X (1)
1 2 3 4 5 x1
37
二、优化问题的极值条件
1.无约束问题的极值条件 多元函数 f (X ) 在点X(k)取得极小值的条件是：
函数在该点的梯度为0，二阶导数矩阵为正定。即
f ( X (k) ) 0
2
f
(
X
(
k
)
)正
定
多元函数 f (X ) 在点X(k)取得极大值的条件是：
函数在该点的梯度为0，二阶导数矩阵为负定。
解的特点。
31
用图解法求解：
1.
【作业】
2. min f (X ) (x1 2)2 (x2 1)2
s.t. g1(X ) x12 x2 2 0
g2 (X ) x1 x2 1 0
g3 (X ) x1 0
32
§2.2 优化设计的极值条件与数值迭代法
一、梯度的概念
函数在点X(k)的梯度是由函数在该点的各个一 阶偏导数组成的向量，即
个边界点； ➢ 非线性问题的最优解如果是一个边界点，那么它
必定是等值线（面）在函数值下降方向上与可行 域的最后一个交点； ➢ 线性问题的最优解必定是等值线（面）在函数值 下降方向上与可行域的最后一个交点；
30
【本节思考题】
1.优化设计模型的组成要素及其表示方法。 2.什么是可行域？什么是等值线（面）？ 3.通过简单优化问题的图解法分析优化问题最优
60
g3(X ) 0
50
40
30
g2(X ) 0
20
10
g5(X ) 0
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
x1
14
【例3】根据下列约束条件画出可行域。
g1( X ) x)
x12
x2
1
0
g
3
(
X
)
x1
0
可行域在约束边界的哪 一边怎么确定？
70
60
s.t. g1( X ) 9x1 4x2 360 50
g1( X ) 0 g3(X ) 0
g2 ( X ) 3x1 10x2 300 g3( X ) 4x1 5x2 200 g4 ( X ) x1 0 g5 ( X ) x2 0
40
f (X ) 4080
30
g2(X ) 0
4.优化设计的数学模型
一般形式：
求变量：x1, x2 , x3, , xn
n N , xi Rn
极小化(极大化)函数：f (x1, x2 , x3,, xn )
约束条件：gu (x1, x2, x3,, xn ) 0(不等式约束)
hv (x1, x2, x3,, xn ) 0(等式约束)
2
f
(X
(2) )
2 x1 2 x2
4 22
0 2
2
35
梯度的模
f ( X (1) ) 22 22 2 2 f ( X (2) ) 02 22 2
单位梯度向量
S (1)
f ( X (1) ) f ( X (1) )
1 22
2 2
2 / 2
2 / 2
S(2)
f ( X (2) ) f ( X (2) )
9
设有n个设计变量，可用一个向量X表示。写成
x1
X x2 x1, x2 , , xn T
X Rn
xn
设计空间 —— Rn
设计向量—— X 设计变量的个数，n 称为维数
最优设计方案 —— X *
一个设计向量对应着设计空间中的一个点，代表
一种设计方案
10
2.约束条件与可行域
1）约束条件 将对设计方案的要求和限制表示成设计变量
4
一、基本概念
1.什么是优化设计 优化设计（Optimal Design）是将工程设计问
题转化为最优化问题，利用数学规划的方法，借助 于计算机（高速度、高精度和大存储量）的处理， 从满足设计要求的一切可行方案中，按照预定的目 标寻找最优设计的一种设计方法。
5
2.优化设计的产生与发展 优化设计技术产生于20世纪60年代。
例2中目标函数的等值线
f ( X ) 60 x1 120 x2
x2
40
f (X ) 3600
30
f (X ) 2400
20
f (X ) 1200
10
f (X) 0
0
10 20 30 40 50 60
x1
26
2.优化问题的图解法
用图解法例2 。
x 100 2
90
g4(X ) 0
80
min f ( X ) 60x1 120x2
f
(
X
(k)
)
f
(X (k) x1
)
,
f
(X (k) x2
)
,,
f
(X (k) xn
)
T
33
梯度具有如下性质：
1）函数在一点的梯度是一个向量。该向量的方向 （梯度的方向）是从该点出发的所有方向中，函数 值上升最快的方向；负梯度方向是函数值下降最快 的方向； 2）一点的梯度方向与过该点的等值线或等值面的切 线或切面垂直； 3）梯度是函数在一点邻域内局部形态的描述，在某 点上升最快的方向，离开该点后不一定上升最快。
