上述问题是一个NZ+N的多体问题，无法直接求解薛定谔方程， 为此进行如下假设和近似：
1、绝热近似（玻恩—奥本海默近似） 认为离子实固定在其瞬时位置上，只关注电子体系的运动。此时， 离子实的动能项和离子实之间的库仑势可不考虑。电子体系的哈密顿量：
H )e T ) e V e e ( r v i,r v j) V e n ( r v i,R v n )
e2 rvi rvj
NZ个电子的动能和库仑势
N n 1
h2 2M
2 n
1 2
n,m
/
1
4 0
(Ze)2 vv Rn Rm
N个离子实的动能和库仑势
NZ N
1
i1 n1 4 0
Ze2
rvi
v Rn
电子和离子实之间的库仑势
T ˆ e V e e ( r v i , r v j ) T ˆ n V n n ( R v n , R v m ) V e n ( r v i , R v n )
H )(rv) 2 hm 2 2Vrv (rv)(rv)
V (r R n)V (r )
边长为 L 的立方体金属, 金属的体积V=L3,自由电子数目为N, 若忽略电子和离子实以及电子与电子之间的相互作用，则 N 个电子的多体问题可转化为单电子问题
[h2 2V(rv)](rv)(rv)
2m
波函数：
v(rv) 1 eikvrv
k
V
准连续的分立能级 E2hm 2 2L 2 nx2ny2nz2
考虑电子间及与离子实间的相互作用后
准连续的分立能级
能带
本章主要内容：
❖周期场中单电子薛定谔方程的本征函数（布洛赫波函数）。 ❖从两个极端情况出发（价电子受原子核束缚强弱），近自由电 子近似和紧束缚近似，了解晶体中电子能带结构的起源。 ❖周期场中电子的动力学行为。 ❖从能带论的角度讲述何以有导体、半导体和绝缘体之分。
1
40
Ze2 rvRvn ]
周期场近似的内容是：假定 V (rv) 具有和晶格同样的平移对称性，即：
V (r R n)V (r ) 成立
单电子
H )(rv) 2 hm 2 2Vrv (rv)(rv)
绝热近似 单电子近似 周期场近似
将复杂的多粒子体系问题简化为周期场中单电子的运动
周期场中单电子薛定谔方程
哈密顿中的 V
项，使电子的运动彼此关联，难于处理。为此，用一个平均
ee
场来代替 V
项。(每个电子处于其他电子的平均场中)
ee
Vee(rv i,rvj)1 2iN Z 1ji
1 40
rv ie2rvj iN Z 1ve(rv i)
则电子体系的哈密顿进一步简化为：
H )eiN Z 1[2 hm 2 i2ve(rv i)R vn
式中 / 表示求和时 i j, ½ 源于考虑了两次相互作用
i, j
H ˆ T ˆ e V e e ( r v i , r v j ) T ˆ n V n n ( R v n , R v m ) V e n ( r v i , R v n )
（描其写中体r系v 的代薛表定rv 谔1,方rv2程,rv 为3,：LH ) ,rvN( Zr v ，,RR vv )代 表 R v1 (,r v R v ,2 R v ,)R v3,L,R vN ）
kv(rvR vn)eikv•(rvR vn)ukv(rvR vn)
§5.1 布洛赫波函数
本节主要内容: 一、 布洛赫定理及证明
（有关周期场中单电子薛定谔方程的本征函数）
H )(rv) 2 hm 2 2Vrv (rv)(rv)
V(rห้องสมุดไป่ตู้R vn)V(rv)
二、 波矢k的取值与物理意义
费利克斯·布洛赫(Felix Bloch) (1905–1983),瑞士物理学家 1928年，研究金属中电子行为时，得到晶体电子的普遍性 定理—Bloch定理-----能带论的基础
v
R
为离子实的瞬时位置，是其中的一个参量。一般情况下，离子实是围
n
v 绕其平v 衡位置作小振动（晶格振动）。绝热近似忽略晶格振动的影响， R 认为 R n 即是平衡位置的 0
n
2、单电子近似(平均场近似)
H ) H ) e T ) e V e e ( r v i,r v j) V e n ( r v i,R v n )
1 40
Ze2 rv iR vn]
单电子势能
)
此式表明，晶体中总的 H
简化为单体问题。
e
是NZ个单电子的哈密顿之和，即多体问题
3、周期场近似
H )eiN Z 1[2 hm 2 i2ve(rv i)R vn
1 40
Ze2 rv iR vn]
单电子势能
单电子势能:
V(rv)ve(rv)v Rn
因为核磁共振方面的开创性工作，与爱德华·珀塞尔 （Edward Mills Purcell, 美，1912-2019）共同分享 1952年的诺贝尔物理学奖。
布洛赫定理(Bloch theorem)及证明
布洛赫定理：
对于周期性势场，即
VrrVrrR rn
v 其中 R n
取布拉菲
格子的所有格矢，则单电子薛定谔方程:
晶体中原子的价电子主要影响晶体性质，关注价电子
原子
价电子 + 离子实
离子实
原子核 + 内层电子
能带理论是一个近似理论，固体中存在大量电子及离子 实，对这种多粒子系统严格求解是不可能的。
引言: 模型的建立
晶体最大的特点就是具有周期性结构，满足平移对称性。
在考虑价电子间及与离子实之间的相互作用的前提下，给 出周期性结构系统的哈密顿量，并考虑对哈密顿的近似处 理 -------模型的建立
假定晶体体积 V L3 ， 含有N个带正电荷Ze的离子实，
Z为单原子的价电子数目，晶体中有NZ个价电子。即：
v N个离子实，每个离子实带正电荷Ze，其位矢用 R n 表示；
v NZ个价电子，简称为电子，其位矢用 表示。 ri
系统的哈密顿为：
)
H
NZ i 1
h2 2m
2 i
1 2
i, j
/1
4 0
H )(rv) 2 hm 2 2Vrv (rv)(rv)
的本征函数是按布拉菲格子周期性调幅的平面波，即
kv(rv)eikvgrvukv(rv)且 ukvrvukv rvRvn
对
v Rn
取布拉菲格子的所有格矢成立。
R v n n 1 a v 1 n 2 a v 2 n 3 a v 3
kv(rv)eikv•rvukv(rv)且 ukvrvukv rvRvn