第四节 函数的连续性及极限的应用
1.函数在一点连续的定义: 如果函数f (x )在点x =x 0处有定义，
lim x x →f (x )存在，且
lim x x →f (x )=f (x 0)，那么函数f (x )在点x =x 0处连续.
2．.函数f (x )在点x =x 0处连续必须满足下面三个条件.
(1)函数f (x )在点x =x 0处有定义；
(2)0
lim x x →f (x )存在；
(3)0
lim x x →f (x )=f (x 0)，即函数f (x )在点x 0处的极限值等于这一点的函数值.
如果上述三个条件中有一个条件不满足，就说函数f (x )在点x 0处不连续.那根据这三个条件，我们就可以给出函数在一点连续的定义． 3.函数连续性的运算:
①若f(x)，g(x)都在点x 0处连续，则f(x)±g(x)，f(x)•g(x)，)()(x g x f (g(x)≠0)也在
点x 0处连续。

②若u(x)都在点x 0处连续，且f(u)在u 0=u(x 0)处连续,则复合函数f[u(x)]在点x 0处连续。

4.函数f (x )在(a ，b )内连续的定义：
如果函数f (x )在某一开区间(a ，b )内每一点处连续，就说函数f (x )在开区间(a ，b )内连续，或f (x )是开区间(a ，b )内的连续函数.
f (x )在开区间(a ，b )内的每一点以及在a 、b 两点都连续，现在函数f (x )的定义域是［a ，b ］，若在a 点连续，则f (x )在a 点的极限存在并且等于f (a )，即在a 点的左、右极限都存在，且都等于f (a )， f (x )在(a ，b )内的每一点处连续，在a 点处右极限存在等于f (a )，在b 点处左极限存在等于f (b ).
5.函数f (x )在［a ，b ］上连续的定义：
如果f (x )在开区间(a ，b )内连续，在左端点x =a 处有
+
→a x lim
f (x )=f (a )，在右端点x =b
处有
-
→b x lim
f (x )=f (b ),就说函数f (x )在闭区间［a ，b ］上连续,或f (x )是闭区间［a ，b ］上
的连续函数.
6. 最大值最小值定理
如果f (x )是闭区间［a ，b ］上的连续函数，那么f (x )在闭区间［a ，b ］上有最大值和最小值
7.特别注意：函数f(x)在x=x 0处连续与函数f(x)在x=x 0处有极限的联系与区别。

“连续必有极限，有极限未必连续。

” 二、问题讨论 ●点击双基
1.f （x ）在x =x 0处连续是f （x ）在x =x 0处有定义的_________条件. A.充分不必要 B.必要不充分
C.充要
D.既不充分又不必要
解析：f （x ）在x =x 0处有定义不一定连续. 答案：A
2.f （x ）=
x
x πcos
π
cos
的不连续点为 A.x =0
B.x =
1
22
+k （k =0,±1,±2,…） C.x =0和x =2k π（k =0,±1,±2,…）
D.x =0和x =122
+k （k =0,±1,±2,…）
解析：由cos x π=0,得x π=k π+2π（k ∈Z ）,∴x =)(1
22
Z ∈+k k .
又x =0也不是连续点,故选D 答案：D
3.下列图象表示的函数在x =x 0处连续的是
x
y
①
②
A.①
B.①④③④
答案：A
4.四个函数:①f （x ）=
x
1;②g （x ）=sin x ;③f （x ）=|x |;④f （x ）=ax 3+bx 2
+cx +d .其中在x =0处连续的函数是____________.（把你认为正确的代号都填上）
答案：②③④
例1：讨论下列函数在给定点或区间上的连续性
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-≠+-=)
0(1)0(11)()1(1
1
x x e e x f x x ，点x=0；
⎩⎨
⎧->+-≤+=)
1(4
)
1(2
)()2(2x x x x x f ，点x=－1。

解：（1）当x →0－
时，
-∞→x
1
，0lim 10=-→x
x e ，因此-→0lim x 1
11
1+-x x
e e =－1， 而+
→0
lim
x 1
1
11+-x
x
e e =+
→0
lim
x )1
21(1+-
x
e =1，∵)(lim )(lim 0
x f x f x x +-→→≠，
∴)(x f 在x=0处极限不存在，因此)(x f 在x=0处不连续。

