浅谈几种特殊方程的求解【摘 要】 利用代换等数学思维将标准一元三次方程转化为缺二次项型的一元三次方程进行求解；巧妙通过代换配方等方法给出倒数方程的解;利用函数的图像及其性质给出超越方程的数值解.【关键词】 一元三次方程；倒数方程；超越方程通过对一元一次方程、一元二次方程的初步学习，我们已经了解到运用方程去解决一些数学问题以及生活问题是非常清晰、简单明了的，那么如何通过已知方程得出方程的解呢？我们如何运用已学的知识方法来给出一些特殊方程的解呢？本文将着重给出三类特殊方程的一些求解方法.一 一元三次方程的特殊解法当方程未知数最高次数高于二次时我们称之为高次方程. 四次和四次以下的一元整式方程都有一般的解法，有各自的求根公式，但是五次和五次以上的一元整式方程就不存在用根号表示根的一般公式，所以，对于一元代数方程的求解，只能局限于一些特殊类型的方程.方程的变换：解一元高次方程除去使用降次这一基本方法以外，有时还需要把方程作适当的变换，使它变为便于求解的形式.常用的变换方法有以下三种：定理1 方程0)(=ky f 的各个根分别等于方程0)(=x f 的各个根的k 倍. 证：设),,3,2,1(n i a i =是n 次方程0)(=x f 的根.因为0)(=i a f ，所以0)()(==i ia f kka f .因此，i ka 是n 次方程0)(=k y f 的根.因为0)(=k y f 只有n 个根，所以，0)(=ky f 的各个根分别是0)(=x f 的各个根的k 倍.定理2 方程0)(=+k y f 的各个根分别等于方程0)(=x f 的各个根减去k .证：设),,3,2,1(n i a i =是n 次方程0)(=x f 的根.因为0)(=i a f ，所以0)(])[(==+-i i a f k k a f .因此，k a i -是n 次方程0)(=+k y f 的根.因为0)(=+k y f 只有n个根，所以0)(=+k y f 的各个根分别等于0)(=x f 的各个根减去k .如果要将多项式n n n n a x a x a x a x f ++++=-- 22110)(化为不含1-n 次项的多项式，那么只要将)(x f 表示为)(1n a x --的幂构成的多项式，即经过代换n au x 1-=，可化为不含1-n 次项的多项式.这是因为n n n n a n a u a n a u a n a u n a u f ++-+-+-=--- 21211111)()()()(，将)(1nau f -表示为)(u g ，则.)(1111 +++-=--n n nu a ua u u g +=n u u g )(，这里的圆点表示关于u 的次数低于1-n 的各项的和.因为)]([)()()(11nax g n a x g u g x f --=+==，所以，这一变换实际上是将多项式)(x f 变换成由)(1na x --的幂构成的多项式. 定理 3 如果方程0)(=x f 没有等于零的根，那么方程0)1(=yf 的各个根分别等于方程0)(=x f 的各个根的倒数.证：设),,2,1(n i a i =是n 次方程0)(=x f 的根，并且0≠i a .因为0)(=i a f 所以0)()11(==i ia f a f .因此i a 1是0)1(=y f 的根.因为n 次方程只有n 个根，所以0)1(=y f 的各个根分别是0)(=x f 的各个根的倒数.一元三次方程的一般形式是)0(023≠=+++a d cx bx ax ，把它的各个根减去ab3-，并且设2233ab ac p -=，332279227a abc bd a q -+=，就可以变换成一个不含有二次项的方程（未知元仍然用x 表示）03=++q px x .所以，研究三次方程的解法，只需要研究这种形式的方程.1 03=++q px x 型的卡当公式设v u x +=，于是uvx v u v u uv v u x 3)(333333++=+++=，即0)(3333=+--v u uvx x ，从而有uv p 3-=，)(33v u q +-=.根据一元多项式根与系数的关系可知33,v u 是二次方程02732=-+p qy y 的两个根，解这个二次方程，得2742323p q q u ++-=，2742323p q q v ---=（1），并且满足3puv -=（2），设1u 是（1）的任意一个解，则u 的另外两个解分别为21312,w u u w u u ==，这里的w 是1的三次单位根.由（2）得与321,,u u u 相应的v 的三个解是w v v w v v u pv 1321211,,3==-=.