δ 11 X 1 δ 21 X 1
+ δ12 X 2 + δ 22 X 2
+ +
Δ1P Δ 2P
= 0⎫ = 0⎭⎬
（3）求系数和自由项
X1 =1
10
X2 =1
M1
M2
MP
δ11
=δ22
=
2×
1 EI
(1×l 3
×1×1)
=
2l 3EI
δ12
=δ21
=
1 (1×l EI 6
×1×1)
=
l 6EI
Δ1P
=
1 EI1
2.
8. 160 3
.
6
=
5120 EI1
δ= 11
1 EI
1
6.
8.
6+ 6. 6 2
2. 6 3
2 kEI 1
=288k +144 kEI1
X
1
=
−
Δ 1P
δ
11
=
−
320k
9(2k +1)
k= 12
=
−
80 9
kN
M =M1X1+MP
q=20kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓6
160
力法基本思路小结
1
根据结构组成分析，正确判断多于约束个 数——超静定次数。
解除多余约束，转化为静定的基本结构。 多余约束代以多余未知力——基本未知力。
分析基本结构在单位基本未知力和外界因 素作用下的位移，建立位移协调条件——力 法典型方程。
从典型方程解得基本未知力，由叠加原理 获得结构内力。超静定结构分析通过转化为 静定结构获得了解决。
6EI l3 + l
= 10FP 13
6EI 2EA
M1
X1=1
MP
讨论改变链杆截面A 时内力的变 23 化情况:
(1) 当链杆CD 截面面积A 趋于零
FPl 3
X1 =
6EI l3 + l
=0
6EI 2EA
梁的弯矩图将成为 简支梁的弯矩图。
(2) 当链杆CD截面面积A趋于无 24 穷大时
FPl3
q
I l
l
32
δ11X1 + Δ1P = 0
X1 = 1
δ11
=
1 EI
(1 2
l
2
⋅
2 3
l)
I l
M1图 ( 2 分 )
Δ1P = −ql 4 8EI
ql 2
2 X1 = 1
X1 = 1
l
lM1 图 ( 2 分M)1 图
l M1 图MP(ٛ 2图分 )
ElAX(11×1× 4) +
2l [(− EA
2)2 × 2] = l (4 + 4 EA
2)
∑ δ X + Δ = 0 ΔP1P =
N1NPl =
l
11
(1× P × 2) +
21l [(−
1P
2)×(−
2P)]
EA EA
基本E体A系在荷载和多余未
16
= (1+ 2 ) 2Pl EA
知力共同作用下，切口两侧
2
将未知问题转化为 已知问题，通过消除已 知问题和原问题的差别， 使未知问题得以解决。
这是科学研究的 基本方法之一。
6-3 荷载作用下各类超静定结构 3 的计算
例1.用力法求图示刚架，绘弯矩图
基本方程为
δ11 X1 + Δ1P = 0
计算系数及自由项
4
Δ1P = 0
∑ ∫ δ11 =
M
2 1
ds
NP
思考
18
对 图 a 所 示 桁 架 用 力 法 计 算 时，取 图 b 作 为 基 本 体 系 ( 杆 AB 被 去 掉 ),则 其 典 型 方 程 为:
? δ 11 X1
+ Δ1P
= Δ0l AB
=
−
X1 ⋅l EA
PA
B
P
问题：若用拆除上弦
X1
X1
杆的静定结构作为
基本结构，本题应
如何考虑？
(a)
(b)
例5
19
用力法计算图示超静定组合结构的内力。已
知 A = 10I / l 2 ， 按去掉CD杆和切断CD杆两种不同 的基本体系建立典型方程进行计算；并讨论CD杆的 面积趋于零和CD杆的面积趋于无穷大的情况。
基本体系一 切断竖向链杆CD
20
δ11 X1 + Δ1P = 0
∑ ∫ ∑ δ11 =
静定
超静定复合刚架的计算
27
P
X1
X1 = 1
l
P
δ11 X1 + Δ1P = 0
l
M1 图
3
δ 11
=
l3 EI
Δ1P
=
−
Pl3 6EI
,
P
Pl Pl
P X1 = 6
Pl
Pl
P
MP 图
M = M1X1 + MP
X1
=
P 6
28
X1 = 1
P
l l
Pl Pl
Pl
Pl
M1 图
3
P
MP 图
Pl
Pl Pl
MP
基本体系 X1
6
6
M
X1=1
53.33 160
M图(kN.m)
160 M图(kN.m)
53.33
80 ＋
－
8.9
7
－ 80 8.9 Q图(kN) ＋
80 8.9
8.9
80
8.9
－
80
80
－
N图(kN)
－
例3 绘制M图，各跨EI为常数。 8
9
X1
X2
原连续梁受力变形时，在结点B、C 处都是连续 的，分别不发生左、右截面的相对转角，则力法 典型方程为：
在非荷载因素作用下，超静定结构的内力 与EI的绝对值有关。
（4）求出多余未知力
12
解得：
X1
=
−
1 15
ql
2
X
2
=
1 60
ql 2
X1为负号表示其方向与所设方向相反，截面B 应 为上边缘受拉。
（5）绘制最终弯矩图
13
M = M1X1 + M2 X2 + MP
X1 =1
X1
=
− 1 ql2 15
截位X移面1 为沿= 零−X1(。方12++向2的2相)2P对=轴−向P2线
X1=1
1
1 −2 −2 1
P
P
0 − 2P 0 0
1
N1
P
NP
X1
=
−
P 2
X1=1
N = N 1 X1 + NP 17
1
1 −2 −2 1
P
−P 2
2P
1
N1
0
P
P
− 2P 0
0
P − 2P
2
2
2 −P 2
l
P 2
l
P
X1
=1
δ11
=
1 EI
(1 2
l2
⋅
2 3
l)
+
l EA
X1 = 1
M1图 ( 2 分 )
ql 2 2
MPٛ 图
Δ1P = −ql 4 8EI
X1 = 1
ll
M1图 ( 2X分1) = ql 8
l M1图 ( 2 分 )
3ql 2 8
N = ql 8
M 图 (5 分 )
AE=A3→I 2∞l2 l
M1 N1
MP NP
M = M 1X1 + M P N = N1X1 + NP
基本体系二 去掉CD杆，设X1向上 22
Δ
原结构C点竖向位移为 Δ
δ61lE13XI 1X+1Δ−1P6F=EPl−I3 Δ==−−22XXEE11Al
δ 11
=
l3 6EI
Δ1P
=
−
FPl 3 6EI
FPl 3
X1 =
EI
≠0
代入力法方程，得
δ11 X1 = 0, δ11 ≠ 0, X1 = 0
由叠加法作弯矩图
5
M = M P + M1 X 1= M P
由上述解法可知，选择合适的基本体系 是十分重要的。
例2
q=20kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
I1
I2 I2=k I1
I2
6m
8m
δ 11
X
1
+
Δ 1P
=
0
Δ 1P
X1
X1
EA → ∞
基本结构
Ph
MP
X1=1
h
M1
不考虑轴向变形
30
δ11 X1 + Δ1P = 0
δ 11
=
2h3 3 EI
Δ1P
=
2 Ph 3 3 EI
X1
=
−
Δ1P
δ 11
M = M1X1 + Mp
h
例 用力法计算并绘图示结构的M图 31
q I l
M1 图
A = 3I 2l2 l
l
δ11X1 + Δ1P = 0
=
1 EI
(2l 3
× 1 ql2 8