F + FN + (− ma) = 0
(*)
将－ma用力的符号FI表示，称为质点的惯性力，即
FI = −ma
则(*)式在形式上可理解为质点在主动力F，约束力FN 和质点的惯性力FI的作用下处于平衡，即
F + FN + FI = 0
当非自由质点运动时，作用于质点上的主动力、约束 力与质点的惯性力在形式上组成一平衡力系，这就是 质点的达朗贝尔原理。
动量矩矢量总是沿着最短 途径向外力矩方向靠拢来 判断进动角速度的方向。
动量矩 H 在惯性空间的
转动角速度 ω
v =ω×H ω×H =M
陀螺仪产生进动的物理实质： 内因：动量矩 外因：外力矩试图改变动量矩方向
转子绕自转轴以等 角速度相对内环转动， 转子又连同内、外环 绕外环轴以等角速度 相对惯性空间转动。
M z = −Hωy
三、陀螺力矩
当外界施加力矩使陀 螺进动时，必然存在反 作用力矩，其大小相等, 方向与外力矩的方向相 反，且作用在给陀螺施 加力矩的物体上。
有力矩，必有反作用力矩，二者大小相等，方向相反, 且分别作用在两个不同的物体上 陀螺仪进动的反作用力矩，通常简称为“陀螺力矩”
ω ×=M
dH = 0 dt
即 H = 常数
动量矩矢量 H 与陀螺转子的自转轴近似重合
动量矩矢量 H 的方向不变亦即陀螺仪主轴
在空间的方位不变
当冲击力矩作用时，则根据动量矩定理 dH = M dt
dH = Mdt
dH → 0
H → 常数
在冲击力矩作用下，陀螺仪主轴在空间的位置 没有明显的改变。
冲击力矩作用在转子未自转的陀螺仪上 内环绕力矩方向翻滚多周
设陀螺转子以等角速度 Ω 绕
极 轴 ox 作 高 速 旋 转 ， 同 时 又
以等角速度 ω绕赤道轴oz进动，
这种特殊的复合运动叫做陀 螺运动。
aK = 2ωzΩr sinθ
dFrik = −dmaK
= −ρrdθdrdh ⋅ 2ωzrΩsinθ
dM gy = −dFrik ⋅ r sinθ = －2ρωzΩr3dr sin2 θdθdh
二、进动性
在内环轴上作用力矩，转子不绕内环轴转动， 而是绕外环轴转动。
（a）绕内环轴进动
（b）绕外环轴进动
进动性:在外力矩作用下，陀螺仪主轴转动方 向与外力矩向量方向不一致，而是与外力矩向量 垂直，并力图使主轴以最短途径向外力矩向量靠 拢的特性。
由动量矩定理可知： dH = M
dt
动量矩定理的另一种表达形式 dH = v = M dt
转轴ox都不重合。由于 ox轴近似重合。
Ω1 >>ω，故 Ω1与
H和
4、忽略内、外环的转 动惯量
一、稳定性
定轴性：陀螺转 子的主轴相对惯 性空间保持方位 不变。
抗 冲 击 性 ： 在 冲 击力矩作用下，主 轴绕原来的指向作 高频微幅振荡（陀 螺仪的章动）
由动量矩定理
dH = M dt
当没有外力矩作用时
整个转子上所有质点的哥氏惯性力对oy轴产生的 哥氏惯性力矩为：
∫ ∫ ∫ M gy= −2ρωzΩ
R r3dr
0
2π sin2 θdθ
0
h
2 −h
dh
2
=－π
2
R4hρΩωz
= −J xΩωz
= －Hωz
dM y = dFK ⋅ r sinθ = 2ρωzΩr3dr sin2 θdθ ⋅ dh
∫ ∫ ∫ M y
= 2ρωzΩ
R r 3dr
0
2π sin2 θdθ ⋅
0
h
2 −h
dh
2
=
π
2
R 4 hρΩω z
=
Jx
⋅ Ω ⋅ωz
=
Hωz
式中
Jx
=π
2
R4hρ
,
H
=
JxΩ
− M z = Hωy
M y = Hωz
角速度 Ω 使转子内的各质点产生相对运动
角速度 ω 使转子内的各质点产生牵连运动
Fk = maK = m ⋅ 2ω ⋅ Ω ⋅ r ⋅ sinθ
dV = rdθ ⋅ dr ⋅ dh
dm = ρdV = ρrdθ ⋅ dr ⋅ dh
dFK = dm ⋅ aK = ρrdθdrdh ⋅ 2ωz ⋅ rΩ sinθ
M g = −ω × H = H × ω 大小为M g = Hω sin(H ˆ⋅ ω)
方向为从H沿着最短途径握向进动角速度ω 的旋进方向
惯性力
若质量为m的非自由质点M，在主动力F和约束力FN的作 用下沿着某一曲线运动，其加速度为 a，如图所示。
根据牛顿第二定律
ma = F + FN
将上式中的ma项移到等号另一边，则成为
5.3 陀螺仪基本特性的力学解释
陀螺仪的特点
1、转动惯量为：
Jy
=
Jz
=
1 2
Jx
2、自转角速度远大于牵连
角速度: Ω >> ω
陀螺仪的瞬时绝对角速度
为 : Ω1 = Ω + ω ≈ Ω
转子相对基座的运动可看成转子相对框架的相 对运动和框架相对惯性空间的牵连运动。
3、转子的瞬时绝对角速度为 Ω1 ，与动量矩 H 和自