第一章 函数、极限、连续§1.1 函数一、有关四种性质(奇偶性、单调性、周期性、有界性) 1.0 () (0)()2() ()aa af x a f x dx f x dx f x ->⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰当为奇函数当为偶函数口诀(1)：奇偶函数常遇到；对称性质不可忘。
2. 在(a,b )内，若()0f x '>，则()f x 单调增加 若()0f x '<，则()f x 单调减少 口诀(2)：单调增加与减少；先算导数正与负 例1求151[()ln(.x x I x x e e x dx --=+-+⎰解 1()x xf x e e -=-是奇函数，∵112()(),()ln(x x f x e e f x f x x --=-=-=+是奇函数，∵222()ln(lnf x x -=-+=2ln1ln(()x f x =-=-因此()ln(x x x e e x --是奇函数。
于是116612027I x dx x dx -=+==⎰⎰。
例2 设()()F x f x '=，则下列结论正确的是(A)若()f x 为奇函数，则()F x 为偶函数。
(B)若()f x 为偶函数，则()F x 为奇函数。
(C)若()f x 为周期函数，则()F x 为周期函数。
(D)若()f x 为单调函数，则()F x 为单调函数。
解 (B)不成立，反例32(),()13x f x x F x ==+(C)不成立，反例()cos 1,()sin f x x F x x x =+=+ (D)不成立，反例2()2,()(,)f x x F x x ==-∞+∞在内 (A)成立。
证明 0()(0)(),xF x F f t dt f =+⎰为奇函数，00()(0)()(0)()()(0)()()xxxF x F f t dt F f u d u F f u du F x --=+=+--=+=⎰⎰⎰所以，()F x 为偶函数。
例 3 设()f x ，()g x 是恒大于零的可导函数，且()()()()0f x g x f x g x ''-<，则当a xb <<时，下列结论成立的是(A)()()()()f x g b f b g x > (B)()()()()f x g a f a g x > (C)()()()()f x g x f b g b > (D)()()()()f x g x f a g a >解 ∵2()1[()()()()]0()()f x f xg x f x g x g x g x '⎡⎤''=-<⎢⎥⎣⎦，∴()()f x g x 单调减少 于是x <b ，则有()()()()f x f bg x g b >，故(A)成立。
二、有关复合函数1. 已知()f x ，()g x 求[()]f g x2. 已知[()]f g x 和()g x ，求()f x例1、已知12() ()() f x x a f x f x x a ≤⎧=⎨>⎩和12() ()() g x x bg x g x x b ≤⎧=⎨>⎩求[()]f g x解：111122211222[()] ()[()] ()[()][()] ()[()] ()f g x x b g x a f g x x b g x a f g x f g x x b g x a f g x x b g x a ≤≤⎧⎪>≤⎪=⎨≤>⎪⎪>>⎩当，当，当，当，例2、已知()xxf e xe -'=，且(1)0f =，求()f x 解：令x e t =，则ln x t =，因此ln ()()x tf e f t t''==于是，1ln ()(1)xt f x f dt t-=⎰2121ln 21ln 2xt x == §1.2 极限一、有关无穷小量1.有界变量乘无穷小(量)仍是无穷小(量)；2.等价无穷小代换；3.无穷小的阶的比较。
例1 求xx x x 30sin sin lim -→解 原式613cos 1lim sin lim 2030=-=-=→→x x x x x x x 例2 设当x →0时(1-cos x )ln(1+x 2)是比x sin x n 高阶的无穷小，而x sin x n 是比()12-x e高阶的无穷小，则正整数n 等于(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4解：()4221)1ln(cos 1x x x →+- 211sin 2xe x x x x n n →-→+由题意可知，4>n+1>2， ∴n+1=3, n=2 选(B) 例3 设dt t x dt ttx txx 150sin 0)1()(,sin )(⎰⎰+==βα，则当x →0时，)(x α是)(x β的 ( )(A) 高阶无穷小 (B) 低阶无穷小 (C)同阶但不等价的无穷小 (D) 等价无穷小解 ()()()()exx x xx x x x xx x x 5cos )sin 1(555sin lim ''lim lim sin 1000=⋅+⋅==→→→βαβα选(C)二、有关两个准则准则1 单调有界数列极限一定存在。
准则2 夹逼定理。
例1 设)3(,3011n n n x x x x -=<<+，证明n x x 0lim →存在，并求其值。
