对两边求导得η与ξ 的概率密度间的关系为:
x

} F (
x

)
( x)
1


x
现在, 当 ξ服从标准正态分布时, 将其乘上一个正的常数 σ 再加上一个常数 μ, 得到的 随机变量就服从一般的正态分布 , 其概率密度为
( x)
1 2
2

x2 2
2
D



x
x x e 2 2
|





1 2
e

x2 2
dx 1
因此标准正态分布的数学期望为 0, 方差为 1. 一个一般定理, 如果 ξ~φξ(x), η=σx +μ, σ>0, 则 Eη=σEξ+μ, η的分布函数为
F ( x) P{ x} P{ x} P{
2
则I
2



e x dx e y dy
2 2




e
( x 2 y 2 )
dxdy
积分范围在整个平面，作极坐标变换，令 x r cos , y r sin , dxdy rdrd
2
上式=

0 0
r e rdrd 2
e

( x )2 2 2
如果随机变量ξ的概率密度函数为上式, 则记ξ~N(μ,σ2),
φ( x )
0
μ-σ
μ
μ-σ
x
φ0(x)
0
x
e x ( x) 0
x0 其它
它的图形如下图所示 :
e x
φ(x)λ
x
它的期望和方差如下计算:
E


x ( x)dx
xe
0

x xe dx 0

xd e
x 0
x
e
0 2

而知道了广义概率密度函数, ξ的概率密度函数就可以根据性质 将(1)式代入得:


( x)dx 1 , 求出

( x)dx af ( x)dx 1


则a
1

f ( x)dx
因此, 知道了广义概率密度函数就等于知道了一般的概率密度函数, 我们只需关心函数的形 状就可以了解概率密度的性质了 . 因此也不必关于那个常数是什么 . 4.4 指数分布 指数分布的概率密度函数为
4.6 正态分布 正态分布也叫高斯分布，是最常用 的一种分布，用来描述许多误差或者大 量随机变量之和的分布。 标准正态分布 在讨论正态分布之前，先讨论标准 正态分布。说随机变量 ξ 服从标准正态 分布，是指它的概率密度函数为
x2 2
φ0(x)
-1
0
1
0 ( x)

1 2
0
x
e
证明



( x)dx 1 如下：



0
( x)dx
x 2


1 2
e

x2 2
dx
令u
, dx 2du , 则
上式=
1



e
u 2
du
1

上式利用了普阿松广义积分公式 普阿松积分公式的证明：


e
x2
dx
假设 I

x e dx
1

x 0(r 0, 0) 其它
而真实的概率密度函数 φ(x)=af(x), 可以给出常数 a 由下式计算:
a
x
0
r 1 x
e
dx

这样, 计算的关键就是要计算广义积分

x
0
r
r 1 x
e
dx , 作代换 t=λx, 则 x=t/λ, dx=dt/λ,
则
x
那么就称ξ服从 Γ -分布了 . 上式中之所以要求 k>-1, λ>0, 是因为广义积分


f ( x)dx
x
0
k
e x dx
只有在这种条件下才收敛. 此外, 传统上为了方便起见, 用另一个常数 r=k+1, 因此广义概率密度函数写为
x r 1e x f ( x) 0
b
此外, Γ(1)=1, 因 (1)
t
0
11 t
e dt e t | 1
0

则 Γ(2)=Γ(1+1)=1, Γ(3)=2Γ(2)=2, Γ(4)=3Γ(3)=3· 2·1=3!，… 一般地有 (n 1) n! Γ-分布的数学期望和方差计算如下:
E

