ψad(θ) = K · Fad · λδd ψaq(θ) = K · Faq · λδq
1 三相静止坐标系
4
由于 d 轴与 b 相定子绕组相差 （θ − 120°），ψad(θ) 与 b 相绕组 交 链 的 部 分 为 ψad (θ) cos(θ − 120°)；ψaq(θ) 与 b 相 绕 组 交 链 的 部 分 为 ψaq (θ) sin(θ − 120°)；因此，a 相定子绕组通电后经过气隙与 b 相定子绕组 交链的磁链 ψbaδ (θ) 可表示为
)
=
f22rs
=
N2 (idejθ
+
iqej
π 2
· ejθ)
[
]
cosθ sinθ
C2s→2r =
−sinθ cosθ
[
]
C2r→2s =
cosθ −sinθ sinθ cosθ
3 两相静止坐标系
uα uβ
=
Rsiα
+
dψα dt
=
Rsiβ
+
dψ dt
4 两相旋转坐标系
8
[ ][
uα = Rs
致气隙磁场畸变，产生电磁转矩。
ψs = Lsis + ψf
te
=
pψf
⊗
is
=
1 p Ls ψf
⊗
(Lsis)
te
=
1 p
Ls
(ψf
+
Lsis)
⊗
Lsis
1 te = p Ls ψs ⊗ (Lsis + ψf )
te
=
p
1 Ls
ψfψs
sinδ
）
ψf a (θ)
cos (θ)
正弦波分布的永磁电机满足ψ12(θ) = ψfb(θ) ψf cos (θ − 120°)
is = id + jiq
ψd ψq
= Ldid + ψf = Lqiq
6附
11
Figure 5: 同步旋转 d、q 坐标系
udsq
=
Rsidsq
+
dψsdq dt
+
jω r ψsdq
ψsdq = Ldid + ψf + jLqiq
us = udsqejθr is = idsqejθr ψs = ψsdqejθr
+
1 2
(Laad
+
Laaq)
+
1 2
(Laad
−
Laaq)
cos2θ
=
(Ls0
−
Ls2cos2θ)
式中，ψaδ (θ) 为 a 相定子绕组气隙磁链，引入气隙磁导 λδ (θ)，为距 离 d 轴角度为 θ 的点处的单位面积气隙磁导，K 为气隙磁链和磁动势、气 隙磁导的比例系数。
Laa LLbcbc
= Ls0 − Ls2cos2θ = Ls0 − Ls2cos2(θ − 120°) = Ls0 − Ls2cos2(θ + 120°)
1.2.2 定子绕组互感
Fad = NA · iacos2θ Faq = NA·iasin2θ 式中，Fad、Faq 为 a 相绕组通入电流后，产生磁动势分解的直轴磁动 势分量和交轴磁动势分量。 直轴磁动势与交轴磁动势分别产生各自的磁链分量为
ia
cosθ
ψb = Lba
Lbb
Lbc
ib
+ ψf
cos(θ
−
2 3
π)
ψc
Lca Lcb Lcc
ic
cos(θ
+
2 3
π)
式中，Laa、Lbb、Lcc 为各绕组自感系数，Lxy (x = a，b，c和y = a，b，c且x ̸= y) 为绕组 x 对绕组 y 的互感系数。
1.2.1 定子绕组自感 定子绕组自感 = 漏自感 + 气隙自感
fabc
=
2 3
( fa
+
afb
+
) a2fc
式中，a
=
ej
2π 3
,
fa
，fb
，fc
分别为
a、b、c
三相的变量。
所以，永磁同步电机在三相坐标下的复矢量模型为：
us
=
2 3
( ua
+
aub
+
) a2uc
ψs
=
2 3
( ψa
+
aψb
+
) a2ψc
在静止坐标系下，电机的复矢量数学模型为：
us ψs
=
Rsis
7
Figure 3: 两相静止坐标系到两相旋转坐标系的转换
[
]
2 C3s→2s = 3
1
−
√
1 2
−√12
0
3 2
−
3 2
10
