三项表示基本体系在温度变化和支座移动情况下引起的位移。
1 超静定结构内力计算
§1.2位移法
§1.2.1等截面直杆的转角位移方程式 位移法以结点的位移（角位移和线位移）作为基本来知数，根据求出的位移计
算各杆的内力。因此，必须首先建立各杆件的杆端位移与杆端的内力之间的关系。 这就是转角位移方程。
设一结构中某杆AB。结构受荷载作用的变形如图1-2所示。
《高等工程力学》1 超静定 结构内力计算
1 超静定结构内力计算
1.1力法
§1.1.1力法的基本原理
力法是计算超静定结构的一种基本方法。 基本原理是： 首先将超静定结构中的多余联系去掉，代之以多余未知力；相应于每一个多余 联系，就有一个多余未知力。去掉多余联系后，超静定结构就变成在荷载和多余 未知力共同作用下的静定结构。 力法的基本体系：从超静定结构中去掉多余联系而代之以未知力，这样获得的 静定的几何不变体系。 基本未知数：多余未知力。 基本体系的选择：拟定出去掉多余联系的各种可能方案，选择其中一个作为基 本体系。基本体系应该是几何不变的。选择基本体系的原则应使计算尽可能简单 和方便。
令 i ，E称I 为杆的线刚度，则 l
MAB 2i2A B l MAB
MBA
2iA
2B
l
MBA
(1-8)
这就是两端固定等截面直杆的转角位移方程。
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§1.2.1等截面直杆的转角位移方程式（续2）
同理可以求出一端固定一端铰支等截面直杆（图1-3a）的转角位移方程。设B 端为铰，则MBA＝0
解方程求出转角后再代回各杆端的转角位移方程中，就可以求出各杆端的内力。
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§1.2.3考虑结点及截面平衡法求解结构内力（续1）
⑵ 有结点线位移的情况 计算这类结构时；原利用公式（1-11）考虑各结点的弯矩平衡外，还需考虑 相应杆端剪力的平衡。取适当的截面截出结构的一部分，通常是截断各柱的柱顶 端。取出横梁。考虑剪力平衡，建立剪力平衡方程，即
Qx 0
(1-12)
补充了剪力平衡方程后，方程式的数目仍然与未知数的数目相等，方程式总是 可以求解的。
1 超静定结构内力计算
§1.2.3考虑结点及截面平衡法求解结构内力（续2）
⑶ 考虑结点和截面平衡法的解题步骤 ① 确定结构的未知数。 ② 列出各杆端的转角位移方程。 ③ 列出各刚性结点的和相应截面的平衡方程式。 ④ 解平衡方程式求未知位移。 ⑤ 将位移代回转角位移方程求各杆端弯矩。
刚性结点的角位移都是基本未知数。 结点的独立线位移是位移法的基本未知数
图1-4
确定刚架独立线位移数可以采用下述方法：把刚架所有刚性结点变成铰结点， 刚架体系是几何可变的，则原刚架有结点线位移。若增加链杆使此铰接体系变成 几何不变体系，则所增加的链杆数目就是原结构具有的独立位移的数目。这个方 法只适用于不考虑杆的轴向变形的情况。
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§1.2.2位移法的基本来知数和基本体系（续）
对每一个刚性结点都附加一个刚臂以限制结点的转角。同时，对每一个独立线 位移加上一个相应的附加链杆以限制其线位移。这样，结构就变成了一个没有任 何结点位移的，由单跨超静定梁组成的组合体。这样的组合体就是位移法的基本 体系。
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§1.2.3考虑结点及截面平衡法求解结构内力
⑴ 结点无线位移的情况 一般的无侧移刚架、连续梁等都属于这类结构。计算这类结构时，截取每一个 刚性结点，考虑其处于平衡状态。则
Mjk 0
(1-11)
其中j表示截取的结点号，亦表示联结于结点j的各杆的近端，k表示各杆的远 端。该式表示联结于结点j各杆近端弯矩的代数和为零。将各杆端的转角位移方 程式代入，方程（1-11）中就只有各结点的转角作为未知数。如果结构中有n个 刚性结点，则可列出n个平衡方程。恰好解出方程中的n个基本来知数，即n个刚 性结点的转角。
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§1.1.3温度变化、支座移动引起的内力计算(续)
其中 α——线膨胀系数； t/——杆件两侧温差； t0——杆件轴线温升（降）； h——杆截面高度； nc——由于支座移动引起基本体系Xn的作用点沿Xn方向的位移。
nc可由几何关系确定或由虚功原理计算。
nc Rnc
其中 R—n —当Xn＝1时引起的支座反力。 c——支座移动的距离。
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§1.1.4超静定结构的位移计算
按照虚功原理，计算超静定结构位移时，若忽略轴力及剪力的影响，其计算公
式为：
s
MMds EI
在平面结构中结构位移计算的一般公式为：
s M E M d I s s N E N d A s s K G Q Q d A s s N t 0 d s s M h t d s R K c K(1-7)
图1-2
1 超静定结构内力计算
§1.2.1等截面直杆的转角位移方程式（续1）
AB杆产生位移后，杆端的总弯矩为
M AB M A / B M A //B M A //B /M AB 4E l IA2E l IB6 lE 2 IAB M AB
M BA M B / A M B //A M B //A / M BA 2E l IA4E l IB6 lE 2 IAB M BA
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
MAB3iA3i l MAB
(1-9)
当一端为固定另一端为滑动支承时（图1-3b），转角位移方程为。
MABiABMAB MBAiBAMBA
这三种类型的杆的转角位移方程是最基本的三种类型。
(1-10)
图1-3
1 超静定结构内力计算
§1.2.2位移法的基本来知数和基本体系
位移法以结点的位移作为基本未知数。但并不是每个结点位移都可以成为基本 来知数的。
其中 M、Q、N——超静定结构在各种因素作用下的内力图。
M i 、Q i、N i ——任取的基本体系在单位力作用下的内力图，而单位力是加在 要求位移的截面上的；
—R K—基本体系支座k在单位力作用下的反力； cK——k支座的实际位移。 公式（1-7）的前三项表示基本体系在荷载和多余未知力的作用下的位移，后
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§1.2.4利用典型方程求解结构的位移和内力