s
0
2
erfc
z Nt 2 Mt
N
eM
z erfc
z Nt 2 Mt
3.2.1 第一类边界条件的求解
3.2.1.1 土壤水分线性方程的入渗解
(1)水平入渗（吸渗）问题
对水平半无限均质土柱来说，初始含水率θi均匀，进水 端含水率θ0 恒定，且水分扩散度为常数 得到D 定解问题：
2
t D x2
n
1, 2, …, n-1, n 1, 2, …, n-1, n
1/2, 1+1/2, …, (n-2)+1/2, (n-1)+1/2
r = 0 - r ( r = 1, 2, …, n)
(5)
Let
r D( )d
D r1/ 2
r 1
r d
r 1
(6)
For 1/2：
根据
0
i
d
2D
d
d
1/ 2
t
I (t) 0 i( )d
or
i(t) dI (t) dt
设供水强度为R(t )，上边界的吸渗能力为q(0,t)，有：
i(t) min(q(0,t), R(t))
3.1土壤水分入渗概述
3.1.3 三种入渗条件下的定解问题
• 入渗过程的三种情形
（1）入渗率 i 取决于供水强度 R，表层土壤含水率逐步 增加至近饱和，无地表积 水。
边界条件：
O θi
t1 t2
R
θ
t3
K
(
m
)
m
z
K ( m ) z0
R(t)
a.无积水
q(0,t) R(t)
z
O θi
θ0
（2）地表湿润，表土达某一较
稳定的含水率０（<饱和
含水率s），无地表积水。
t1
“灌溉模型”
t2
0 s，但0 < s
边界条件：
(0, t) = 0 t >0
t3
b. 无积水
θ(z,t)为t时刻土壤含水率 的分布；
θ(z,0)为初始含水率分布； L为土层厚度（大于湿润
锋到达的位置）(cm) 。 z
θ
θ(z,t)
入渗率（infiltration rate）：单位时间内通过单位面积土壤
入渗的水量[L/T]
i(t)
q(0, t )
D( )
z
K ( ) z0
K
(
m
)
m
z
K ( m ) z0
入渗率i
供水（降水、灌溉）强度
R
余水
余水
稳定入渗率
K0
入渗率的变化过程示意图
时间t
i(t) [D( ) k( )]
z
入渗开始较大，之后逐渐减
z 小
土壤表面静水压力水头与湿润锋处水头差
入渗率随时间降低的原因：
• 吸力梯度的原因
i
Ks
ΔH Δz
ΔH ΔS Δz
i
Ks
ΔS Δz
1
随入渗时间，渗径加长，ΔS
z
（3）积水入渗：此时表层土壤 已完全饱和。
边界条件：
(0,t) s
H ψm(t,0)
O θi
θs
饱和区 saturated zone
过渡区 transition zone
传导区 transmission zone
湿润区 wetting zone
湿润锋 wetting front
z
c. 积水入渗
(0, t) s 0
(, t) 0
d2 d
M N p 0
dz 2
dz
(0; p) s 0
p
(; p) 0
L[(z,t)] (z; p) (z,t)e pt dt (p>0) 0
L[] t
e pt dt 0 t
(e
pt
)
0
p
e pt dt
0
p
微分方程求解
(z; p) C1 exp N
K (i i
)
代替
K ( ) ， 可得垂直
t
2
D x2
K
z
(z,0) i
(0, t) 0
(,t) i
(z,t)
(0
2
i
)
erfc[ Kz e D
z Kt ] 2 Dt
erfc[ z
Kt
]
i
2 Dt
3.2.1 第一类边界条件的求解
3.2.1.2水平入渗的Philip解
(x,t)
i , t 0,0 x (0 i )erfc[ x ] i
0 ,t 0, x 0
2 Dt
i ,t 0, x
3.2.1 第一类边界条件的求解
3.2.1.1 土壤水分线性方程的入渗解
