特殊地： OM { x, y, z}
22
向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式
a
{a x
,
ay,
az },
b {bx , by , bz },
ab
{ax
bx
,
a
y
by ,
az
bz
}
(ax bx )i (a y by ) j (az bz )k;
a b {ax bx ,a y by , az bz }
3
二、空间两点间的距离
设M1( x1 , y1 , z1 )、M2 ( x2 , y2 , z2 )为空间两点
M1M2 x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2 .
空间两点间距离公式
4
5
一、向量的概念 向量： 既有大小又有方向的量.
M2
向量表示：
a
或
M1M2
M1
以
向量的模：
的充
a.
11
设a 0表示与非零向量
a
同方向的单位向量，
按照向量与数的乘积的规定，
a | a | a0
a
a
0
.
|a|
上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位 向量.
12
13
一、空间两向量的夹角的概念：
向量aa与0向 , 量b b的0,夹角
(a,b)
(b,a)
b
OM
7
二、向量的加减法
[1] 加法：
ab c
（平行四边形法则）
b
c
a
（平行四边形法则有时也称为三角形法则）
特殊地：若
a‖ b
b
分为同向和反向
c
|
c
||
a
|
|
b
|
a
b
a
c
| c | | a | | b |
8
;.
9
三、向量与数的乘法
设 是一个数，向量a 与 的乘积a 规定为
(1) 0, a与a同向，| a | | a |
21
按基本单位向量的坐标分解式：
M1M2 ( x2 x1 )i ( y2 y1 ) j (z2 z1 )k
在三个坐标轴上的分向量：
axi , ay j, azk,
向量的坐标： 向量的坐标表达式：
ax ,
a
y
,
az
,
a {ax ,
ay,
az }
M1M2 { x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 }
(2) 0,
a
0
(3) 0, a与a反向，| a || | | a |
a 2a
1
a
2
10
数与向量的乘积符合下列运算规律：
（1）结合律： （2）分配律：
(
a)
(
a)
(
)a
((ab)a)
a
a
a b
两个向量的平行关系
定理
设向量
a
0，那末向量
b
平行于
a
分必要条件是：存在唯 一的实数 ，使 b
x
24
z
由图分析可知
R
M1•
P
o
• M2
Q
y
ax
|
a
|
cos
ay az
| |
a a
| cos | cos
向 量 的 方 向 余 弦
x 方向余弦通常用来表示向量的方向.
M1M2 M1P 2 M1Q 2 M1R 2 | a | ax 2 a y 2 az 2 向量模长的坐标表示式
25
z
y,
z轴正向的单位 向量. a 向axi 向a y j 向azk
R
量
量
量
• M2
在
在
在
k M1•
o
P
j
轴
轴
轴
Q
x上
的
上的y
z上
的
N
y
投 影
投 影
投 影
xi
ax x2 x1
a y y2 y1 az z2 z1
M1M2 ( x2 x1 )i ( y2 y1 ) j (z2 z1 )k
么轴u 上的有向线段 AB 的
值，称为向量在轴u 上的投影.
16
向量 AB在轴u上的投影记为 Pr ju AB AB.
关于向量的投影定理（1）
向量 AB 在轴u 上的投影等于向量的模乘以
轴与向量的夹角的余弦： Pr ju AB | AB | cos
证
B
A
B
A
B
Pr ju AB Pr ju AB
M
1为起点，向量的大小.M源自2为终点的有向线段.
|
a
|
或
| M1 M| 2
单位向量：
模长为1的向量.
零向量： 模长为0的向量.
a0 或
M1
M
0 2
0
6
自由向量：
不考虑起点位置的向量.
相等向量：
大小相等且方向相同的向量.
a
负向量：
b
大小相等但方向相反的向量.
a
a
a
向径：
M 空间直角坐标系中任一点 与原点构成的向量.
a
(ax bx )i
{ax ,a y ,
(ay
az }
by
)
j
(az
bz
)k;
(ax )i (ay ) j (az )k.
23
三、向量的模与方向余弦的坐标表示式
非零向量 的方a向角：
、 、
非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.
z
•M2
M1•
o
y
0 , 0 , 0 .
a
(0 )
类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角.
特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在0与 之间任 意取值.
14
空间一点在轴上的投影
•A
过点 A作轴u的垂直
A
u
平面，交点 A即为点 A在轴u上的投影.
15
空间一向量在轴上的投影
B A
u
A
B
已知向量的起点A和终点B 在
轴u上的投影分别为A, B那
u u
| AB | cos
17
定理1的说明：
(1) 0 , 投影为正；
2
(2) , 投影为负；
2
(3) ,
2
投影为零；
(4) 相等向量在同一轴上投影相等；
c
a
b
u
18
关于向量的投影定理（2）
两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在
该轴上的投影之和. （可推广到有限多个）
Pr j(a1 a2 ) Pr ja1 Pr ja2 .
A
a1
B
a2
C
u
A
B
C
19
二、向量在坐标轴上的分向量与向量 的坐标
设a是以M1( x1 , y1 , z1 )为起点、M2 ( x2 , y2 , z2 )
为终点的向量，
过M1 , M2各作垂直于三个坐标轴的平面 , 这六个平面围成一个以线段M1M 2为对角线的
长方体.
20
以i ,
j,
k 分别表示沿x,
向量方向余弦的坐标表示式
当 ax 2 a y2 时a，z 2 0
cos cos
ax
,
ax2 ay2 az2
ay
,
ax2 ay2 az2
cos
az
.
ax2 ay2 az2
26
方向余弦的特征
cos2 cos2 cos2 1
1
一、空间点的直角坐标 三个坐标轴的正方向符合右手系.
z 竖轴
即以右手握住z 轴，
当右手的四个手指
从正向 x轴以角
2
度转向正向 y 轴
时，大拇指的指向
定点 o •
横轴 x
空间直角坐标系
就是z 轴的正向.
y 纵轴
2
Ⅲ
yoz 面
Ⅳ
xoy 面
Ⅶ
x
Ⅷ
z zox 面
o
Ⅴ
空间直角坐标系共有八个卦限
Ⅱ Ⅰ
y
Ⅵ