因此，03=++q px x 三个解的公式是33233211127422742pq q p q q v u x +--+++-=+=,332233222227422742p q q w p q q w v u x +--⋅+++-⋅=+=，332332233327422742p q q w p q q w v u x +--⋅+++-⋅=+=.例1. 解方程0316633=-+x x解： 这里的316,63-==q p ，代入公式得：43727634)316(231627634)316(23163323321=-=+----++-+--=x222 732x w w w w ==-=-+i w w w w x 3523727634)316(231627634)316(2316233233223--=-=+----⋅++-+--⋅= 2 b ax x =+33型韦达天才解法 韦达采取换元思想，巧妙令y yax -=，则原方程化为关于3y 的二次方程0336=-+a by y ，解之求出3y ，再求y 求x .再解例1，令y yx -=21，这里316,21363===b a ，则原方程化为021316336=-+y y .解之1851582214316316323±-=⨯-±-=y =27或-343.得3=y 或7-=y ，则4=x ,求出x 的一个解，其他两个解就不难求出了. 3 双试位法求近似解利用逼近思想，设1x 和2x 在方程0)(=x f 根的两边，并且得接近x 的两个数，则连接（)(,11x f x ）和))(,(22x f x 的弦与x 轴交点给出所求的一个近似值)()()()(2121123x f x f x f x x f x x --=.这种方法局限于只能求出一个解而且是近似解再解例1: 解方程0316633=-+x x 在3与5之间的根.解:1003163633)3(3-=-⨯+=f 1243165635)5(3=-⨯+=f则89.32248721241001243)100(53≈--=--⨯--⨯=x ,这个近似解和上面两种解法得到的结果是一致的.4 不完全三次方程03=++c bx ax 几何求法在直角坐标系中，画出3x y =和0=++c bx ay 就可得其根，这里不作详细介绍.二 倒数方程的求解何谓倒数方程?与首末两端等距的任何两项系数都相等的一元n 次方程，叫做倒数方程或叫反商方程.形如：)0(000122111122212120≠=++++++++++--+---a a x a x a x a x a x a x a x a x a m m m m m m m m m（第一种偶次倒数方程）)0(0001121120≠=+++++++++b b x b x b x b x b x b m m m m m m (第一种奇次倒数方程) )0(00012121220≠=----++++++c c x c x c x c x c x c m m m m m m (第二种偶次倒数方程) )0(0001121120≠=----+++++d d x d x d x d x d x d m m m m m m (第二种奇次倒数方程)其特点是：方程的左边（称为倒数多项式）是与首末两项等距的任何两项的系数都相等（A 型）或互为相反的数（B 型）倒数方程有以下性质：a.倒数方程的根不等于0b.若α是倒数方程的根，那么α1也是这个方程的根c. 第一种偶次倒数方程又称为标准倒数方程，其他各类（第一种奇次, 第二种偶次, 第二种奇次）倒数方程，都可以归结到标准型方程加以求解1 两项型倒数方程的巧解定理4 方程aba x fb x f +=+)()(①与方程a x f =)(和a b x f =)(是同解方程，其中0)(≠x bf 当定理中的1,)(±==b x x f 时，方程①便简化成aa x x 11±=±②，方程②的两边各由两个互为倒数或互为负倒数的式子组成，它的两个解也互为倒数或互为负倒数，因此在形如方程②这类最简单的两项型倒数方程时，不必再作复杂的变形而从头解起，同时也可以省去检验这个步骤.例2 解方程381=-x x 略解：原方程化为3131-=-x x ，由定理知31,321==x x .2 偶次倒数方程的解法第一种偶次倒数方程---标准型倒数方程，其解法为：用mx去除方程两边：0011110=++++++--mm m m m x a x a a x a x a ，然后设y x x =+1，将原方程降为m 次方程求解. 