C2s→3s
=
−
1 2
√ 3 2√
−
1 2
−
3 2
保证总的功率不变
√[
]
C3s→2s =
2 3
1
−
√
1 2
−√12
0
3 2
−
3 2
f22ss
=
( N2 iα
+
iβ
ej
π 2
+
dψs dt
= Lsis + ψr
式中，ψr = ψf ejθ 是永磁体磁链矢量。 在两相旋转坐标系下，其复矢量方程为：
udsq ψsdq
=
Rsidsq
+
dψsdq dt
= Lsidsq + ψf
式中，上标 dq 表示在两相旋转坐标系下，udsq = usejθ。
6附
6.1 表贴式
us ψs
= =
永磁同步电机模型推导
December 15, 2016
永磁同步电机是一个多输入，强耦合，非线性的系统，为了得到电机 的动态数学模型，假设：
1）电机定子绕组 Y 型接法，三相绕组对称分布，各绕组在空间上互 差 120°；
2）转子上的永磁体在气隙中产生主磁场，转子没有阻尼绕组； 3）忽略定子绕组的齿槽对气隙磁场分布的影响； 4）忽略定子铁芯与转子铁芯的涡流损耗和磁滞损耗； 5）忽略电机参数（绕组电阻、绕组电感和永磁体磁动势）的变化。
Ld
− uq
ωΨf
Lq
Lq
= ψf + Ldid
ψq = Lqiq
[ ] [ ][ ] [
]
ψd = Ld
ψq
Lq
id + −ψf
iq
0
转矩方程
3 Te = 2 np (ψdiq − ψqid) = 1.5npiqψf = 1.5npisψfsinδ
5 复矢量
9
5 复矢量
在电磁能量转换中，dq 轴分量只参与能量转换而零轴分量只产生损 耗。所以，如果只关注机电能量之间的转换，那么就可以只用 dq 分量来 分析电机。在这种情况下，复式量仅用两个相互正交的分量（实部和虚部） 就能表示三相电气系统。这里的 d 轴分量用实部来表示，q 轴分量用虚部 来表示。三相坐标下的空间矢量的定义为：
Ms2sin(θ + 150°) Ms2sin(θ − 90°) −Ls2sin2 (θ + 120°)
ic
era(θ)
+
np ω
[ia
ibic]
·
erb(θ)
erc(θ)
（电磁转矩可以看成是定子励磁磁场和转子磁场间相互作用的结果，
转矩的大小和方向决定于两个正弦分布磁场的的幅值和磁场轴线间的相对
位置（永磁里面的负载角 or 转距角），定子磁场与转子磁场相互作用，导
1 三相静止坐标系
3
气隙磁链
Laa = Lbb = Lcc = Lsσ + Lm1
Laσ
=
ψaσ ia
=
L1
ψaδ (θ) = K · Fa · λ (θ)
1
1
λδ (θ) = 2 (λδd + λδq) + 2 (λδd − λδq) cos2θ
Laad = K · Na · λδd
Laa
=
L1
3 Pe = 2 [(−ωeLqiq)id + ωe(Ldid + ψf )iq]
3 = 2 npωr[ψf + (Ld − Lq)id]iq
电磁功率与机械角速度和电磁转矩之间的关系
Te = Pe/ωr
[
]
Te
ψf c (θ)
cos (θ − 240°)
−Ls2sin2θ
Te = −np · [iaibic] · Ms2sin(θ + 30°)
Ms2sin(θ + 30°) −Ls2sin2 (θ − 120°)
Ms2sin(θ + 150°)
ia
Ms2sin(θ − 90°) · ib
Ms2sin(θ + 150°) Ms2sin(θ − 90°) −Ls2sin2 (θ + 120°)
Rsis ´
(us
+ −
dψs dt
Rsis)dt
=
´0t(us
−
Rsis)dt
+
ψs0
6附
10
Figure 4: 表贴式永磁同步电机等效电路 ψs0 定子初始磁链，由转子永磁体位置和永磁体强度决定。
ψs = Lsis + ψf
us
=