类型 3 直角坐标方程与极坐标方程的互化
[典例 3] (1)把下列直角坐标方程化为极坐标方程． ①2x＋y＋1＝0；②x2＋y2＝4；③x42＋y32＝1；④x2－ y2＝2. (2)把下列极坐标方程化为直角坐标方程． ①ρcos θ－ρsin θ－1＝0；②ρ＝3；③θ＝π4(ρ∈R)； ④ρ＝4cos θ＋2sin θ.
A．ρcos θ＝32 B．ρsin θ＝32 C．ρ＝32cos θ D．ρ＝32sin θ 解析：如图所示，设直线 l 与极
轴交点为 A，则|OA|＝|OP|cos π3＝32，
设直线上动点 M(ρ，θ)， 则|OM|cos θ＝|OA|， 即 ρcos θ＝32. 答案：A
4．把圆 C 的极坐标方程 ρ＝2cos θ 转化为直角坐标 方程为____________，圆心的直角坐标为____________．
又∠OMA＝∠MBx－θ＝34π－θ.
在△MOA
中，根据正弦定理，得sin343π－θ＝sinρ
7π. 12
因为 sin
71π2＝sinπ4＋π3＝
2＋ 4
6 ，
将 sin34π－θ展开，ρ(sin θ＋cos θ)＝323＋32.
故过 A3，π3且和极轴成34π的直线方程为
ρ(sin θ＋cos θ)＝323＋32.
[变式训练] 求下列圆的极坐标方程(其中点的坐标
均为极坐标)．
(1)圆心为点1，－π2，半径为 1； (2)圆心为点(2，π)，半径为 1；
(3)圆心为点2
2，π4，半径为 1.
解：(1)设点 P(ρ，θ)为所求圆上任意一点，根据圆的 性质和三角形的知识可得 ρ＝－2sin θ.
(2)设点 P(ρ，θ)为所求圆上任意一点，当点 P 不在极 轴的反向延长线上时，根据余弦定理可得 12＝ρ2＋22－ 2·ρ·2cos|π－θ|，即 ρ2＋4ρcos θ＋3＝0.
第一讲 坐标系
三、 简单曲线的极坐标方程
[学习目标] 1.会写过极点的直线方程和圆心在极点 的圆的方程(重点)． 2.熟练掌握和运用过极点且圆心在 极轴或在(ρ，θ)处的圆的极坐标方程(重点、难点)． 3. 运用极坐标方程解一些与圆有关的几何问题，进而体会极 坐标方程的方便之处(难点)．
4.深入理解并熟练运用平面上点的极坐标(ρ，θ)，并 理解平面曲线的极坐标方程 ρ＝ρ(θ)的含义(难点)．
则∠xAM＝π4，∠OAM＝34π，∠OMA＝π4－θ. 在△OAM 中，由正弦定理得 |OM| ＝ |OA| ，
sin∠OAM sin∠OMA
即ρ sin
34π＝sinπ41－θ，故
ρsinπ4－θ＝
22，
即
ρsin
π 4cos
θ－cos
π 4sin
θ＝
22，
化简得 ρ(cos θ－sin θ)＝1， 经检验点 A(1，0)的坐标适合上述方程，所以满足条 件的直线的极坐标方程为 ρ(cos θ－sin θ)＝1，其中 0≤θ<π4，ρ≥0 和54π<θ<2π，ρ≥0. 法二 以极点 O 为直角坐标原点，极轴为 x 轴，建 立平面直角坐标系 Oxy.
归纳升华
1．利用公式y＝ρcos
θ， 将直角坐标化为极坐标．
y＝ρsin θ
2．将极坐标化为直角坐标时，应注意极坐标方程的
形式，可以两边同乘 ρ，cos θ，sin θ 等，如 ρ＝co2s θ两边
同乘 cos θ 得 ρcos θ＝2，即 x＝2；
ρ＝2cos θ 两边同乘 ρ 得 ρ2＝2ρcos θ，即 x2＋y2＝2x 等．也可以由 ρ＝ x2＋y2，cos θ＝ρx，sin θ＝ρy直接代入 求得．
且与极轴平行
a(0<θ<π)
4.曲线的直角坐标方程与极坐标方程的互化 当我们把直角坐标系的原点作为极点，极轴与平面 直角坐标系中 x 轴的正半轴重合，且两种坐标系取相同的 单位长度，则有
利用这两个公式我们不仅可以把平面上点的两种坐 标进行相互转化，还可以把曲线的两种方程进行相互转 化．
[思考尝试·夯基]
2．求直线的极坐标方程时，若 ρ≥0，直线的极坐标 方程需转化为两条射线的极坐标方程表示，只有规定了 “负极径”的意义，即允许 ρ∈R 时，直线的极坐标方程 才是唯一的．
[迁移探究] (1)求过 A2，π4且平行于极轴的直线的 极坐标方程；
(2)求过 A3，π3且和极轴成34π的直线的极坐标方程． 解：(1)如图所示，在直线 l 上任意取点 M(ρ，θ)， 因为 A2，π4， 所以|MH|＝2sin π4＝ 2.
