，∴即，∴，------------3分∴△ABC是直角三角形.------------------------------4分(2)由（1）知，∴=，---6分又，即的取值范围是.---------------------------8分(3)∵，∴，由正弦定理，得，-------------9分设=，则,∴，------------------------------------------10分∴，，设，，则恒成立，∴在上是减函数，∴的值域是，即，∴的取值范围为.----------------------------------12分30.（1），又函数在上为增函数，∴，即恒成立，∵，∴，∴在上恒成立，即在上恒成立，又在的最大值是1，∴，又，∴仅有.……………………4分（2）∵，∴，，∴，令，解得，令，解得；令，解得.∴函数的单调递增区间是，单调递减区间为.当变化时，、的变化情况如下表：由表知函数的极大值，不存在极小值 (9)分（3）由（1）知，则，.令，, 当时，，∵，∴，，∴恒有，∴此时不存在使得，即此时不存在使得成立；当时，，又，∴，，∴在上恒成立，∴在上是增函数，∴，又在上至少存在一个，使得成立，即恒成立，∴必有，∴，解得，综上所得，的取值范围为．……………………14分31.（Ⅰ）当时，对于非零常数T，,，又对任意x∈R，不恒成立，∴函数M. ------（2分）（Ⅱ）由题意得方程组有解，消去得,显然x=0不是方程的解，∴存在非零常数T，使.∴,∴.------（5分）（Ⅲ）当k=0时，f(x)=0，显然f(x)=0∈M.当k≠0时，∵f(x)=sinkx∈M，∴存在非零常数T，对任意x∈R，有f(x+T)=T f(x)成立，即sin(kx+kT)=Tsinkx恒成立.又k≠0，x∈R，∴kx∈R，（kx+kT）∈R，∴sinkx∈[－1，1]，sin(kx+kT) ∈[－1，1]，∴Tsinkx∈[－T，T],∴T=，当T=1时，sin(kx+k)=sinkx恒成立，则k=2mπ, m∈Z .当T=－1时，sin(kx－k)=－sinkx成立，即sin(kx－k+π)= sinkx成立，则－k+π=2mπ, m∈Z ，即k=－2(m－1) π, m∈Z .即k=2(m－1) π, m∈Z .综上所得，实数k的取值范围是{k|k= mπ, m∈Z}. ------（10分）32.（1），当时，，∴，∴函数在上是增函数. ………………………3分（2）∵，∴，∴. 又，∴，∴.由（1）知，，即.∴成立. ………………………5分下面用数学归纳法证明成立：①当n=1时，有成立，即不等式成立.②假设当时不等式成立，即.∵恒成立，∴，即，∴当时不等式成立.由①②可知，.（3）令，则，令，则，∴，∴在上是减函数，即在上是减函数，∴，即.∴在上是减函数，∴.又，∴，即，∴，又，∴.∴.又，∴当时，.∴. ………………………14分：33.(Ⅰ)，…………………………3分∴，∴. …………………………5分(Ⅱ)方程有且只有一个实根. 理由如下：…………………………6分由(Ⅰ)知，令,∵，∴，又，∴，所以在上至少有一个实根. …………………………7分又,∴函数在R上单调递减,∴函数在R上有且只有一个零点，即方程有且只有一个实根. …………………………9分(Ⅲ)∵，∴，∴，，又，∴，∴.∴猜测,即数列是单调递增数列. …………………………11分以下用数学归纳法证明且时,成立.(1)当时,,显然有成立.(2)假设时,命题成立，即．…………………………12分则时,，∵，∴．又在上是增函数，，∴，∴，∴，即时,命题成立. …………………………13分综合(1) ,(2)，且时, 成立.∴数列为单调递增数列. …………………………14分21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．（1）(2012福建省毕业班质量检测，21，7分）选修4－2：矩阵与变换已知向量在矩阵变换下得到的向量是．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求曲线在矩阵对应的线性变换作用下得到的曲线方程．[解析]考察专题：19；难度：容易（Ⅰ）∵，∴，∴，∴=1．…………………………………………3分（Ⅱ）∵，∴．…………………………………4分设曲线上任意一点在矩阵所对应的线性变换作用下的像是. 则，……………………………………………5分∴整理得又点在曲线上，∴，∴，整理得．………………………6分即曲线在矩阵对应的线性变换作用下的曲线方程为. ………7分（2）(2012福建省毕业班质量检测，21，7分) 选修4—4：极坐标与参数方程在直角坐标平面内，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. 已知点的极坐标为，曲线的参数方程为（Ⅰ）求直线的直角坐标方程；（Ⅱ）求点到曲线上的点的距离的最小值．[解析]考察专题：9.1，9.2，17；难度：容易（Ⅰ）∵点的极坐标为，∴点的直角坐标为，即，∴直线的斜率，∴直线的直角坐标方程为．…………………………………………3分（Ⅱ）将曲线的参数方程消去参数化为普通方程为，………………5分则曲线是圆心为半径为的圆．