I (9) {mi | i 1,2, ,9} 表示在职董事会成员
的“量纲”，记为•。
8
2020年3月7日
一、量纲分析方法
1、量纲
例如，时间的量纲为 T ，长度的量纲
为 L，速度的量纲为 [LT 1] ，质量的量
纲为M 等。
量纲分析就是基于量纲一致的原则 来分析物理量之间关系的一种方法。
9
2020年3月7日
一、量纲分析方法
例如，常用的基本量纲有：
记为 q1, q2 ,, qm ，根据问题的物理意义确定基本量
纲，记为 X1, X 2 ,, X n (n m) ；
热量e
时刻t
温度u
r
15
基本量纲： 时间：T 长度：L 温度：θ 质量：M
2020年3月7日
一、量纲分析方法
４、量纲分析的一般步骤
n
(2) 写 出 q j 的 量 纲 [q j ]
urt e纲分析方法
４、量纲分析的一般步骤
m
(3)设 q1, q2,, qm 满足关系
q yj j
，其
j 1
中 yj 为待定的， 为无量纲的，因此
[
]

m

X
a j
j
1,于是
j 1
m
a j aij yi 0( j 1,2,, n) ； i 1
X
aij i
(
j

1,2, ,
m)
,
i 1
A (aij )nm ；
k: ML 1T 3 e : ML2T 2 C ： M 1T 2L1
0 1 0 2 1 1 L
A 0 0 0
1
1
1

M
0 0 1 2 2 3 T
1 0 0 0 1 1
X
aij i
(
j

1,2, ,
m)
。
i 1
矩阵 A (aij )nm 称为量纲矩阵.
13
2020年3月7日
一、量纲分析方法
３、量纲分析的基本定理
若 A 的秩 r ，可设线性齐次方程组 AY 0 （ Y 是 m 维 向 量 ）， 有 m r 个 基 本 解 为
yk (yk1 , yk2 ,, ykm )T , k 1,2,, m r 。
第二章 两种初等分析方法
• 一般认为，集合与集合论的有关概念和理论 都是非常抽象的，不便于在实际中应用．
• 对于实际中的许多问题，往往是其相关因素 之间的关系比较复杂，用相对通俗、简单的语 言文字难已表达。
27
2020年3月7日
二、集合分析方法
• 用集合的概念、术语和子集合之间的运算关 系来解释、描述这个实际问题可能更清晰、更 直接、更方便。
30
2020年3月7日
二、集合分析方法
案例分析：合理分派与会成员问题
1. 问题的提出
公司董事长需要一份由公司董事参加的7段分 组会议的每个小组的分配名单．这份搭配名单要尽 可能多地把董事均匀搭配．
理想的搭配应是任意两位董事同时参加一个小 组讨论会的次数相同,与此同时，要使在不同时段的 小组会中同在一起开过会的董事总数达到最小．
系 数 矩 阵 A (aij )nm , RankA r ， 则 方 程 组 有
m r 个基本解，记
yk ( yk1 , yk2 ,, ykm )T , k 1,2,, m r ；
21
2020年3月7日
一、量纲分析方法
y1
0
AY 0 0 1

1 2

r 2t 1ck 1 u2t 3e2ck
3
u

e c
(a
2t
)

3 2
g
r2 a2t
，其中 a2

k c
,
g
为待定的。
另一方面，该问题可用热传导方程求解： u

e c

2
1
a2t
3
r2
e 4a2t
24
2020年3月7日
• 通过对数据和现象的分析对事物的内在 规律作出合理的猜想（或推理），即可 作为模型的假设。
7
2020年3月7日
一、量纲分析方法
1、量纲
量纲分析是物理学中常用的一种定性 分析方法。当对一个物理概念进行定量描述 时，总离不开它的一些特性.
比如，时间、质量、密度、速度、力等等， 这种表示不同物理特性的量，称之为具有不同
瞬时热源位于原点处 (r 0) ，热量通过介
质向无穷空间扩散，试研究扩散规律。
讨论： 如何来刻画热扩散规律？ 这些规律与那些因素有关？
5
2020年3月7日
一、量纲分析方法
引例：空间点热源的热扩散问题
热量e
时刻t
温度u
r
6
2020年3月7日
一、量纲分析方法
对现实对象的认识主要来源于两个方面：
• 与问题相关的物理、化学、经济等自然 学科方面的知识；
X
aij i
(
j