[知识提炼·梳理]
1．极坐标方程与平面曲线 在极坐标系中，如果平面曲线 C 上任意一点的极坐 标中至少有一个满足方程 f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程 f(ρ，θ)＝0 的点都在曲线 C 上，那么方程 f(ρ，θ)＝0 叫作 曲线 C 的极坐标方程．
2．圆的极坐标方程(半径为 r)
圆心位置
极坐标方程
解：(1)①把 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ 代入 2x＋y＋1＝0
中，得 2ρcos θ＋ρsin θ＋1＝0，即 ρ(2cos θ＋sin θ)＋1＝ 0.
②把 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ 代入 x2＋y2＝4 中，
得 ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ＝4，化简得 ρ＝2. ③把 x＝ρcos θ，y＝sin θ 代入x42＋y32＝1 中，
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)若点 P 在曲线 C 上，则点 P 的极坐标满足曲线 C 的极坐标方程．( ) (2)tan θ＝1 与 θ＝π4表示同一条曲线．( ) (3)ρ＝3 与 ρ＝－3 表示同一条曲线．( ) (4)极坐标方程 θ＝34π表示的图形是一条射线．( )
原点，
故极点到该直线的距离是
32＝
6 2.
答案：
6 2
类型 1 求圆的极坐标方程(自主研析) [典例 1] 在极坐标平面上，求圆心 A8，π3，半径为 5 的圆的方程． 解：法一 如图所示，在圆上任取一点 P(ρ，θ)，
那么，在△AOP 中，|OA|＝8，|AP|＝5，
∠AOP＝π3－θ 或 θ－π3. 由余弦定理，得 cosπ3－θ＝82＋2×ρ28－ρ 52. 即 ρ2－16ρcosθ－π3＋39＝0. 经检验，点3，π3，13，π3的坐标满足以上方程． 所以，所求圆的方程为：ρ2－16ρcosθ－π3＋39＝0.
在 Rt△OMH 中，|MH|＝|OM|sin θ，即 ρsin θ＝ 2， 所以过 A2，π4且平行于极轴的直线方程为 ρsin θ＝ 2. (2)如下图所示，A3，π3，即|OA|＝3，∠AOB＝π3.由 已知∠MBx＝34π，
所以∠OAB＝34π－π3＝51π2.
所以∠OAM＝π－51π2＝71π2.
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
2．极坐标方程 ρ＝cosπ4－θ表示的曲线是( )
A．双曲线
B．椭圆
C．抛物线
D．圆
解析：极坐标方程 ρ＝cosπ4－θ化为直角坐标方程是
x2＋y2－ 22x－ 22y＝0，表示的曲线是圆．
答案：D
3．在极坐标系中，过点 P3，π3且垂直于极轴的直线 方程为( )
[变式训练] (1)直角坐标方程 y2＝4x 化为极坐标方
程为________________． (2)直角坐标方程 y2＋x2－2x－1＝0 化为极坐标方程
为__________________． (3)极坐标方程 θ＝π3化为直角坐标方程为_________． (4)极坐标方程 ρ2cos 2θ＝4 化为直角坐标方程为
归纳升华 1．求圆的极坐标方程的步骤： ①根据题意画出草图． ②设圆上任意一点的极坐标为 M(ρ，θ)． ③在极点、圆心与点 M 构成的三角形中，运用余弦 定理等列出方程 f(ρ，θ)＝0，并化简．
④验证极点、圆心与 M 三点共线时，点 M(ρ，θ)的 极坐标也适合所得极坐标方程．
2．求圆的极坐标方程也可采用间接法，即先求出相 应的直角坐标方程再化为极坐标方程．
ρ2cos2θ ρ2sin2θ 得 4 ＋ 3 ＝1，即
ρ2(3cos2θ＋4sin2θ)＝12.
④把 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ 代入 x2－y2＝2 中， 得 ρ2cos 2θ＝2. (2)①把 ρcos θ＝x，ρsin θ＝y 代入方程 ρcos θ－ρsin θ －1＝0 中，得 x－y－1＝0. ②把 ρ＝ x2＋y2代入方程 ρ＝3 中，得 x2＋y2＝9.
解析：(1)点 P 的极坐标有无数个，故(1)不正确． (2)tan θ＝1 所表示的是直线 y＝x，不包括坐标原点， θ＝π4所表示的是直线 y＝x，包括坐标原点，故不正确． (3)中的两个极坐标方程都表示圆心在极点，半径为 3 的圆，正确．
(4)θ＝34π 是指由极角为34π，极径为任意实数的点组成 的一条直线，不正确．
图形
圆心在极点(0，0)
ρ＝r (0≤θ<2π)
圆心在点(r，0)
ρ＝2rcos θ －π2≤θ<π2
圆心在点r，π2 圆心在点(r，π)
圆心在点r，32
π
ρ＝2rsin_θ (0≤θ<π) ρ＝－2rcos θ π2≤θ<32π ρ＝－2rsin θ (－π<θ≤0)
3.直线的极坐标方程(ρ∈R)
直线位置 极坐标方程
图形
(1) θ＝α(ρ∈R) 过极点，
或 θ＝π＋α(ρ∈R)； 倾斜角为
(2) θ＝α(ρ≥0)和 θ＝π
α ＋α(ρ≥0)
过点 A(a，0)(a>0)， ρcos θ＝a
且与极轴垂直
－π2<
π θ<2
M(ρ，θ)在 l 上且不
与 A 重合
过点 Ma，π2(a>0)， ρsin θ＝