n
计算量
计算时间
10
1.02×103
1.02毫秒
20
1.05×106
1.05秒
30
1.07×109
18 分钟
40
1.10×1012
13 天
50
1.73×1015
36 年
100
1.27×1030
4 亿亿年
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凑整法
例：max: z = 3x1 + x2
s.t.
2x1 + x2
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模型约束
（3）电站只能建一次约束: ∑t yit ≤ 1 ∀ i
y11+ y12+ y13+ y14+ y15 ≤ 1 y21+ y22+ y23+ y24+ y25 ≤ 1 y31+ y32+ y33+ y34+ y35 ≤ 1 y41+ y42+ y43+ y44+ y45 ≤ 1 （4）非负约束: xit ≥ 0, yit 为0-1整数变量
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邮局排班模型
解：设 xi 为第 i 天开始上班的人数：
min: z = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7
s.t. x1
+x4 + x5 + x6 + x7 ≥ 17
x1 + x2
+x5 + x6 + x7 ≥ 13
x1 + x2 + x3
+x6 + x7 ≥ 15
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模型约束
（1）发电量约束: ∑i xit + 50 ≥ 80 + 20(t - 1) ∀ t x11 + x21 + x31 + x41 ≥ 30 x12 + x22 + x32 + x42 ≥ 50 x13 + x23 + x33 + x43 ≥ 70 x14 + x24 + x34 + x44 ≥ 90 x15 + x25 + x35 + x45 ≥ 110
SUB 1 max: x1+x2 s.t.6x1+2x2≤17 5x1+9x2≤44
x1 ≤1 x1, x2 ≥0
SUB 3 max: x1+x2 s.t.6x1+2x2≤17 5x1+9x2≤44
x1 ≤1 x2≤4
x1, x2
zU =5.33 zL =5.00
zU =5.545 zL=-∞
x1≤1
运筹学
Operations Research
整数规划
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§ 1 基本概念
线性规划的一个重要的假设是决策变量可取非整 数的连续值。然而这一假设在很多情况下不能满 足实际问题的要求；
对决策变量有整数要求的数学规划问题称为整数 规划问题；
整数规划是数学规划的一个重要分枝，有广泛的 应用背景，如指派问题、背包问题、旅行推销商 问题都是整数规划问题；
目标函数线 3.0
2.0
x1≤1
1.0
x1≥2
6x1+ 2x2 ≤ 17
0
1.0
2.0
3.0
4.0
x1
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§ 3 割平面法
max z = x 1 + x 2 − x1 + x 2 ≤ 1 3 x1 + x 2 ≤ 4 x1 , x 2 ≥ 0 x 1 , x 2 为整数
cj
1
cB xB x1
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模型约束
（2）发电能力限制约束: xit ≤ CAPi ∑tj =1 yij ∀ i, t x11 ≤ 70 y11 x12 ≤ 70(y11 + y12) x13 ≤ 70 (y11 + y12 + y13) x14 ≤ 70 (y11 + y12 + y13 + y14) x15 ≤ 70 (y11 + y12 + y13 + y14 + y15) …… x21 ≤ 50y21; x22 ≤ 50(y21+ y22) ;
§ ２分枝定界法
分枝定界技术(Branch-and-Bound Technique)
x2 5 4 3 2 1
12345
xx1
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分枝定界算法举例
x2
整数规划问题：
5.0
max: z = x1 + x2
4.0
s.t. 6x1 + 2x2 ≤ 17
解：令 yi 为租赁 i 类设备的数量; xi为各类服装的生产量, 具 体模型为：
max 120x1+10x2+100x3-5000y1-2000y2-1000y3
s.t. 5x1+ x2 + 4x3
≤ 3000
3x1
- 300y1
≤0
0.5x2
-500y2
≤0
2x3
- 300y3 ≤ 0
x1
≤ 150
目标函数: 投资与运行费最小 min: ∑i {Ii ∑t yit + Ci ∑t ( 6 - t ) yit } = 200 (y11 + y12 + y13 + y14 + y15) + 15 (5y11 + 4y12 + 3y13 + 2y14 + y15) + 160 (y21 + y22 + y23 + y24 + y25) + 8 (5y21 + 4y22 + 3y23 + 2y24 + y25)….
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整数规划与线性规划的关系
整数规划 = 相关的线性规划 + 整数约束 整数规划是约束得更紧的问题, 它的可行域
是其相关线性规划问题可行域的一个子集； 整数解的数目远少于线性规划的解，只要可行
域有界，整数解的数目有限；整数规划的求解 难度远大于线性规划。 整数规划分类 y 纯整数规划：所有决策变量取整数值； y 混合整数规划：部分决策变量取整数值； y 0-1整数规划：整数变量只能取0或1。
四舍五入法：解的质量差，有时无法得到可行解 分枝定界: 计算效率高, 应用广泛; 割平面法: 有理论意义, 但计算效率较低； 启发算法: 效率高, 但不能保证找到最优解, 可解大
规模问题。
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穷举法
方法简单，只可解小问题，计算量很大；对0-1整 数规划，计算量为2n，按指数增长：
x2≤4
x2≥5
SUB 3
SUB 4
z3 =5.0
x1 =1.0
infeasible
x2 =4.0
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SUB 4
max x1+x2 s.t.6x1+2x2≤17 5x1+9x2≤44
x1 ≤1 x2≥5
x1, x2
x2
5.0
整数最优解
线性规划最优解
4.0
5x1+ 9x2 ≤ 44
序 服装 种类
1 西服 2 衬衫 3 羽绒服
市场 需求 150 800 350
租金 元/台 5000 2000 3000
生产 成本 280
30 200
销售 价格 400
40 300
人工 工时
5 1 4
设备 可用工 工时 时/台
3 300 0.5 500 2 300
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服装厂生产模型
1 x2 0
1 x1 1
1
0
0
bi
x2
x3
x4
1 3/4 1/4 7/4
0 -1/4 1/4 3/4
x2
+
3 4
x3
+
1 4
x4
=
7 4
将方程中的系数和右侧常数分解成整数和非负真分数两部分
( ) ( ) (1+ 0)x2
+
0+
3 4
x3 +
0+
1 4
x4
=1+
3 4
将上式中自变量带整数系数的部分移到等号右侧，得
LP松弛
z0 =5.545 x1 =1.477 x2 =4.068
SUB 2
max x1+x2
s.t.6x1+2x2≤17
5x1+9x2≤44
x1 ≥2
x1 ≥2
x1, x2
SUB 1
SUB 2
zU =5.33
z1 =5.33
z2 =4.5
zL=-∞
x1 =1.00 x2 =4.33
x1 =2.0 x2 =2.5
解
令
1 对项目j投资； xj = 0 否则。
模型
n
∑ max z = c j x j j=1
n
∑ajxj ≤ b
j=1
x j = 0或1 j = 1,", n
只有选择项目 l 时，才考虑是否选择项目k ，增加约束
xk ≤ xl
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背包问题 已知一个背包的容积为b，现有n 种物品可以装 入，物品j的体积和使用价值分别为aj 和 cj，问应如何搭配