§5.2 求不定积分的几种基本方法
一、 第一类换元法（凑微分法） 先看下例：
例1 求 cos3 xdx.
解
cos3 xdx
cos
2
x
.
cos
xdx
cos2xd sin x (1 sin2 x)d sin x
设
u sin x, 则
cos3 xdx (1 u2 )du u 1 u3 C
由此得 f x xdx f xd x
= dF x F x C.
于是有如下定理：
定理1 设 f ( u ) 是具有原函数 F ( u ), u x 可导，则
有换元公式
f
x xdx
f
(u
)
d
u
u x
F ( u ) C ux .
（5-2）
由此可见，一般地，如果积分 g xdx 不能直接
1 ln a x 1 ln a x C
2a
2a
1 ln a x C. 2a a x
例9 求 解
tanxdx.
tanxdx
sin cos
x x
dx
d cos x cos x
ln cos x C.
类似地可得 cotxdx ln sin x C.
例10 求 sin2xdx.
反函数 t 1(x) 代回去,这样换元积分公式可表示为:
f (x)dx
f
(
(t
))
(t
)dt
2
2
，
1 eu Байду номын сангаас 1 ex2 C.
2
2
凑微分与换元的目的是为了便于利用基本积分公式．在
比较熟悉换元法后就可以略去设中间变量和换元的步骤．
例6 求
1
dx a2 x2
(a 0).
解
1 dx
dx
a2 x2
a 1 ( x)2
d( x) a
arcsin x C.
1 ( x)2
3
(2x
3)dx
1 2
1 2x
3
d(2x
3)
1 2
1du u
1 ln u C 1 ln 2x 3 C.
2
2
，
一般地，对于积分 f (ax b)dx 总可以作变量代换
u
ax
b，把它化为
f
(ax
b)dx
1 a
f
(ax
b)d(ax
b)
1 a
f
(u)du
u
(x)
.
例4 求 x x2 1dx.
tan x 1 tan3 x C. 3
第一类换元法有如下几种常见的凑微分形式:
(1)
dx 1 d(ax b); a
(2)
x dx
1 dx1( 1
1);
(3)
1 dx d ln x; x
(4) axdx 1 dax;
ln a
(5) sin xdx d cos x; (6) cos xdx d sin x;
解 令 u x2 1,
则
x x2 1dx 1 x2 1(x2 1)dx
2
，
1 x2 1d(x2 1)
2
1
udu
1
3
u2
C
2
3
1
(x2
3
1) 2
C.
3
例5 求 xex2 dx.
解 令 u x2,则 du 2xdx ,有
xex2 dx 1 ex2 (2x)dx 1 eudu
3
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sin x 1 sin3 x C. 3
一般地，如果 F ( u ) 是 f ( u )的一个原函数，则
f (u ) du F (u ) C,
而如果 u 又是另一个变量 x 的函数 u x, 且 x 可微，那么根据复合函数的微分法，有
dF x f xd x f x xdx.
解
sin
2
xdx
1
cos 2
2
xdx
1 2
x
1 4
cos
2
xd(2
x)
1 x 1 sin 2x C. 24
类似地可得
cos2
xdx
1 2
x
1 4
sin
2x
C.
例11 求 csc xdx.
解
csc
xdx
1 sin
x
dx
sin sin 2
x x
dx
d cos x cos2 x-1
1 ln 2
1 cos x 1 cos x
(7) sec2 xdx d tan x; (8) csc2 xdx d cot x;
(9)
1 dx d arcsin x;
1 x2
(10)
1 1 x2
dx
d
arctan
x.
二、 第二类换元法
第一类换元法是通过变量代换 u (x) ，将积分
f ((x))(x)dx 化为积分 f (u)du ．第二类换元法是通 过变量代换 x (t) ，将积分 f (x)dx 化为积分 f ((t))(t)dt. 在求出后一个积分后,再以 x (t) 的
利用利用基本积分公式计算，而其被积表达式 g x dx
能表示为 g xdx f x xdx f xd x
的形式，且 f (u ) d u 较易计算，那么可令 u x,
代入后有 g xdx f x xdx
f
x d
x
f
(u
)
d
u
u x.
这样就得到了 g x 的原函数.这种积分称为第一类换元法.
a
a
a
例7
求
1
a2 x2 dx.
解
a2
1
x2
dx
1 a2
1
1 ( x)2
dx
a
1 a
1
1 ( x)2
d( x) a
1 a
arctan
x a
C.
a
例8 求
a2
1
x2
dx(a
0).
解
a2
1
x2 dx
1 2a
( a
1
x
a
1
)dx x
1 2a
d(a x) ax
1 2a
d(a x) ax
由于在积分过程中，先要从被积表达式中凑出一个积分
因子d x x dx, 因此第一类换元法也称为凑微分法.
例2 求 2cos2xdx.
解 2cos2xdx cos2x 2x dx
cos u d u sin u C.
再以 u 2x 代入，即得 2 cos 2xdx sin 2x C.
C
ln tan x C. 2
类似地可得 sec xdx ln sec x tan x C.
例12 求
ex
dx. x
解
e
x
dx 2
e
xd
x 2e x C.
x
例13 求 sec4 xdx.
解
sec4 xdx sec2 xd tan x (1 tan2x)d tan x
例3
求
1 2x
dx. 3
解 被积函数 1 可看成
，
2x 3
1 与 u 2x 3 构成的复合
u
函数，虽没有 u 2 这个因子，但我们可以凑出这个因子：
1 1 1 2 1 1 (2x 3)
2x 3 2 2x 3
2 2x 3
如果令 u 2x 3 便有
1 2x
dx 3
1 2
1 2x