ys in2x1co2sx 2
因为 cos2x 的周期是π，故 sin2x 的周期也是π. sin2x 的周期，由cosx 的2π变为sin2x的π.就是因为符号法“负负 得正”所致.
因此，正弦函数 sinx 的幂复合函数sin m x，当m=2n时，sin m x 的最小正周期为π；m = 2n – 1时，sin m x 的最小正周期是2 π.
L2πL 2π
例如 sin 2x的最小正周期为 2 π π 2
sin x 的最小正周期为 2 π 4 π
2
1
2
正弦函数的周期性
3. 正弦函数 y=sin(ωx+ φ) 的周期性
对正弦函数sinx的自变量作“一次替代”后，成形式 y = sin(ωx+ φ)
它的最小正周期与 y = sin ω x 的最小正周期相同，都是 L 2 π
(2) sin x 的定义域为［2kπ，2kπ+π］，值域为［0，1］，作图可 知， 它是最小正周期为2π的周期函数.
【说明】 从基本函数的定义域，值域和单调性出发，通过作图，
还可确定，loga x，sinx， 期函数.
，1 sin(sinx)都是最小正周期2π的周
sin x
大家应该也有点累了，稍作休息
3. y= sin2 x 的周期性
对于y = sin2x =(sinx)2，L=2π肯定是它的周期，但它的最小正周 期是否为2π？ 可以通过作图判定，分别列表作图如下.
图上看到，y = sin2x 的最小正周期为π，不是2 π.
复合函数的周期性
4. sin2n x 和sin2n-1 x 的周期性
y = sin2x 的最小正周期为π，还可通过另外一种复合方式得到.
sinxcoxs 2sinx(π) 4
和函数的周期与原有函数的周期保持不变. 这个结论符合一般 情况. 对于另一种情况，当相加的两个函数的最小正周期不相同，情 况将会如何？
周期函数的和函数
1. 函数 sinx+sin2 x 的周期性
sin x 的最小正周期为2π，sin2x的最小正周期是π，它们之间谁 依赖谁，或依赖一个第三者？ 列表如下.
后者周期变为 2π ( 0)
而在以下的各种变换中，如
(1)初相变换 sin ωx → sin( ωx+φ)；
(2)振幅变换 sin( ωx +φ) → Asin( ωx+φ)；
(3)纵移变换 Asin( ωx +φ) → Asin( ωx+φ)+m；
后者周期都不变，亦即 Asin( ωx +φ) +m与sin(ωx)的周期相同，
都是
2π
而对复合函数 f (sinx)的周期性，由具体问题确定.
复合函数的周期性
1. 复合函数 f(sinx) 的周期性
【例题】 研究以下函数的周期性：
(1) 2 sinx ； (2) sin x
【解答】
(1) 2
sinx 的定义域为R，值域为
1 2
,
2
，作图可知，
它是最小正周期为2π的周期函数.
如 y sin3x π 的最小周期与 y = sin(3x)相同，都是 2 π
2
3
于是，余弦函数 ycox ssinπxsin xπ的最小正周期
2 2
与sinx的最小正周期相同，都是2π.
三角函数的单调性
二、复合函数的周期性
将正弦函数 y = sin x 进行周期变换x→ ωx，sinx →sinωx
三角函数的周期性
三角函数的周期性
三角函数的周期性
一、正弦函数的周期 二、复合函数的周期性 三、周期函数的和函数 四、周期函数在高考中 五、高考史上的周期大难题 六、高考史上的周期大错题
三角函数的周期性
一、正弦函数的周期
三角函数，以正弦函数 y = sin x 为代表，是典型的周期函数. 幂函数 y = xα 无周期性，指数函数 y = ax 无周期性，对数函数 y =logax无周期，一次函数 y = kx+b、二次函数 y = ax2+bx+c、 三次函数 y = ax3+bx2 + cx+d 也无周期性. 周期性是三角函数独有的特性.
2
【解答】 (sinx)5 5(sinx)2
最小正周期为π.
q
【说明】 正弦函数sinx 的幂复合函数 (sin x ) p
当 q 为奇数时，周期为2π；q 为偶数时，周期为π.
三角函数的周期性
三、周期函数的和函数
两个周期函数，如 sin x 和 cosx ，它们最小正周期相同，都是 2π. 那么它们的和函数，即 sinx + cos x的最小正周期如何？
正弦函数的周期性
1. 正弦函数 y=sinx 的最小正周期
在单位圆中，设任意角α的正弦线为有 向线段MP. 动点P每旋转一周，正弦线MP的即时位 置和变化方向重现一次. 同时还看到，当P的旋转量不到一周时， 正弦线的即时位置包括变化方向不会重 现因.此，正弦函数 y =sinx的最小正周期 2π.
Байду номын сангаас
复合函数的周期性
5. 幂复合函数举例
【例1】 求 y =| sinx |的最小正周期.
【解答】 y|sinx| sin2x
最小正周期为π.
5
【例2】 求 y (sin x) 3 的最小正周期.
5
【解答】 (sinx)3 3 (sinx)5 最小正周期为2π.
2
【例2】 求 y (sin x) 5 的最小正周期.
正弦函数的周期性
2. y=sin(ωx) 的最小正周期
设ω>0，y =sin(ωx)的最小正周期设为L . 按定义 y = sin ω(x+L) = sin(ωx+ ωL) = sin ωx . 令ωx = x' 则有 sin (x' + ωL) = sin x' 因为sinx最小正周期是2π，所以有
表上看到函数sinx+sin2x的最小正周期是2π.
周期函数的和函数
1. 函数 sinx+sin2 x 的周期性
依据上表，作sinx+sin2x 的图
象如右.
从图上看到，函数的最小正周
期为2π. 由sinx，sin2x 的最小正
大家有疑问的，可以询问和交
复合函数的周期性
2. y= sin3 x 的周期性
对于y = sin3x =(sinx)3，L=2π肯定是它的周期，但它是否还有更 小的周期呢？ 我们可以通过作图判断，分别列表作图如下.
图上看到，y = sin3x 没有比2π更小的周期，故最小正周期 为2π.
复合函数的周期性