设 AB BC k , 则BC CA 3k , CA AB ( 3 2)k AB BC CA AB AB k ( 3 2)k ( 3 1)k
解 法 一
2
AB (1 3 )k 又BC CA CA AB CA 3k ( 3 2)k (2 3 2)k AC (2 2 3 )k 同理可求 BC ( 3 1)k , k＜０， AB ＜ CA ＜ BC
课 前 寄 语
主 干 知 识 整 合
高考趋势：利用向量的思想方法解决有关问题，如 平行与垂直及平面几何的相关问题，并突出向量的 工具作用，已成为高考试题中的重点考查内容。 考点知识： 1.向量的有关概念。 2.向量的各种运算的几何含义及坐标表示。 3.向量平行，垂直的充要条件。 4.定比分点公式，向量的平移公式。
C
AD BE CF与BC反向平行
1 若O是直线AB外一点， AP PB, 则OP OA OB. 1 1 同学们能尝试用上述定比分点的向量式解决吗？
2.(浙江)已知 a 、 b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向 量 c满足， （ b c） 0, 则｜ C ｜的最大值是 （ ） （a c）
1 1 1 1 1 1 法一： AO a , AD AO OD a b, AE (AO AD) a b 2 2 2 2 2 4 A, E, F三点共线， AF AE显然＞1故选B
法二：由题， AD AB a , AD AB b
C
考点热点探究 考点一 向量的基本运算
例1.（1）在△ABC中，若 AC BC 1, AB BC 2,则 ∣BC∣的值为 ( D ) A. 1 B. 3 C. 2 D. 3 分析：将两向量式相减有
(AC AB) BC BC 3, BC 3
【评注】注意向量的模与数量积之间的关系：a ＝ a
A. 1 B. 2 C.
２
2
D.
2 2
方法一:向量式展开后整理有ｃ＝ ｃ （ ａ ＋ ｂ ）
c a b cos
2 cos
2
1 2 1 2 2 2 ) 2
方法二： 设a (1,0),b (0,1),C(x, y), 则（x ）2 (y ) 2 (
c 表示圆上动点到原点的距离，显然 c 的最大值为 2
想 一 想
2 2 2
2
变式题
已知点 A,B,C 不共线，且有 A.∣ AB ∣﹤∣ C A∣﹤∣ B C ∣ C. ∣ AB ∣﹤∣ B C ∣﹤∣ C A∣
AB BC BC C A C A AB , 1 3 32
则有（
）
B. ∣ B C ∣﹤∣ C A∣﹤∣ AB ∣ D. ∣ C A∣﹤∣ AB ∣﹤∣ B C ∣
2 2
2
（2）在△ABC中,tanC= ,边BC上的点H 满足AH BC 0 ，则过C、以A、H为两焦点 的椭圆的离心率为 解：∵tanC=4 ， 3A源自4 3CH
B
∴C为锐角，sinC =
4 ,cosC = 3 , 5 5 4 5 设AH=2c,则AH= 5CA, ∴CA= c, 2 3 5 3 3 又CH= AH= 2c, CH+CA=2a ∴ c+ c=2a 2 4 2
经典真题感悟 1. (湖南)设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点, 且 DC=2 BD， =2 EA， （ AF=2 FB ,则 AD BE CF与BC CE ） A.反向平行 C.互相垂直
A E F B D
B.同向平行 D.既不平行也不垂直
1 2 2 解: AD BE CF AB BC BC CA CA AB 3 3 3 5 4 5 4 1 (CA AB ) BC CB BC BC 3 3 3 3 3
方法三：（借助图形分析）
如图，设 OA a , OB b,由题意知 CA CB 0即CA CD,
B
C
c ∴C在以AB为直径的圆上，当OC为圆的直径时，
取最大值 2
O A
3. (广东)在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点 O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F. 若 AC , 则 （ AF ） a BD, b 1 2 1 1 1 1 2 1 a b a b a b D. a b A． B. C. 3 3 4 2 2 4 3 3
1 ∴e= 2
分析：求离心率可 转化为寻求CA+CH 与AH的数量关系式。
变式题
已知点 A,B,C 不共线，且有 A.∣ AB ∣﹤∣ C A∣﹤∣ B C ∣ C. ∣ AB ∣﹤∣ B C ∣﹤∣ C A∣
AB BC BC C A C A AB , 1 3 32
则有（
）
B. ∣ BC ∣﹤∣ C A∣﹤∣ AB ∣ D. ∣ C A∣﹤∣ AB ∣﹤∣ B C ∣
大致判 断
F D E O B
1 1 AD (a b), AB (a b) 2 2 DE 1 又E是OD的中点 BE 3 DEF BEA F是CD的三等分点
严格推理
A
1 1 1 2 1 DF DC AB AF AD AB a b 3 3 3 3 3
思考是一种寻觅。寻觅的过程充满混沌与 艰辛，需穿越荒漠涉过险滩，有时则穿行在 热闹的人群中，忍受着生活的单调和人们的 误解。在失败时思考，是为了渡过人生的这 一危机，在大声喧哗时思考，是为了保持冷 静；在独处时思考，是为了更仔细地梳理命 运的线索……思考的魅力是无穷的，善于思 考是人生的一大财富。愿每位同学在学习生 活中懂得思考，学会思考。
AB BC cos B BC CA cosC CA AB 解：由已知得， 1 3 32 3 AB cos B CA cosC.......... .......... ( １ )