例3 解方程0231632234=++-+x x x x解：0≠x ，方程两边同除以2x 得223223160x x x x +-++=020)1(3)1(22=-+++⇒xx x x 令y x x =+14,2502032212-==⇒=-+⇒y y y y 21,2212121==⇒=+⇒x x x x21,2212121==⇒=+⇒x x x x对于第二种偶次倒数方程，可将方程的左边倒数多项式分解成包含)1(+x ,)1(-x 及标准型倒数多项式的积，然后再按标准型倒数方程的解法加以求解.例4 解方程025*******456=-++--x x x x x解：对方程左边倒数多项式进行因式分解0)25852)(1(2342=+----⇒x x x x x⎪⎩⎪⎨⎧=+---=-⇒)2(025852)1(012342x x x x x ,由(1)得:1,121-==x x (2)两边同时除以2x 得:08)1(5)1(222=-+-+x x xx ,令y x x =+1 23,401252212-==⇒=--⇒y y y y ,即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=+23141x x x x ⎪⎩⎪⎨⎧±-=±=⇒473326,54,3i x x 故原方程的根分别为473,32,1i±-±±. 3 奇次倒数方程的解法第一种奇次倒数方程，可将方程左边的倒数多项式分解成含)1(+x 与标准型倒数多项式的积，然后按标准型倒数方程加以求解.例5 解方程0233223=+--x x x解：将原方程化为0)252)(1(0)1(3)1(223=+-+⇒=+-+x x x x x x01=+⇒x 或2,21,102523212==-=⇒=+-x x x x x . 第二种奇次倒数方程，可将方程左边的倒数多项式分解成含)1(-x 与标准型倒数多项式的积，然后再按标准型倒数方程加以求解例6 解方程0125522345=--+-+x x x x x 解：将原方程化为0)1(5)1(2)1(235=---+-x x x x x0)1323)(1(234=++-+-⇒x x x x x ⎩⎨⎧=++-+=-⇒)4(01323)3(01234x x x x x 由（3）得11=x ，(4)是标准倒数方程，按照前面所给的方法进行求解得32,2315,43,2±-=±-=x ix . 4 其他倒数方程的解法有一类高次方程，从表面上看不像是倒数方程，但通过因式分解、换元及适当整理等同解变形后，可以化为我们所熟悉的倒数方程加以求解.下面举例加以说明.例7 解方程0)1(27)1(42232=--+-x x x x解：从形式上看，它不是倒数方程.但展开得)5(0412326312423456=+--+--x x x x x x3)5(x ÷⇒026)1(3)1(12)1(42233=++-+-+xx x x x x ,令y x x =+1⇒0)52)(2(05015124223=-+⇒=+--y y y y y25,2321==-=⇒y y y ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+⇒25121x x xx ⎪⎩⎪⎨⎧==-=⇒2,2116,54,32,1x x x .三 超越方程的特殊解法所谓超越方程就是等号两边至少有一个含有未知数的初等超越函数式的方程，如指数函数、对数函数、三角函数等.众所周知，这类方程一般是没有统一的求解方法的，解这类方程，对于初学者来说，往往感到无从下手，很是困难.因此，下面介绍函数的某些性质或图像在解这类方程中的妙用. 1 利用函数的有界性在解某些超越方程时，若能够巧妙、合理地应用函数的有界性可使问题简捷获解. 例8 解方程N n x x nn ∈=-,1sin cos 解：对n 分两种情况讨论A 当n 是偶数时，则,0sin ,0cos ≥≥x x n n 将原方程改为,1sin cos +=x x nn 1cos ≤x n,而∴≥+,1sin 1x n要使等号成立，当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧==0sin 1cos x x nn,即⎩⎨⎧=±=0sin 1cos x x ，于是)(z k k x ∈=π是当n 为偶数时原方程的解B 当n 是奇数时，由于01sin cos ≥+=x x n n 与01cos sin ≤-=x x nn1cos 0≤≤⇒x 与0sin 1≤≤-xi 当0sin =x 时,代入原方程得z k k x x ∈=⇒=,21cos πii 当1sin -=x 时，代入原方程得z k k x x ∈-=⇒=,220cos ππiii 当0sin 1<<-x 时，则,1cos 0<<x①若1=n 时有1cos sin cos sin cos 122=+>+=-=x six x x x x x 矛盾，即原方程无解.