20
10 X * [20，24]T
g5(X ) 0
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
x1
最优解是等值线在函数值下降方向上与可行域的最
后一个交点。
27
【例4】用图解法求解下列优化问题： min f ( X ) x12 x22 4x1 4 g1( X ) x1 x2 2 0 s.t. g2 ( X ) x12 x2 1 0 g3 ( X ) x1 0
本课程中，所有的优化设计问题都是求目标 函数的极小值。遇到求极大值的问题，则先通过 转化变成极小值问题。
与此同时，所有的不等式约束都采用 g(X ) 0 的形式。
21
三、优化设计的分类
按目标函数的多少：单目标优化和多目标优化 按所能求解的维数：一维优化 和多维优化 按约束情况：无约束优化和约束优化 按求优的途径：数学迭代法、解析法、图解法
3
【例2】某工厂生产甲、乙两种产品，生产每种产品 所需的材料、工时、电力和可获得的利润以及能够 提供的材料、工时和电力见表1。试确定两种产品每 天的产量，以使每天可获得的利润最大。
产品 甲 乙
供应量
表1 生产条件与供给数据
材料/kg 工时/h 电力/kw.h
9
3
4
4
10
5
360
300
200
利润/元 60 120
5 x2
g3(X ) 0 4
3
2
g1( X ) 0
1
-2 -1 0
g2(X ) 0
12
x1
15
3）起作用约束
设X为设计空间中的一个点： ➢ 满足所有约束条件的点称为可行点（内点和边界点） ➢ 不满足所有约束条件的点称为非可行点（外点） ➢ X在某个约束边界上，则这个约束条件称为X的起作
用约束 ➢ X不在某个约束边界上，则这个约束条件称为X的不
z
函数为 z f (x, y)，它的 图形是三维空间中的一个
曲面。
用一个 z f (x, y) c 的平 面去切这个平面，得到一
x
o
y
条曲线，称为等高线。
24
将等高线投影到xoy平面，得到的曲线称为目标函 数的等值线，改变常数c为c1、c2,…，可得到由一 系列等值线构成的等值线族。
y
o
x
25
➢ 在约束边界上的点称为边界点
➢ 两个以上约束边界的交点称为角点
等式约束同样把设计空间分成两部分。
12
不等式约束与等式约束的几何意义：
x2
g(X) 0 g(X) 0
x2
h(X ) 0 h(X ) 0
g(X) 0
h(X ) 0
x1
x1
在一个优化设计问题的设计空间中，满足所有 约束条件的点构成的子空间，称为可行域。
19
用“max、min”表示极大、极小化，用“s.t” 表示“满足于”，“m、p”表示不等式约束与等式 约束的个数，则表示如下形式：
min(max) f ( X ) X Rn
s.t.
gu ( X ) 0 (u 1,2,3, , m)
hv ( X ) 0 (v 1,2,3, , p)
20
起作用约束
16
x2
g2(X ) 0
X (3)
g3(X ) 0
设计点X(k)的所有起作用约 束的函数序号下标集合用Ik 表示，即
X (1)
X (2)
g1( X ) 0
g4(X ) 0
x1
起作用约束
Ik {u gu (X (k) ) 0，(u 1,2,, m)}
左 图 中, I1 {1} I2 {1,2}
I3
17
3.目标函数 优化设计的任务是在许多可行的方案中找出
最优的方案，即在设计空间中能最好地满足所追 求的某些特点的目标，将这些目标表达为设计变 量的函数，称为目标函数。目标函数可用来评价 设计方案的好坏，所以又称为评价函数。常表示 为：
f ( X ) f (x1, x2 ,, xn )
18
7
二、优化设计的数学模型
优化设计的问题首先是建立数学模型，即把实际 问题转化为数学模型的形式，一般包括三个方面： ➢ 设计变量与设计空间 ➢ 约束条件 ➢ 目标函数
8
1.设计变量与设计空间
在机械设计中，每一个设计方案都可以用一 组参数来表示，这些参数有几何参数和物理参数。 几何参数如构件的长度、位置角、构件上点的坐 标等；物理参数如质量、转动惯量、力及力矩等。 这些参数中，在优化设计前根据要求预先给定的， 称为设计常量。在优化设计中待选择的参数，也 是变化的量，称为设计变量。