运动学专题训练（匀变速直线运动、平抛、圆周运动）
运动的分类：
一、变速直线运动：
三个基本公式： 1、at v v t +=0
2、2
021
at t v s +=
3、
as v v t 22
02=- 两个重要推论：
4、2aT s =∆
5、202v v v v t t +==；（
22202/t s v v v +=
） 四个关于v 0=0的匀加速直线运动的推论（要求会推导）：
初速度为零的匀变速直线运动，设T 为相等的时间间隔，则有： 6、T 末、2T 末、3T 末……的瞬时速度之比为： v 1:v 2:v 3:……v n =1:2:3:……:n
7、T 内、2T 内、3T 内……的位移之比为： s 1:s 2:s 3: ……:s n =1:4:9:……：n 2
8、第一个T 内、第二个T 内、第三个T 内……的位移之比为： s Ⅰ:s Ⅱ:s Ⅲ:……：s N =1:3:5: ……:（2N-1）
9、初速度为零的匀变速直线运动，设s 为相等的位移间隔，则有：
第一个s 、第二个s 、第三个s ……所用的时间t Ⅰ、t Ⅱ、t Ⅲ ……t N 之比为：
t Ⅰ：t Ⅱ：t Ⅲ ：……：t N =1：()()
:23:12--……：)1n n (-- 自由落体的相关公式推导：（令v 0＝0，a=g ）
竖直上抛运动相关公式推导：
上升过程是匀减速直线运动，下落过程是匀加速直线运动。

全过程是初速度为v 0、加速度为-g 的匀减速直线运动。

1、适用全过程的公式： 2
021
gt t v s -= gt v v t -=0
as v v t 22
02=- （s 、v t
的正、负号的理解） 2、上升最大高度：
g 2v
H 2
o
= 3、上升的时间：
g v t o =
4、上升、下落经过同一位置时的加速度相同，而速度等值反向
5、上升、下落经过同一段位移的时间相等。

从抛出到落回原位置的时间：g v 2o
例1、一个物体从H 高处自由落下，经过最后196m 所用的时间是4s ，求物体下落H 高度所用的总时间T 和高度H 是多少？取g=9.8m/s 2，空气阻力不计.
分析：根据题意画出小球的运动示意图（图1）其中t=4s ， h=196m. 解：方法1：根据自由落体公式
式（1）减去式（2），得
方法2：利用匀变速运动平均速度的性质由题意得最后4s内的平均速度为
因为在匀变速运动中，某段时间中的平均速度等于中点时刻的速度，所以下落至最后2s时的瞬时速度为
由速度公式得下落至最后2s的时间
方法3：利用v－t图象
画出这个物体自由下落的v—t图，如图2所示.开始下落后经时间（T—t）和T后的速
度分别为g（T—t）、gT。

图线的AB段与t轴间的面积表示在时间t内下落的高度h。

由
二、平抛运动：
（1）定义：v0水平，只受重力作用的运动
性质：加速度为g的匀变速曲线运动
（2）特点：水平方向不受外力，做匀速直线运动；
在竖直方向上物体的初速度为0，且只受到重力作用，物体做自由落体运动。

既然平抛运动可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，我们就可以分别算出平抛物体在任一时刻t的位置坐标x和y以及任一时刻t的水平分速度v x和竖直分速度v y
（3）规律
2
2
y
x v v v +=
方向 ：=θtan o x
y
v gt
v v =
合位移大小：s=2
2y x + 方向：αtan =t v g x y o ⋅=2
③由①②中的tan θ、tan α关系得tan θ＝2 tan α
④时间由y=2
21gt
得t=x y 2（由下落的高度y 决定）
⑤竖直方向为v o =0的匀变速运动，匀变速直线运动的一切规律在竖直方向上都成立。

例2、如下图所示，以9.8m/s 的水平初速度v 0抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角为θ=30°的斜面上，则物体完成这段飞行的时间为多少？
解：v x =v 0① v y =gt ②
例、如图所示，从倾角为θ的斜面上的A 点，以水平速度v 0抛出一个小球，不计空气阻力，它落到斜面上B 点时所用的时间为（ ）
解析：设小球从抛出至落到斜面上的时间为t ，在这段时间内球的水平位移和竖直位移分别为x=v 0t ，
如图所示．由几何关系知
所以小球的运动时间 答案：B 说明：上面是从常规的分运动方法去研究斜面上的平抛运动，还可以变换一个角度去研究。