（2）∵3)2(lim )(lim 2
1
1
=+=---→-→x x f x x ，=+-→)(lim 1x f x 3)4(lim 1
=++-→x x ，3)1(=-f ，
∴)1(3)(lim 1
-==-→f x f x ，因此函数)(x f 在x=－1处连续。

【思维点拨】函数在某点连续当且仅当函数在该点左、右连续（闭区间的端点例外）。

[]2.(2081)
(1),00,3P x ⎧⎪
=⎨⎪⎩例优化例 1 (x>0)
讨论函数f(x)=0 (x=0)在点处的连续性
-1 (x<0)x
(2)讨论函数f(x)=在区间上的连续性
x-3
剖析：（1）需判断-→0
lim x f （x ）=+→0
lim x f （x ）=f （0）.
（2）需判断f （x ）在（0,3）上的连续性及在x =0处右连续,在x =3处左连续. 解:（1）∵-→0
lim x f （x ）=－1, +→0
lim x f （x ）=1,
-
→0lim x f （x ）≠+→0
lim x f （x ）,
∴0
lim →x f （x ）不存在.∴f （x ）在x =0处不连续. （2）∵f （x ）在x =3处无定义,
∴f （x ）在x =3处不连续. ∴f （x ）在区间［0,3］上不连续.
练习：讨论函数2
4
)(2--=x x x f 的连续性；适当定义某点的函数值，使)(x f 在区间(－3,3)
内连续。

解：显然函数的定义域为),2()2,(+∞⋃-∞，当2≠x 时，2)(+=x x f ，
∴)(x f 在)2,(-∞上连续，在),2(+∞上连续。

而)(x f 在2=x 处不连续。

又∵4)2(lim 24
lim
2
22=+=+-→→x x x x x ，不妨设4)2(=f ， 于是⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=)
2(4)2(2
4)(2x x x x x f 此时，)(x f 在区间(－3,3)内连续。

3.(2082)
P a x ⎧<⎨+≥⎩x
例优化例e (x 0)设函数f(x)=
(x 0)当a 为何值时,函数f(x)是连续的
解:+→0
lim x f （x ）= +→0
lim x （a +x ）=a , -→0
lim x f （x ）=-→0
lim x e x
=1,而f （0）=a ,故当a =1时,
lim →x f （x ）=f （0）,
即说明函数f （x ）在x =0处连续,而在x ≠0时,f （x ）显然连续,于是我们可判断当a =1
时,
f （x ）在（－∞,+∞）内是连续的.
评述：分段函数讨论连续性,一定要讨论在“分界点”的左、右极限,进而断定连续性.
例4.如图,在大沙漠上进行勘测工作时,先选定一点作为坐标原点,然后采用如下方法:从原点出发,在x
轴上向正方向前进a(a>0)个单位后,向左转900,前进ar (0<r<1)个单位,再向左转900,以前进ar 2
个单位,…….,如此连续下去
(1) 若有一小分队出发后与设在原点处的大本营失去联系,且可以断定此小
分队的行动与原定方案相同,则大本营在何处寻找小分队?
(2) 若其中的r 为变量,且0<r<1 ,则行动的最终目的地在怎样的一条直线
上?
备用：
例题：利用连续函数的图象特征，判断方程：01523
=+-x x 是否存在实数根。

解：设152)(3
+-=x x x f ，则)(x f 在R 上连续，又038)3(,1)0(<-=-=f f ，因此在
[－3，0]内必存在点x 0使得0)(0=x f ，所以x 0是方程01523
=+-x x 的一个实数根，
因此方程01523
=+-x x 有实根。

【思维点拨】要判断方程是否有实根，即判断对应的连续函数)(x f y 的图象是否与x 轴
有交点。

五、小结
1．函数f(x)在x=x 0处连续必须具备三个条件：Ⅰ）函数f(x)在x=x 0处及其附近有定义；Ⅱ）函数f(x)在x=x 0处有极限；Ⅲ）函数f(x)在x=x 0处的极限值等于这一点处的函数值f(x 0)。

2．如果函数f(x)在闭区间[a,b]上是连续函数，那么函数f(x)在闭区间[a,b]上有最大值和最小值。

六、课后作业：
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