解 ∵我232)3()3(0,03,01111211=-+≤-=<∴>->x x x x x x x ， (几何平均值≤算术平均值)用数学归纳法可知n>1时，230≤<n x ，∴ }{n x 有界。
又当n>1时，)3()3(1n n n n n n n n x x x x x x x x --=--=-+，03)23(≥+--=nn n n x x x x ，n n x x ≥∴+1，则{}n x 单调增加。
根据准则1，l x nn =∞→lim 存在把)3(1n n n x x x -=+两边取极限，得0,3,)3(22=-=-=l l l l l l l (舍去) 得 23=l ，∴23lim =∞→n n x 。
口诀(3)：递推数列求极限；单调有界要先证；两边极限一起上；方程之中把值找。
例2 求)212654321(lim nn n -⋅⋅⋅⋅⋅∞→。
解 令1225432),212654321(+⋅⋅⋅⋅=-⋅⋅⋅⋅⋅=n ny n n x n n ，则0<x n <y n ，于是12102+=<<n y x x n n n ， 由夹逼定理可知0lim 2=∞→n x x ，于是原极限为0。
三、有关两个重要公式 公式1、1sin lim0=→xxx公式2、e nnn =+∞→)11(lim e uu u =+∞→)11(lim e v vv =+→10)1(lim 例1 求nn x x x 2cos 4cos 2cos lim ⋅⋅⋅∞→。
解 当x =0时，原式=1当x ≠0时，原式nnnn nn x xx x x 2sin 22cos 4cos 2cos 2sin 2lim ⋅⋅⋅=∞→ =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅--+∞→nnn n n n x xx x x 2sin 22sin 2cos 4cos 2cos 2lim 111= x x x xx x x x nn n n n n sin 2sin 2sin lim 2sin 2sin lim =⋅=∞→∞→ )12sin 2lim(=∞→nnn x x例 2 设)(x f 在),(+∞-∞内可导，且e xf x =∞→)('lim ，)]1()([lim )(lim --=-+∞→∞→x f x f cx c x x xx ，求c 的值。
解:c cc x xx x x e e e x c x cc x c x 2)1()1(lim )(lim ==-+=-+-∞→∞→ 则拉格朗日中值定理，有)(')]1()[(')1()(ξξf x x f x f x f =--=--其中ξ介于(x -1)与x 之间，那么e f x f x f x x ==--∞→∞→∞→)('lim )]1()([lim )(ξξ 于是，e 2c=e,2c=1，则21=c口诀(4)：函数之差化导数；拉氏定理显神通。
四、用洛必达法则求极限洛必达法则主要处理七种待定型极限：“00”型，“∞∞”型，“0·∞”型，“∞-∞”型，“1∞”型，“00”型和“∞0”型口诀(5)：待定极限七类型，分层处理洛必达。
第一层次：直接用洛必达法则“0”型 用洛必达法则Ⅰ “∞∞”型 用洛必达法则Ⅱ 第二层次：间接用洛必达法则 “0·∞”型 例10ln lim ln lim -→→++=x xx x x x 变为“∞∞”型 “∞-∞”型 例)1()1(lim )111(lim 00---=--→→x x x x x e x x e e x 变为“0”型第三层次：间接再间接用洛必达法则“1∞”型，“00”型，“∞0”型均为)()(lim *x g x x f →形式 而)()]([x g x f 称为冪指函数，比较复杂。
口诀(6)：冪指函数最复杂；指数、对数一起上。
)(ln )()](ln[)()()]([x f x g x f x g e ex f x g ==,而上面三种类型化为)(ln )(lim *x f x g x e→,这时)(ln )(lim *x f x g x →一定是“0·∞”型 再用第二层次的方法处理即可例 x x x xx x x e ex xln 0ln 0lim lim lim +++→→→== =10ln limln lim 1===-+→+→e e ex x xx x x例1 求)cos sin 1(lim 2220xx x x -→。
解 原式=xx xx x x 222220sin cos sin lim ⋅-→=42202sin 41lim xxx x -→ =3042cos 2sin 442lim x xx x x -→ =3024sin 41lim x x x x -→ =2064cos 1limxxx -→ =xxx 124sin 4lim 0→ =34例2 设函数)(x f 连续，且0)0(≠f ，求⎰⎰--→x xx dtt x f x dt t f t x 00)()()(lim解 原式=⎰⎰⎰-→xxx x duu f x dtt tf dt t f x 0)()()(lim (分母令u t x =-)=)()()()()(limx xf du u f x xf x xf dt t f xx x +-+⎰⎰→ (用积分中值定理)=)()()(lim )0(0x xf xf xf x +→→ξξξ(ξ在0和x 之间) =21)0()0()0(=+f f f .口诀(7)：变限积分是函数；遇到之后先求导。