(2)垂直入渗问题
以 D代替D(θ)，以 入渗问题得定解问题：
K
K (0 ) 0
( 0
i )erfc
2
D'
(16)
Eqn.(16) + Eqn.(13)
J1/ 2
0
( 0
i
)erfc
2
D'
d
(17)
2n D'
(18)
* calculation of Jn-1/2
1st method (Eqn.(12)) :
J
F n1
/
2
J (n2)1/ 2
n1
(19)
2nd method (Eqn.(9)):
c. 积水入渗
3.1土壤水分入渗概述
3.1.2 入渗情况下含水率分布及分区图
通过入渗过程的观察，对土壤含水率的变化取得了如下 认识：
⑴在水施加于土壤表面后的很短时间内，表土的含水率 将很快由初始值增大到某一最大值。由于完全饱和在自 然条件下一般是不可能的，故值较饱和含水率为小。
⑵随着入渗的进行，湿润锋不断前移，含水率的分布曲 线由比较陡直逐渐变为相对缓平。
n
d
2D1/ 2
0 1
1 2D1/ 2 1/ 2 d n
(7)
0 = 0
1/ 2 d
n
2D1/ 2
1
Similarly，
2 1 2D11/ 2 d 11/ 2 n
r1 r 2Dr1/ 2 d r/ 2 n
(8)
n1 n2 2D(n2)1/ 2
d (n2)1 / 2
n n
D(
)d
0 d
n
n1
2
r 0
r 0
n n
Dr
( 0
n )
2 ( 0 n )2
n1
( r
r 0
n )Dr
2 n2
n
(n r)Dr
r 0
(13)
(14)
(15)
由前“线性化”一节可知，令N = 0即可得水平入渗的解 为
i
0
i
2
erfc 2
x D't
erfc
2
x D't
水平入渗的定解问题：
t
x
i
t
D
0
x
x
0
(1)
通过微分变换基本方程可变换为： 0 t 0 x 0
i t 0 x
x t
D
x
(2)
微分变换
假定上式解的形式为： x st
3.2.1 第一类边界条件的求解
3.2.1.2水平入渗的Philip解
就 x st式对 t 求导： x st
3.3 入渗公式及其讨论
第3章 土壤水分的入渗
3.1土壤水分入渗概述
“入渗”是指水分进入土壤的过程。影响入渗的因素有两 方面，一是供水速率，一是土壤对水的渗吸能力。
入渗率 i ：单位时间通过单位面积入渗的水量，单位是
mm/min，cm/d。
累计入渗量 I ：在一定时段内通过单位面积的总水量，单位 是mm，cm。
第3章 土壤水分的入渗
3.1土壤水分入渗概述
入渗过程分析、入渗情况下含水率分布、入渗条件下的定解问题
3.2 土壤水分运动线性化方程的入渗解
第一类边界条件的求解
土壤水分线性方程的入渗解 、水平入渗的Philip解 垂直入渗的Philip解、入渗条件下的parlange解
第二类边界条件的parlange解 第三类边界条件的Green—Ampt解
t
z
D(
)
z
K (
z
)
(z, 0) 0 (0, t) s (, t) 0
suppose D( ) M Const.
M 2 N
t
z 2
z
K ( ) K ( ) N , N Const.
z
z z
Let 0
M 2 N
t
z 2
z
(z,0) 0
t
t
对 求导： x st
x t
D
x
回代到变换后的基本方程式，整理得：
st
dst
dt
1
d
d
D d
d
3.2.1 第一类边界条件的求解
3.2.1.2水平入渗的Philip解
要使上式成立必有：
st 1dsdttsddt addsdDdtt
1
a
sddt ddsDdta
dt
a为任意常数，解方程式得： st 2at c12 回代到 x st得：x 2at c12
⑶在地表z=0处，含水率梯度(或基质势梯度)的绝对值逐 渐由大变小，当足够大时→0，即接近地表处含水率不变。