LU 分解原理
定理：设ACnn，如果 A 的顺序主子式
𝐴11≠0, |𝑎11𝑎12𝑎21𝑎22|≠0,…，|𝑎11𝑎12𝑎21𝑎22…𝑎12…𝑎22⋮⋮𝑎𝑛−11𝑎𝑛−12⋮⋯𝑎𝑛−1𝑛−1|≠0
则存在唯一的主对角线上元素全为 1 的下三角矩阵L与唯一的上三角矩阵 U，使得
A=LU.
证明：对矩阵A的阶数使用数学归纳法.
显然，当 n=1 时，𝐴11=1 ∙𝐴11 就是唯一的分解式。现假定对
n-1 阶矩阵，定理的结论成立。对 A 进行分块
A=(𝐴𝐴−𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴)
其中𝐴𝐴,𝐴𝐴∈𝐴𝐴−𝐴.由于 n-1 阶矩阵 𝐴𝐴−𝐴的 k 阶顺序主子式就是 A 的 k 阶主子式（k=1,2，…，n-2），故它们都不为零.从而由归纳法假设，𝐴𝐴−𝐴 有唯一的 LU 分解
𝐴𝐴−𝐴=𝐴𝐴−𝐴𝐴𝐴−𝐴
其中𝐴𝐴−𝐴的主对角线上的元素都1.由于
|𝐴𝐴−𝐴|=|𝐴11𝐴12𝐴21𝐴22…𝐴12…𝐴22⋮⋮𝐴𝐴−11𝐴𝐴−12⋮⋯𝐴𝐴−1𝐴−1|=|𝐴𝐴−𝐴𝐴𝐴−𝐴|≠0
所以𝐴𝐴−𝐴及𝐴𝐴−𝐴是n-1阶可逆矩阵
先假设已有 A=LU，其中
L=(𝐴𝐴−𝐴0𝐴𝐴1)， U= (𝐴𝐴−𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴)
𝐴，𝐴∈𝐴𝐴−𝐴是待定向量。作乘积
𝐴𝐴 = (𝐴𝐴−𝐴𝐴𝐴−𝐴𝐴𝐴−𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴−𝐴𝐴𝐴𝐴+𝐴𝐴𝐴) =(𝐴𝐴−𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴)=A
则𝐴，𝐴必须满足
𝐴𝐴−𝐴𝐴=𝐴𝐴，𝐴𝐴𝐴𝐴−𝐴=𝐴𝐴𝐴，𝐴𝐴𝐴+𝐴𝐴𝐴=𝐴𝐴𝐴
注意到𝐴𝐴−𝐴及𝐴𝐴−𝐴都是n-1阶可逆矩阵，则由上式可惟一确定
𝐴=𝐴𝐴−𝐴−𝐴𝐴𝐴，𝐴𝐴=𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴−𝐴−𝐴, 𝐴𝐴𝐴=𝐴𝐴𝐴−𝐴𝐴𝐴
这就证明了 A 的 LU 分解的存在性和唯一性.
LU分解算法
当 n 阶矩阵满足定理的条件时，可以用初等变换的方法求出 L
和 U.
因为当 A=LU 时，由于 L 可逆，故必存在可逆矩阵 P 使得
𝐴𝐴=𝐴
即 PA=PLU=U.也就是说，可以先对 A 施行行的初等变换得出上三角矩阵U，而矩阵 P可以通过对单位矩阵I进行相同的行初等变换得出，即
P(A,I) =(PA,PI) =(U,P)
于是𝐴=𝐴−𝐴𝐴,为保持P为下三角矩阵（从而𝐴−𝐴也是下三角矩阵），在进行行初等变换时，不能进行行的对换，上行的倍数应加到下行的对应元.
LU分解用于解方程组
矩阵的三角分解在求解线性方程组时十分方便.如对线性方程组
𝐴𝐴=𝐴,设𝐴=𝐴𝐴.我们先求解方程组 𝐴𝐴=𝐴. 由于𝐴是下三角矩阵，则解向量𝐴可以通过依次求出其分量 𝐴1,𝐴2,⋯𝐴𝐴而求出，在求解方程组𝐴𝐴=𝐴.解向量𝐴可以通过该方程组依次求出分量𝐴𝐴,⋯,𝐴2,𝐴1而快速得出.于是由两个方程组𝐴𝐴=𝐴，𝐴𝐴=𝐴的求解而给出
𝐴𝐴𝐴=𝐴𝐴=𝐴= 𝐴𝐴的解.
程序流程图
输入矩阵A判断A是否为n×n矩阵？计算A的n-1阶顺序主子式是否为0？输出：“无法进行LU分解”设定 n 阶单位矩阵L和全零矩阵 U输出L,U是是否否计算U 的第一行
U1j =A1j j=1，2，…，n计算L 的第一列U 的第 r
行（逐行算出）L 的第 r
列（逐列算出）
MATLAB程序
function f=LU_decom(A)
[m,n]=size(A)
if m~=n
fprintf('Error:m and n must be equal!m=%d,n=%d\n',m,n)
end
for i=1:n-1
if (det(A(1:i,1:i))==0)
fprintf('Error:det A(%d,%d)=0!\n',i,i)
flag='failure'
return;
else
flag='ok';
end
end
L=eye(n);
U=zeros(n);
for i=1:n
U(1,i)=A(1,i);
end
for r=2:n
L(r,1)=A(r,1)/U(1,1);
end
for i=2:n
for j=i:n
z=0;
for r=1:i-1
z=z+L(i,r)*U(r,j);
end
U(i,j)=A(i,j)-z;
end
if abs(U(i,i)) flag='failure' return; end for k=i+1:n m=0; for q=1:i-1 m=m+L(k,q)*U(q,i); end L(k,i)=(A(k,i)-m)/U(i,i); end end L U 实际数据计算 已知矩阵A=(211410−221)，𝐴=(121)，先对A进性LU分解，并求解方程 A 𝐴=𝐴的解. （1）A的LU分解 在MATLAB命令行中输入A=[2 1 1;4 1 0;-2 2 1];并调用以上函数可得如下结果 >> A=[2 1 1;4 1 0;-2 2 1];LU_decom(A) m = 3 n = 3 L = 1 0 0 2 1 0 -1 -3 1 U = 2 1 1 0 -1 -2 0 0 -4 （2）解方程组，程序及结果如下 %-----用LU分解解线性方程组------ y=zeros(n,1); y(1)=b(1); for i=2:n y(i)=b(i)-sum(L(i,1:i-1)'.*y(1:i-1)); end y x(n)=y(n)/U(n,n); for i=n-1:-1:1 x(i)=(y(i)-sum(U(i,i+1:n)'.*x(i+1)))/U(i,i); end x=x' 运行结果如下： y = 1 0 2 x = 数据分析 调用MATLAB固有的LU分解函数，以及解方程组相关函数对以上数据进行计算，运行结果如下： >> A=[2 1 1;4 1 0;-2 2 1]; >> b=[1 2 1]'; >> [L,U]=lu(A) L = 0 0 0 U = 0 0 0 0 >> X=inv(A)*b X = 经比对结果相同，可见以上程序可行。