如图所示，把初速度v 0、重力加速度g 都分解成沿着斜面和垂直斜面的两个分量。

在垂直斜面方向上，小球做的是以v 0y 为初速、g y 为加速度的竖直上抛运动。

小球“上、下”一个来回的时间等于它从抛出至落到斜面上的运动时间，于是立即可得
采用这种观点，还很容易算出小球在斜面上抛出后，运动过程中离斜面的最大距离，从抛出到离斜面最大距离的时间、斜面上的射程等问题，有兴趣的同学请自行研究。

三、匀速圆周运动
（1）描述匀速圆周运动快慢的物理量
①线速度：大小v=t s
；单位 ： m/s
②角速度：大小ω=t φ
； 单位：rad/s
③周期Ｔ：运动一周的时间 单位：s
④ 频率f=T 1
：每秒钟转过的圈数 单位：Hz
（2）v 、ω、T 、 f 之间的关系:
（3）向心力：大小 2
222
)2()2(f mr T mr r v m mr F ππ
ω====
（4）向心加速度：大小 2
222
)2()2(f r T r r v r a ππ
ω====
（5）匀速圆周运动的性质：v 的大小不变而方向时刻在变化；a 的大小不变而方向时刻
也在变，是变加速曲线运动。

例4、用细绳拴着质量为m 的小球，使小球在竖直平面内做圆周运动，则下列说法中，正确的是（ ）
A. 小球过最高点时，绳子中张力可以为零
B. 小球过最高点时的最小速度为零
C. 小球刚好能过最高点时的速度是gR
D. 小球过最高点时，绳子对小球的作用力可以与球所受的重力方向相反 解析：像该题中的小球、沿竖直圆环内侧做圆周运动的物体等没有支承物的物体做圆周运动，通过最高点时有下列几种情况：
(1)mg mv /R v 2当＝，即＝时，物体的重力恰好提供向心力，向心Rg 加速度恰好等于重力
加速度，物体恰能过最高点继续沿圆周运动．这是能通过最高点的临界条件；
(2)mg mv /R v 2当＞，即＜时，物体不能通过最高点而偏离圆周Rg 轨道，做抛体运动；
(3)m g m v /R v m g 2当＜，即＞时，物体能通过最高点，这时有Rg ＋F ＝mv 2/R ，其中F 为绳子的拉力或环对物体的压力．而值得一提的是：细绳对由它拴住的、做匀速圆周运动的物体只可能产生拉力，而不可能产生支撑力，因而小球过最高点时，细绳对小球的作用力不会与重力方向相反。

所以，正确选项为A 、C 。

点拨：这是一道竖直平面内的变速率圆周运动问题。

当小球经过圆周最高点或最低点时，其重力和绳子拉力的合力提供向心力；当小球经过圆周的其它位置时，其重力和绳子拉力的沿半径方向的分力（法向分力）提供向心力。

【问题讨论】：
1、该题中，把拴小球的绳子换成细杆，则问题讨论的结果就大相径庭了．有支承物的小球在竖直平面内做圆周运动，过最高点时：
(1) v (2) v (3) v 当 ＝ 时，支承物对小球既没 有拉力，也没有支撑力 ；
当 ＞ 时，支承物对小球有指 向圆心的拉力作用； 当 ＜ 时，支撑物对小球有背 离圆心的支撑力作用； Rg Rg Rg
（4）当v ＝0时，支承物对小球的支撑力等于小球的重力mg ，这是有支承物的物体在竖直平面内做圆周运动，能经过最高点的临界条件 2、竖直面内的圆周运动：
竖直面内圆周运动最高点处的受力特点及分类： 物体做圆周运动的速率时刻在改变，物体在最高点处的速率最小，在最低点处的速率最大。

物体在最低点处向心力向上，而重力向下，所以弹力必然向上且大于重力；而在最高点处，向心力向下，重力也向下，所以弹力的方向就不能确定了，要分三种情况进行讨论。

1）绳与圆筒内部。