x
(r 1) t e dt t de
r t r 0 0


t
t e
r
t
|
0
e t dt r
0


rt
0
r 1 t
e dt r(r )
上式用到了定积分的分部积分公式 udv uv vdu
a a a

b
|
b
(r ) t r 1e t dt
0

因此, Γ 分布的概率密度函数的形式为
r r 1 x x e ( x ) ( r ) 0
记作ξ~Γ(λ,r)
x 0(r 0, 0) 其它
Γ 函数的一个重要性质是 (r 1) r(r ) (r>0)成立 证:
r x r 1e x ( x) (r 1)! 0
x0 其它
为 r 阶爱尔朗分布或称厄兰分布(Erlang), 在排队论中用到 , 如, 在接完一个电话之后又 接了 r 次电话所需要的时间, 在设备出了一次故障之后又出了 r 次故障的时间. 当 r=n/2(n 是正整数), λ=1/2 时,
2
1 r 2 e | 因此 I 0 2
由于 φ0(x)为偶函数 , 因此 Eξ=0,
D E
2



x2 2
e

x2 2
dx
利用定积分的分部积分公式 udv uv vdu
a a a

b
|
b
b
令v e

x2 2
, 则 dv xe
x de 2 2
0
r 1 x
e
t dx 0

r 1
e
t
1


dt
1


t
0
r 1 t
e dt ,
问题就转成怎样计算广义积分
t
0
r 1 t
e dt , 这个积分有一个参数 r>0, 在 r 为一些特定
的参数时, 如当 r=1 时, 上面的广义积分还是可以计算的, 但是当 r 为任意的正实数时, 此广
义积分就没有一般的公式 , 一般的原函数表达式. 在这种情况下数学家常用的办法就是定义 一个新的函数 . 比如说, 在中学学的三角函数就无法用一个加减乘除的公式表示, 因此就发 明了 sin, cos 这样的记号来代表三角函数. 同样 , 上面的广义积分的取值只依赖于参数 r, 每 给定一个 r 值就有一个积分值与之对应, 因此也可以定义一个函数, 叫 Γ-函数, 定义为
0
r
( r )
x r 1e x dx

x e ( r )
r 0
Hale Waihona Puke 1r x
d (x)
1 (r 1) r t r e t dt (r ) 0 (r ) E
2
x
0
2
r
( r )
x e

r 1 x
(x) r 1 x dx 2 e d (x) 0 ( r ) 1
2

E
2
2

2

1

2

1
2
指数分布常用来作为各种 "寿命 "分布的近似. 4.5 Γ-分布 如果一个随机变量 ξ 只取正值 , 且在正半轴的广义概率密度函数的形式是 x 的某次方 xk 乘上指数函数 e -λx, 即
x k e x f ( x) 0

x 0(k 1, 0) 其它
连续型随机变量
给出一个新概念：广义概率密度函数。 设连续型随机变量ξ 的概率密度函数为 φ(x), 那么任何与之成正比的函数 f(x)∝φ(x), 都叫做 ξ的广义概率密度函数, 或者说 , 一个函数 f(x)是 ξ的广义概率密度函数, 说明存在着一实 数 a, 使得 φ(x)=af(x) (1)

n x 1 1 2 2 x e n ( x ) 2 2 ( n ) 2 0
x0 其它
称为具有 n 个自由度的 χ2-分布 , 是数理统计中最重要的几个常用统计量之一 . 一个重要结论, 当有若干个参数 λ 都相同的相互独立的服从 Γ-分布的随机变量相加得到 新的随机变量, 则此新的随机变量也服从 Γ-分布 , 其 λ 参数仍然不变, 而 r 参数则是各个随 机变量的 r 参数相加 . 即如果 ξ1~Γ(λ,r1), ξ2~Γ(λ,r2),…,ξn~Γ(λ,rn)两两相互独立, 则 ξ=ξ1+ξ2+…+ξn~Γ(λ,r1+r2+…+rn) 此性质最常用到的地方, 就是当有 k 个相互独立的服从自由度为 n1,n 2,…,nk 的 χ 2-分布的 随机变量 ξ1,ξ2,…,ξk 相加得到的随机变量 ξ=ξ1+ξ2+…+ξk 服从自由度为 n=n 1+n2+…+nk 的 χ2分布