1,2,
,
m)
,
i 1
A (aij )nm ；
热量 e （焦耳，即功的单位）：
W

FS

MaS

M
L T2
L

M
L2 T2
比热容 C （单位体积提高 1 摄氏度需要的能量）：
C


e L3

M
L2 T2
1
L3

M
1
T 2L
16
2020年3月7日
一、量纲分析方法
• 借助于集合论的相关理论得到具有实际意义 的结果．
28
2020年3月7日
二、集合分析方法
案例分析：合理分派与会成员问题
1. 问题的提出
AnTostal公司的一次会议的参加者为29位公司董 事会成员，其中9位是在职董事(即公司的雇员)．会 议要开一天,每个小组上午开三段，下午开四段，每 段会议开45分钟，从上午9:00到下午5:00每整点开始 开会，中午12:00午餐．
当方程中的各项具有相同的量纲时，这 个方程被称为是量纲齐次的，也只有具有相 同量纲的量才能作比较或相加、减，即物理 定律必须是量纲齐次的。
11
2020年3月7日
一、量纲分析方法
２、量纲齐次原则
例如：万有引力定律：
f
k
m1m2 r2
，量纲是齐次的。
动量定律： mv2 mv1 ft ，量纲也是齐次的。
案例分析：合理分派与会成员问题
• 请给出一份1～9号在职董事、10～29号董事、 1～6号公司资深高级职员的分组搭配名单．并说明 该名单在多大程度上满足了前面提出的各种要求和 规则。
• 因为有的董事可能在最后一分钟宣布不参加会 议，也可能不在名单上的董事将出席会议。因此， 一个能使秘书在会前一小时接到参会与否的通知情 况下，来调整搭配分组的算法定会得到赏识．
第二章 两种初等分析方法
量纲分析方法； 案例分析：点热源的热扩散问题； 集合分析方法； 案例分析：合理分派与会成员问题
3
2020年3月7日
第二章 两种初等分析方法
用量纲分析法建立的数学模型一 般都有明确的物理意义或现实意义。
4
2020年3月7日
一、量纲分析方法
引例：空间点热源的热扩散问题
问题：设初始时刻 (t 0) 有一热量为 e 的
,
y

k1
y1

k2
y2
都是方程的解

1

2
r 2t 1ck 1 u2t 3e2ck 3
，
与 f (u, r, t, e, c, k) 0 等价。
23
2020年3月7日
一、量纲分析方法
４、量纲分析的一般步骤
(6)由 F (1, 2,, mr ) 0 解出物理规律。
29
2020年3月7日
二、集合分析方法
案例分析：合理分派与会成员问题
1. 问题的提出
上午每段会议都有6个小组讨论会，每个小组都 由公司的一位资深高级职员来主持．这些资深高级 职员都不是董事会的成员．因此，每位资深高级职 员都要主持三个不同的小组会．这些资深高级职员 不参加下午的讨论会，而且下午的每段会议只有4个 不同的小组会．
y1 y2

(0,2,1,0,1,1)T (2,0,3,2,1,3)T
22
2020年3月7日
一、量纲分析方法
４、量纲分析的一般步骤
(5)记k
m
q ykj j
，则 k
为无量纲的量 (k
1,2,,m r)
；
j1

y1 y2

(0, 2, 1, 0,1, 1)T (2, 0, 3, 2,1, 3)T
19
2020年3月7日
一、量纲分析方法
[u y1 r y2 t y3 e y4 c y5 k y6 ]=1
L T y1 y2 y3 ML2T 2 y4 M 1T 2L1 y5 ML 1T 3 y6 1
y1
0
AY 0 0 1
1 0 0 0
M,L,T,1 质量：[m]=M 长度：[l]=Ｌ 时间：[t]=T 常数:[π]=[ｅ]=１
[V],[a],[F],[P][w]?
速度：[v] LT 1 加速度：[a] LT 2 力：[F] MLT 2
10
2020年3月7日
一、量纲分析方法
２、量纲齐次原则