dt
化简，得
d eAtλ t eAt Bet
dt
两边取积分，并考虑起始条件，有
eAtλ tλ 0
t eA Be( ) d
0
对上式两边左乘 e A，t 并考虑到 eAteAt I ，可得
λ为t方 程eA的tλ 一0般解0t eAt Be d eAtλ 0 eAt B et
求输出方程r(t)
et b1
dk 1 dt k1
et
bk1
d dt
et bket
此系统为k 阶系统，输入信号的最高次导数也为
k 次系统函数为
H
s
b0sk b1sk1 bk1s bk sk a1sk1 ak1s ak
为便于选择状态变量，系统函数表示成
H
s
b0
b1s1
bk
s1k
1
bk sk
d λ t， 输出为 λ t。
dt
若 A,B,C矩, D阵是 的函t数，表明系统是线性时变
的，对于线性时不变系统，A,B,C的, D各元素都为常
数，不随 t改变。
状态变量的特性
每一状态变量的导数是所有状态变量和输 入激励信号的函数；
每一微分方程中只包含有一个状态变量对 时间的导数；
输出信号是状态变量和输入信号的函数；
1 a1s1
ak
s1k
1
ak sk
当用积分器来实现该系统时，其流图如下
et 1
b0
1 s k a1
b1 b2
1 sk1
a2
bk 2
bk 1
3 1 s 2 1 s 1 bk
r t
ak2 ak1
ak
取积分器的输出作为状态变量，如图中所标的
1t,2t, ,k t,
状态方程
12
2 3
(2)对包含有电容的回路列写回路电压方程，其中必然包
括 L d iL t ，对连接有电容的结点列结点电流方程，其
dt
中必然包含 C d vC t ，注意只能将此项放在方程左边。
dt
(3)把方程中非状态变量用状态变量表示。
(4)把状态方程和输出方程用矩阵形式表示。
状态变量的个数 k等于系统的阶数。
e1 t
r1 t
e2 t
. .
i t0
r2 t
.
em t
rr t
m个输入信号
r个输出信号
1t,2t, ,k t 为系统的k个状态变量。
状态方程
d dt
1t
f11t, 2 t,
, k t;e1t, e2 t,
, em t,t
d dt
2 t
f21t, 2 t,
, k t;e1t, e2 t,
三．状态变量分析法优点
(1)提供了系统的内部特性以供研究； (2)一阶微分（或差分）方程组便于计算机进行
数值计算；
(3)便于分析多输入－多输出系统；
(4)容易推广应用于时变系统或非线性系统；
(5)引出了可观测性和可控制性两个重要概念。
四．名词定义
状态：表示动态系统的一组最少变量（被称为状态
变量），只要知道 t t0时这组变量和 t t0时的输 入，那么就能完全确定系统在任何时间 t t0的行为
（二）用流图的串联结构形式列状态方程
§8.2 连续时间系统状态方 程的求解
时域方法……借助计算机
变换域方法……简单
由状态方程求系统函数
一．用拉普拉斯变换法求解状态方程
10
方程
d dt
λ
t
Aλ
t
Bet
rt Cλ t Det
方程两边取拉氏变换
，起始条件 λ
0
2
0
k 0
整理得
sΛsλ 0 AΛs BEs Rs CΛs DEs
d dt
k
t
ak11 t
ak22 t bk1e1t bk
akkk t 2e2 t bkmem
t
r1t c111t c122 t c1kk t d11e1t
d12e2 t d1mem t
r2
t
c211t
d
c222 t c2kk 22e2 t d2mem t
2.主要性质
e Ate At I
e At e At 1
d e At Ae At e At A dt
(二)用时域方法求解状态方程
1. 求状态方程和输出方程
若已知 d λ t Aλ t Bet
(1)
dt
10
并给定起始状态矢量
λ
0
2
0
对式(1)两边左乘 eAt，移项有 k 0
eAt d λ t eAt Aλ t eAt Bet
, em t,t
d dt
k t
