（1） 已知一点的应变 x , y , xy ，可计算任意方向的
应变 N 。 N 的最大值、最小值。主应变、主应
变方向等。
（2）已知一点任意三方向的应变 N1, N 2 , N3，可求得
该点的应变分量 x , y , xy 。
NN21
（2）若： qb 0(而qa 0)
r


b2
r2 b2
a2
1 qa (
1
0)
（压应力）


b2
r2 b2
a2
1
qa ( 0)
1
（拉应力）
r
（3）若： qa 0, (qb 0)
r


1 1

a2
r2 a2
b2
qb ( 0)
（压应力）


1 1
（4－6）
r

1 r

r

1 r2
2 2


2
r 2
r


r

1 r


（4－5）
（3） 将上述应力分量 r , , r 满足问题的边界条件：
位移边界条件： ur s ur , u s u 应力边界条件： l r s m r s kr （位移单值条件） l r s m s k
应力正负号的规定：
正应力—— 拉为正，压为负。 剪应力—— 坐标正面上，与坐标正向一致时为正；
坐标负面上，与坐标正向相反时为正。
y
与材力中剪应力τ正负号规定的区别：
yx
规定使得单元体顺时的剪应力τ为
正，反之为负。
xy yx
x xy
y
x
xy x
在用应力莫尔圆时必须此规定求解问题
x yx X 0
x y
xy y Y 0
x y
（2-2）
基本控制方程
相容方程

2 y 2

2 x2

( x

y)

(1

)
X x

Y y
（平面（应2-力23情）形）
位移边界条件 us u , vs v
l r
s

m
s

k
小结： 弹性力学平面问题的极坐标求解归结为:
（1） 由问题的条件求出满足式（4－6）的应力函数 (r, )
4


2 r 2

1 r
r

1 r2
2
2
2




0
（2） 由式（4－5）求出相应的应力分量： r , , r
（2）几何学关系： 形变与位移间的关系；
（3）物理学关系： 形变与应力间的关系。
3. 平面问题的求解
问题： 已知：外力（体力、面力）、边界条件，
u, v 求： x , y , xy x , y , xy
—— 仅为 x y 的函数 需建立三个方面的关系：
（1）静力学关系： 应力与体力、面力间的关系；—— 平衡微分方程
物理方程求出其余未知量。 基本方程：
位移表示的平 衡方程
E
1 2

E
1 2

2u x2

2v y 2
1
2
1
2
2u y 2 2v x2
1
2
1
2
2v xy 2u xy

X Y

ur , u为边界上已知位移， kr , k 为边界上已知的面力分量。
r

b2
r2 b2
a2
1 qa
1

1 1

a2
r2 a2
b2
qb


b2
r2 b2
a2
1 qa
1

1 1
a2
r2 a2
b2
qb
（4-14）
（1）若： a 0, qa 0
r qb , qb ( 二向等压情况)
2. 应力
应力：由外力引起的在 P点的某一面上内力分布集度
应力的法向分量
应力分量
—— 正应力
应力的切向分量 —— 剪应力
单位: 与面力相同 MPa (兆帕)
(2) 一点的应力状态
通过一点P 的各个面上应力状况的集合 —— 称为一点的应力状态
x面的应力： x , xy , xz
y面的应力： y , yx , yz
z
C
z y
应变的正负： 线应变： 伸长时为正，缩短时为负；
x P
A O
B y
剪应变： 以直角变小时为正，变大时为负； x
弹性力学问题：
已知外力、物体的形状和大小（边界）、材料特性（E、 μ）、约束条件等，求解应力、应变、位移分量。
需建立三个方面的关系：
（1）静力学关系： 应力与体力、面力间的关系；
（2-17）
应力边界条件
l( x )s m( xy )s X m( y )s l( xy )s Y （2-18）
边值条件
（3）两类平面问题物理方程的互相转换：
平面应力问题
E

平面应变问题
E
1 2
1
平面应变问题
E

平面应力问题
E(1 ) (1 )2

1
4 0
(2-27)
应力函数表示 的应力分量

x

2
y 2

Xx

y

2
x2
Yy
xy


2
xy
(2-26)
位移边界条件 us u , vs v
应力边界条件 l( x )s m( xy )s X m( y )s l( xy )s Y
位移单值条件。 —— 半逆解法的数学基础：数理方程中分离变量法。
四、关于平面问题的变形协调方程（相容方程）
形变表示的 相容方程
(基本形式)
2 x 2 y 2 xy
y2 x2 xy
适用情形： 小变形、任意弹塑 （2-22）
性材料。

2 y 2

2 x2

( x定：小变形、 连续性、均匀性）
xy

v x

u y
（3）物理方程
（2-9）
（假定：小变形、 连续性、均匀性）
x

1 E
( x


y)
x

1 2
E
( x
1
y)


y

1 E
(
y
xy

2(1 E


x)
) xy
(2-15)

y)

(1
)
X x

Y y

（2-23） (平面应力情形)
应力表示的 相容方程

2 x2

2 y 2
( x

y)

1
1

X x

Y y

（2-24） (平面应变情形)

2 x2

2 y 2

( x
说明： （1）对多连体问题，还须满足位移单值条件。 （2）应力函数确定方法：逆解法、半逆解法。
（2-17） （2-18）
第四章 平面问题的极坐标解答
要点：（1）极坐标中平面问题的基本方程： —— 平衡微分方程、几何方程、物理方程、
相容方程、边界条件。
（2）极坐标中平面问题的求解方法及应用
应用：圆盘、圆环、厚壁圆筒、楔形体、半无限 平面体等的应力与变形分析。
（平面应力） y
xy
1 2
E
2(1 E
(
)
y


xy
1

x) (2-16)
（平面应变）
（假定：小变形、连续性、均匀性、线弹性、各向同性）
三、平面问题的基本求解方法及基本方程
（1）按位移求解
思路：以位移u、v为基本未知量，在所有基本方程中消去其余6个量， 得到以位移表示的基本方程，从中求出 u、v，再由几何方程、
a2
r2 a2
qb ( 0)
b2（压应力）
（4）若：b (qa 0)
—— 具有圆形孔道的无限大弹性体。
r
r
边缘处的应力：
a2 r2
qab2

r2 b2
a2



1 1r
qa


bar222

r2 b2
a2
qa 1 1
qa

r qa
r
qa
3. 斜方向应变公式的应用
u r
物理方程：
r

1 E
( r

)


1 E
(
r )
r

1 G

r

2(1 E

)

r
(平面应力情形) （4－3）
边界条件：
位移边界条件： ur s ur ,
u
应力边界条件：
s u
l r s

m r
s

kr
z面的应力： z , zx , zy