2018年培训学校寒假班初二数学学习资料【新授知识】第1课时1.1 直角三角形的性质和判定(Ⅰ)【知识概括】1．掌握直角三角形两个锐角互余的性质．2．会用“两个锐角互余的三角形是直角三角形”这个判定方法判定直角三角形．3．理解和掌握直角三角形性质“斜边上的中线等于斜边的一半”．【典型题例】旧知回顾：1．什么叫直角三角形？直角三角形的内角和是多少？解：有一个角是的三角形叫直角三角形；它的内角和是°.2．直角三角形除了有一个角是直角这条性质外还有没有别的性质呢？还有没有其他方法判定一个三角形是否是直角三角形呢？这节课我们来探究这些问题．知识模块一直角三角形的性质【自主探究】阅读教材P2说一说：回答：如图在Rt△ABC中，∠A＝90°，则∠B＋∠C＝°．【合作探究】如图(1)在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠A＝40°，则∠BCD＝°．如图(2)在△ABC中，∠B＝50°，高AD，CE交于点H，则∠AHC＝°．归纳：性质定理：直角三角形的两个锐角．知识模块二直角三角形的判定【自主探究】阅读教材P2议一议：完成：在△ABC中，若∠A＋∠B＝90°，判定△ABC的形状．【合作探究】如图，AB∥CD，∠A和∠C的平分线相交于点H.那么△AHC是直角三角形吗？为什么？归纳：判定定理：有两个角的三角形是直角三角形．知识模块三直角三角形斜边上的中线的性质定理【自主探究】阅读教材P3探究：动手操作一下，你会发现什么结论？归纳：在直角三角形中，斜边上的中线等于．【合作探究】1．教材P4例1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，将△ACD沿AC边折叠，使点D落在点E处．求证：EC∥AB.【考题训练】1.如图，在ABC∆中，已知3:2:1::=∠∠∠CBA,AB=10cm.（1）求证：ABC∆为直角三角形。
（2）求AB边上的中线.2.如图，090=∠C，BD是角平分线，若BD=AD，AB=6cm,求BC的长。
jACBDBCA【新授知识】第2课时有一个锐角是30°的直角三角形的性质和判定【知识概括】1．进一步掌握直角三角形的性质——直角三角形中，30°的角所对的边等于斜边的一半．2．能利用直角三角形的性质解决一些实际问题．【典型题例】旧知回顾：1．直角三角形有哪些性质？2．已知，在Rt△ABC中，CD是斜边AB边上的中线，∠A＝20°，则∠BCD＝°．知识模块一含30°角的直角三角形的性质【自主探究】阅读教材P4动脑筋，完成下列练习：已知直角三角形中30°角所对的直角边长为6则斜边上的中线为( )A．6 cm B．8 cm C．12 cm D．24 cm归纳：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的。
【合作探究】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，EF为AB的垂直平分线，EF交BC于点F，交AB于点E，求证：BF＝12 FC.知识模块二含30°角的直角三角形的判定【自主探究】阅读教材P5动脑筋，完成下列内容：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝6，则∠B＝°．归纳：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°．【合作探究】如图，△ABC的边AB的垂直平分线DE分别交AB，BC于点D，E，AE平分∠BAC，若∠B＝30°，求证：BE＝2EC.知识模块三含30°角的直角三角形的性质和判定的应用【自主探究】阅读教材P5例2，完成下列内容：如左下图，∠ACB＝90°，AC＝12AB，CE⊥AB，AE＝ED，图中30°的角有( )A．1个B．2个C．3个D．4个【合作探究】已知：如右上图，在△ABC中，∠A＝30°，∠ACB＝90°，M，D分别为AB，MB的中点．求证：CD⊥AB.【考题训练】当小华的轮船在B处时，看见前面岛上灯塔A的仰角B∠为015，当轮船向岛的方向行使6千米到达D处时，此时小华看灯塔A的仰角ADC∠为030，求灯塔离海平面的高度AC。
B D CA【新授知识】第3课时1．2 直角三角形的性质和判定(Ⅱ) 勾股定理【知识概括】1．理解勾股定理及其推导过程．2．会用“勾股定理”解决简单的几何问题．【典型题例】旧知回顾：做一做：(1)自己动手作一个直角三角形，使它的两条直角边分别为3 cm和4 cm，请量出斜边的长度；(2)分别以上图所作直角三角形的三边长为边向外作正方形(可参照左下图)，那么，这三个正方形的面积有什么关系呢？是否所有的直角三角形都有这个性质呢？知识模块一勾股定理【自主探究】阅读教材P10探究，完成下列内容：如上中图所示，a，b，c分别表示以直角三角形三边为边长的正方形的面积，则下列结论正确的是( )A．a2＋b2＝c2B．ab＝c C．a＋b＝c D．a＋b＝c2归纳：直角三角形两直角边a，b的平方和，等于斜边c的平方，即．【合作探究】1．如上右图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝15，则两个正方形的面积和为( ) A．225 B．200 C．150 D．无法确定2．等腰三角形ABC中，AB＝AC＝10 cm，BC＝12 cm，则BC边上的高是cm.知识模块二利用勾股定理进行相关证明【自主探究】如左上图，已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰直角三角形ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画等三个等腰直角三角形ADE，…，依此类推，则第2016个等腰直角三角形的斜边长是．