fk 1t, 2 t,
, k t;e1t, e2 t,
, em t,t
输出方程
r1t h11t, 2 t, , k t;e1t, e2t, , em t,t r2 t h21t, 2 t, , k t;e1t, e2 t, , em t,t rr t hr 1t, 2 t, , k t;e1t, e2 t, , em t,t
对于较简单的电路，用直观的方法容易列写 状态方程。当电路结构相对复杂时，往往要 借助计算机辅助设计（CAD）技术。
三．由系统的输入-输出方程或流图建立状态方程
假定某一物理系统可用如下微分方程表示
dk dt k
rt a1
dk 1 dt k1
r t
ak 1
d dt
rt akrt
b0
dk dt k
k1 k
k ak1 ak 1 2 a2k1 a1k e t
输出方程
r t bk1 bk 1 2 b2k1 b1k
b0 ak1 ak 1 2 a2k1 a1k e t
bk akb0 1 bk1 ak1b0 2 b2 a2b0 k1 b1 a1b0 k b0et
状态变量：能够表示系统状态的那些变量成为状态
变量。例如上例中的 iL(t), vC (t)。
状态矢量：能够完全描述一个系统行为的k个状态变
量，可以看作矢量 (的t )各个分量的坐标。 称(为t )
状态矢量。
状态空间：状态矢量 (t )所在的空间。
状态轨迹：在状态空间中状态矢量端点随时间变化 而描出的路径称为状态轨迹。
表示成矢量矩阵的形式
状态方程
12
kk 1
0 0 0 ak
1
0
01
00
ak1 ak2
0 1 0
0 2
0
et
1
k
1
0
a1k 1
输出方程
1
2
r t
bk
ak b0
, bk1
ak 1b0
,
, b2
a2b0
, b1
a1b0
k
1
b0et
k
简化成
λt At Bet rt Ct Det
对应A,B,C,D的矩阵分别为
0 1
0
0
01
A
0
0
0
ak ak1 ak2
0 0 00 B 1 0 a11
C bk akb0 ,bk1 ak1b0 , ,b2 a2b0 ,b1 a1b0
D b0
四．将系统函数分解 建立状态方程
将系统函数的分母分解因式，可以对应构成并 联或串联形式的流图结构，即可列出不同形式 的状态方程。 （一）用流图的并联结构形式列状态方程
sI AΛs λ 0 BEs Λs sI A1λ 0 sI A 1BEs
将sI A 1记为Φs，称为特征矩阵或预解矩阵，则
Λs Φsλ 0 ΦsBEs
Rs
CΦs
λ
0
CΦs
B
DE
s
因而时域表示式为
λ
t
L1Φs
λ
0
L1Φs
B
L1E
s
r
t
C L1Φsλ 0
零输入解
CL1Φs
BD t
通常选择动态元件的输出作为状态变量， 在连续系统中是选积分器的输出。
建立给定系统的状态方程的方法分为 直接法和间接法两类：
直接法——主要应用于电路分析、电网络 （如滤波器）的计算机辅助设计；
间接法——常见于控制系统研究。
二．由电路图直接建立状态方程
(1)选取独立的电容上电压和电感中电流为状态变量， 有时也选电容电荷与电感磁链。
k t
d dt
1t
d dt
λ
t
d dt
2
t
d dt
k
t
a11 a12 a1k
A a21 a22
a2k
b11 b12 b1k
c11 c12 c1k
B b21 ba22
b2k
C c21 c22
c2
kLeabharlann ak1 ak 2 akk
bk1 bk 2 bkk
t
d
21e1
t
rr t cr11t cr22 t crkk t dr1e1t
dr2e2 t drmem t
表示为矢量矩阵形式
状态方程 输入方程
d d t
t k1
Akkλ
k1 t
Bkmem1 t
r t r1 Crkλ k1 t Drmem1 t
1 t λ t 2 t
rt Cλ t Det
CeAtλ 0
t eAt Be d Det
0
C eAtλ 0 [CeAtB Dδt]et