现 在 定 义 三 个 新 的 基 矢 ： a*, b*, c*; 位 移 矢 量 ：
R*n=ha*+kb*+lc* 构成了晶体点阵的倒易点阵。
两者之间存在如下关系：
a*·b = a*·c = b*·a = b*·c = c*·a = c*·b =0
a*·a = b*·b = c*·c =1
或用统一的矢量方程表示：
群
18
19
230种晶体学空间群的记号
Symbols of the 230 Crystallographic Space Groups
Байду номын сангаас20
1.7 倒易点阵
倒易点阵：倒易点阵是傅立叶空间中的点阵，倒易点阵的阵点告 诉我们一个具有晶体点阵周期性的函数傅立叶级数中的波矢在波 矢空间的分布情况，倒易点阵阵点分布决定于晶体点阵的周期性 质，一个给定的晶体点阵，其倒易点阵是一定的，因此，一种晶 体结构有两种类型的点阵与之对应：晶体点阵是真实空间中的点 阵，量纲为[L]；倒易点阵是傅立叶空间中的点阵,量纲为[L-1]。
• 立方晶系中，相同指数的晶向和晶面垂直； • 立方晶系中，晶面族{111}表示正八面体的面； • 立方晶系中，晶面族{110}表示正十二面体的面；
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1.5.2 晶面间距
晶面间距公式的推导
dhkla hcosb kcosc lcos
d h 2 k l a h 2 b k 2 c l 2 c o s2 c o s2 c o s2
粉末X射线衍射分 析
主要内容：
一、晶体学基础 二、衍射基础 三、实验技术与数据处理 四、应用
1
一、晶体学基础
晶体 晶体结构与空间点阵 对称操作与对称要素 点群-晶体中所有可能的对称组合 晶系、晶胞的选取和Bravais格子 晶面、晶向、晶带、倒易点阵 微观对称要素和空间群
a b c;b a c;ca b
V
V
V
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倒易矢量及性质： 从倒易点阵原点向任一倒易阵点所连接的
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1.6 微观对称元素与空间群
由五种对称操作及它们的复合构成，除10种 宏观对称元素外，还包括：
滑移对称面（平移+反映）：a, b, c, n, d 螺旋对称轴（平移+旋转）：21, 31, 32, 41, 42,
43, 61, 62, 63, 64, 65 以上26种对称元素的组合构成了230种空间
几何表达 轴
对称要素 旋转轴
反转(反伸)
点(中心)
反转(对称)中心
反映
面
对称面
平移
矢量
平移矢量
7
对称要素符号
a. 对称要素垂直于投影面 b. 等同于反转（对称）中心 c. 等同于对称面
8
9
1.4 点群及晶系的划分
晶系
晶胞参数特征
特征对称素
所属点群
立方(cubic)
a=b=c α=β=γ=90º
2
1.1 晶体
晶体区别于其他状态的物质： 长程有序、有固定熔点、各相异性、自范性
3
1.2 晶体结构与空间点阵
晶体结构（以CsCl为例）
Cl离子和Cs离子
Cl Cl
按照一定规律周期排列
Cs Cs
抽象出排列周期，物质点抽象为几何 点称结点或等同点，结点在三维作周 期排列构成空间点阵
结点代表的具体内容为结构基元
Cs Cl
4
1.2.1晶体结构=空间点阵+结构基元
+
5
1.2.2 晶体结构的描述
晶胞（有三个不共面矢量构成）的形状 晶胞参数：a, b, c；α, β, γ表达
晶胞的内容 晶胞内的原子种类，数目，位置。
晶胞中的不对称部分
6
1.3 对称操作与对称要素
简单对称操作及相应的对称要素
对称操作 旋转
晶体中因对称关系而等同的各组晶向可归 并为一个晶向族，用<u v w>表示
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晶面指数的意义
晶面指数所代表的不仅是某一晶面，而是代 表着 一组相互平行的晶面。
(100) (110) (111) 在点阵中的取向
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在晶体内凡晶面间距和晶面上原子的分布完全相同， 只是空间位向不同的晶面可以归并为同一晶面族，以 {h k l}表示，它代表由对称性相联系的若干组等效晶 面的总和。
晶体的衍射图像则是晶体倒易点阵的映像。 晶体点阵是对晶体内部结构周期性的描述，具有特定的物理意义。
倒易点阵是纯粹的一种数学模型，不是客观实在，不具有特定的 物理概念和意义。是物理空间的一种数学变换表达。
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定义
假设a,b,c是晶体点阵的基矢，该点阵的任意晶向（格矢）
的表达式为：Rn = n1a + n2b + n3c，单胞体积:V = a·(b×c)
6, 6 , 6/m, 6m2 , 622, 6mm,
6/mmm 3, 3 , 3m, 32, 3m
二次轴或相互垂直 的对称面
二次轴或对称面
222, mm2. mmm m, 2, 2/m
对称中心
1， 1
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14种布拉菲格子
{note that spheres in this picture represent lattice points, not atoms!}
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1.5 晶面、晶向、晶带、倒易点阵
晶向：空间点阵中的结点直线
晶面：空间点阵中的结点平面
Miller（密勒）指数统一标定晶向指数和
晶面指数
c
[111]
b c0
b0
a0
(010)
a
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1.5.1晶向和晶面指数
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晶向指数的意义
晶向指数表示着所有相互平行、方向一致 的晶向； 所指方向相反，则晶向指数的数字相同， 但符号相反；
四方 (Tetragonal)
a=bc α=β=γ=90º
六方 (Hexagonal)
三方 (trigonal)
a=b c α=β=90º γ=120º
a=b c α=β=90º γ=120º a=b=c；α=β=γ 90º
正交
abc
(Orthorhombic ) α=β=γ=90º
单斜 (monoclinic)
三斜 (triclinic)
abc α= γ =90º β 90º
abc α β γ=90º
四个三次轴按立方 体的体对角线取向 四次轴或四次反轴
六次轴 或六次反轴
三次轴或三次反轴
23, m 3 , 43, 43m, m3m
4, 4 , 4/m, 4m2, 422, 4mm, 4/mmm