∴，∴点M在圆A外，∴点到圆A上的点的距离最小值为．即点到曲线上的点的距离最小值为．…………7分（3）(2012福建省毕业班质量检测，21，7分) 选修4—5：不等式选讲设实数满足．（Ⅰ）若，求的取值范围；（Ⅱ）若，且，求的最大值．[解析]考察专题：18；难度：容易（Ⅰ）∵，∴，∴．∴，∴，解得．∴的取值范围．…………………………………………4分（Ⅱ）∵，，∴，…………………………………6分当且仅当时，等号成立．∴的最大值为27．…………………………………………7分34.（1）由余弦定理得：，∴，∵∴，，当且仅当时，等号成立，∴最小值为.此时设与的夹角分别是、，当时，∴，又，∴.同理可求，此时.同理可求，当时，.综上所得，此时与的夹角，与的夹角.（2）以C为原点，以的平分线为轴建立平面直角坐标系，如图所示.则,设,则，，，∴，又，又，消去得.，存在两定点使恒为常数，.35.(Ⅰ)∵F(x)=ax-ln x(x>0),∴F'(x)=a-=(x>0). (1分)①当a≤0时,F'(x)<0,∴F(x)在(0,+∞)上单调递减,无极值. (2分)②当a>0时,由F'(x)=0⇒x=,对x∈,F'(x)<0,∴F(x)在上单调递减;对x∈,F'(x)>0,∴F(x)在上单调递增.∴F(x)在x=处有极小值,即F=1-ln,(3分)∴1-ln=1⇒a=1,综上,得a=1. (4分)(Ⅱ)∵G(x)=asin(1-x)+ln x,∴G'(x)=-acos(1-x)+. (5分)∴G(x)=asin(1-x)+ln x在区间(0,1)上为增函数,∴G'(x)=-acos(1-x)+≥0对x∈(0,1)恒成立.∵x∈(0,1),cos(1-x)>0,∴当a≤0时,显然G'(x)=-acos(1-x)+≥0恒成立;(6分)当a>0时,则G'(x)=-acos(1-x)+≥0⇔≥xcos(1-x)恒成立.设h(x)=xcos(1-x),显然h(x)=xcos(1-x)在(0,1)上单调递增,∴h(x)<H(1)=1. span <>由≥1⇒0<A≤1. span (7<>分)综上,a的取值范围是(-∞,1]. (8分)(Ⅲ)证明:由(Ⅱ)知,当a=1时,G(x)=sin(1-x)+ln x在区间(0,1)上为增函数,∴当x∈(0,1)时,G(x)=sin(1-x)+ln x⇒sin(1-x). (9分)令1-x=t,则当t∈(0,1)时,sin t成立.∵对k∈N+,有∈(0,1),∴sin=ln. (10分)∴sin+ln+ln+…+ln=ln···…·=ln=ln<LN span 2. (12<>分)分析:(1)先讨论未知数系数,再讨论根与区间端点的大小;(2)注意x的范围为封闭范围及余弦函数的有界性的应用;(3)注意利用(Ⅱ)问结论.失分警示:讨论时层次不清楚,导致无从下手.36.(Ⅰ) 如图, AB=40, AC=10, ∠BAC=θ, sin θ=.由于0°<θ<90°,所以cos θ==.由余弦定理得BC==10.所以船的行驶速度为=15(海里/小时) .(Ⅱ) 解法一:如图所示, 以A为原点建立平面直角坐标系,设点B、C的坐标分别是B(x1, y1) , C(x2, y2) , BC与x轴的交点为D. 由题设有, x1=y1=AB=40,x2=ACcos∠CAD=10cos(45°-θ) =30,y2=ACsin∠CAD=10sin(45°-θ) =20.所以过点B、C的直线l的斜率k==2,直线l的方程为y=2x-40.又点E(0, -55) 到直线l的距离d==3<7.所以船会进入警戒水域.解法二:如图所示, 设直线AE与BC的延长线相交于点Q.在△ABC中, 由余弦定理得cos∠ABC===.从而sin∠ABC===.在△ABQ中, 由正弦定理得,AQ===40.由于AE=55>40=AQ, 所以点Q位于点A和点E之间, 且QE=AE-AQ=15. 过点E作EP⊥BC于点P, 则EP为点E 到直线BC的距离.在Rt△QPE中, PE=QE·sin∠PQE=QE·sin∠AQC=QE·sin(45°-∠ABC) =15×=3<7.所以船会进入警戒水域.37.(Ⅰ) f '(x) ==.当2kπ-<x<2kπ+(k∈Z) 时,cos x>-, 即f '(x) >0;当2kπ+<x<2kπ+(k∈Z) 时,cos x<-, 即f '(x) <0. 因此f(x) 在每一个区间(k∈Z) 是增函数, f(x) 在每一个区间(k∈Z) 是减函数.(Ⅱ) 令g(x) =ax-f(x) , 则g'(x) =a-=a-+=3+a-.故当a≥时, g'(x) ≥0. 又g(0) =0,所以当x≥0时, g(x) ≥g(0) =0, 即f(x) ≤ax.当0<a<时, 令h(x) =sin x-3ax, 则h'(x) =cos x-3a.故当x∈[0, arccos 3a) 时, h'(x) >0,因此h(x) 在[0, arccos 3a) 上单调增加,故当x∈(0, arccos 3a) 时, h(x) >h(0) =0, 即sin x>3ax.于是, 当x∈(0, arccos 3a) 时, f(x) =>>ax.当a≤0时, 有f=>0≥a·.因此, a的取值范围是.。