【合作探究】已知：如右上图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2＋CD2＝2AB2.求证：AB＝BC. 知识模块三勾股定理的应用【自主探究】阅读教材P 11例1，完成下列内容：如左下图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7 cm ，则正方形a ，b ，c ，d 的面积和是( )A ．1 cm 2B ．16 cm 2C ．9 cm 2D ．49 cm 2【合作探究】如右上图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝15，BC ＝20，CD ⊥AB ，垂足为D.(1)求斜边AB 的长；(2)求△ABC 的面积；(3)求CD 的长．【考题训练】1、如图，已知等腰直角三角形ABC ∆中， 90=∠C ，点D 为AB 的中点，2=AB ，则___________,==AC CD（第1题） （第2题）2、如图，ABC ∆中，,13,20cm AC cm AB ==D BC AD 于⊥,且cm 12=AD . 求BC 的长及ABC S ∆A B C D AB C D【新授知识】第4课时勾股定理的实际应用【知识概括】1．会用勾股定理来解决一些实际问题，体会数学的应用价值．2．经历“问题——数学建模——问题解决”的过程，培养分析，解决问题的能力．【典型题例】旧知回顾：1．已知直角三角形的两边长为3和4，则第三边的长为．2．如图，△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC的中点，若AD＝6，DE＝5，则CD的长等于．知识模块一直接利用勾股定理解决实际问题【自主探究】阅读教材P12动脑筋，完成下列内容：将一根长24 cm的筷子，置于底面直径为5 cm，高为12 cm的圆柱体水杯中，如图，设筷子露在杯子外面的长为h cm，则h的取值范围是( )A．11≤h≤12 B．11≤h≤24 C．11<h<12 D．0≤h≤12【合作探究】一架长2.5 m的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7 m.(1)此时梯子顶端A距离地面多高？(2)若梯子的顶端沿墙下滑0.4 m，那么梯足B是否也外移了0.4 m?知识模块二利用勾股定理列方程求解【自主探究】阅读教材P12例2，完成下列内容：已知直角三角形的周长为36 cm，斜边上的中线长为7.5 cm，则三边长分别为【合作探究】用一条24 cm长的铁丝弯成一个直角三角形的模型，要使它的一条直角边比另一条直角边短2 cm，应怎样弯？【考题训练】1.如图，是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位：mm）计算两圆孔中心A和B的距离.2、如图，在铁路线CD附近有两个村庄A、B，到铁路的距离分别是15 km和10 km，作AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为C、D，且CD=25 km．现在要在铁路线旁建一个农副产品收购站E，使A、B两村到E站的距离相等，你知道应该把E站建在距点C多少千米的地方吗?C E DBA【新授知识】第5课时勾股定理的逆定理【知识概括】1．探索并掌握直角三角形判别的方法，探索勾股定理逆定理．2．会应用勾股定理的逆定理判别一个三角形是否是直角三角形．【典型题例】旧知回顾：勾股定理：直角三角形两直角a，b的平方和，等于斜边c的平方，即a2＋b2＝c2.你能写出它的逆命题吗？它的逆命题是否正确？下面我们就来研究这个问题．知识模块一探究勾股定理的逆定理【自主探究】阅读教材P14探究，完成下面内容：三角形的三边长a，b，c满足(a＋b)2＝c2＋2ab，则这个三角形是( )A．等边三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．锐角三角形归纳：勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a，b，c满足关系：，那么，这个三角形是．【合作探究】阅读教材P15例3，完成下列内容：1．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是( )A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．2，3，4 D．1，2，32．什么是勾股数？常见的勾股数有哪些？解：如果较小两个数的等于第三个数的，那么这三个数是勾股数，常见的勾股数有；；等．知识模块二勾股定理逆定理的应用【自主探究】阅读教材P15例4，完成下列内容：如图，在△ABC中，已知AB＝25，BD＝7，AD＝24，AC ＝30，求DC的长．【合作探究】1．如图，E，F分别是正方形ABCD中BC和CD边上的点，且AB＝4，CE＝14 BC，F为CD的中点，连接AF，AE，问△AEF是什么三角形？请说明理由．CA BD2．如图所示的一块草地，已知AD ＝4 m ，CD ＝3 m ，AB ＝12 m ，BC ＝13 m ，且∠CDA ＝90°，求这块草地的面积．归纳：判定一个三角形是否是直角三角形的方法通常有：①三角形中若有一个角是直角，那么这个三角形是直角三角形；②有两个角互余的三角形是直角三角形；③若三角形的三边长满足关系：a 2＋b 2＝c 2，则此三角形是直角三角形． 【考题训练】1、判断由线段、、组成的三角形是不是直角三角形：（1） （2）2、如图，已知在△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，AC ＝20，BC ＝15，DB＝9。