②若n 是大于等于3的奇数时, nnnn x x x x sin cos sin cos 1+=-=1sin cos 22=+<x x 矛盾，即原方程无解.综上所述，当n 是偶数时，原方程的解是)(z k k x ∈=π， 当n 是奇数时，原方程的解是πk x 21=，z k k x ∈-=,222ππ.2 应用函数的极限应用函数的极值和不等na a a a a a nn n ++≤2121，其中n i a i 2,1,0=>解某些超越方程方法新颖，简洁明快.例9解方程2)10189(log )(cos )cot(2312++-=y y xy xy解：由于2)(2sin 2)cos()cot()(cos )cot(22≥==xy xy xy xy xy ，而∴≥+-=+-,11)1(91018922y y y 01log )10189(log 31231=≤+-y y⇒22)10189(log 231≤++-y y要使等号成立，当且仅当⎩⎨⎧==1)(2sin 1xy y ⎪⎩⎪⎨⎧∈+==⇒πππk k x y ,21 综上所述，原方程的解是⎪⎩⎪⎨⎧∈+==πππk k x y ,21. 3 利用函数的单调性例10 解方程xxx543=+解：显然2=x 是原方程的一个根，下面我们利用函数的单调性来说明原方程只有唯一根2=x 事实上，原方程可以改写为1)54()53(=+x x ，已知)10(<<=a a y x是严格减函数，所以，当2>x 时有1)54()53()54()53(22=+<+x x ；当2<x 时有1)54()53()54()53(22=+>+x x ，这表明任何不等于2的R x ∈都不是原方程的解，故2=x 是原方程的唯一解.一般地，若已知c b a ,,是正实数，且c b c a >>,或c b c a <<,时，方程xx x c b a =+有一个解，且它的解是惟一的.事实上，已知0,0>>>>c b c a 可将原方程改为1)()(=+xxcb ca ，设0x x =是原方程的解，即1)()(00=+x x cbc a ，已知)1(>A A x 是严格增函数，所以.当时有0x x <1)()()(00=+<+x x x x c b c a c b c a ）（，当时有0x x >1)()()(00=+>+x x x x cb c a c b c a ）（，这表明任何不等于0x 的实数x 都不是原方程的解，所以原方程的解是唯一的.同理可证c b c a <<<<0,0的情况从略.4 利用函数的图像利用函数的图像解某些方程直观明了，可起到化繁为简、化难为易的功效 例11 b 是参数，讨论方程b x x x +=-236的解的个数情况.解：该题目若将b 分为各种情况爱讨论方程解的个数，显然麻烦，若借助函数的图像就方便得多.在同一直角坐标系中，作出函数)20(362≤≤-=x x x y 与b x y +=的图像，并注意b x y +=的图像是平行于x y =的一组平行线，且随参数b 的变化而变化，这两个图像交点的个数就是方程解的个数（图1）由图1可以看出：①当02-<≤b 或1b =时方程有一个解 ②当1b 0<≤时方程有两个解 ③当1>b 或2<b 时方程无解5 利用反函数的对称性已知互为反函数的两个函数的图像关于直线x y =对称，利用这一性质可以简化某些方程的解法.例12 在实数范围内，解方程x x x x --=++21222122 解：方程的定义域是221<≤x ，因为函数22122++=x x y 与xx --=212y 互为反函数，所以它们的图像关于直线x y =对称，故两个图像的交点必在直线x y =上，因此方程x x x =++22122的解1=x 就是原方程的一个解.从上面的例子我们可以看到，函数性质及图像对解某些超越方程的确有它的独特作用，倘若能熟练的运用，可以解决一些难以解决的问题.以上是本文作者搜集大量资料，归纳总结出的一些常见的，我们通过中学知识就可以求出的三类特殊方程的常用求解方法，相信通过本文读者不会再对这几类特殊方程束手无策了.另外，通过以后更深层次的学习，解决这类问题的方法也将会越来越多.参考文献[1]余元希.初等代数研究(上册)[M].高等教育出版社,1988. 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