第4章 弹性薄板弯曲问题的有限元法薄板弯曲问题在理论上和应用上都具有重要意义,并有专门著作加以论述（如杨耀乾《平板理论》）。

象其它弹性力学问题一样，用微分方程、差分法等经典方法所能求解的薄板问题很有限，一般只能解决等厚、小孔口、支承情况较简单的单跨板。

故工程设计中以往多采用简化、近似、图表等方法来解决板的设计问题。

在板的分析中，常取板的中面为xoy 平面(如图)。

平板结构按其厚度t 与短边a 的比值大小而分为:厚板（Thick plate ）和 薄板（Thin plate)两种。

当1<<at时称为薄板 平板上所承受的荷载通常有两种:1. 面内拉压荷载。

由面内拉压刚度承担, 属平面应力问题。

2. 垂直于板的法向荷载, 弯扭变形为主,具有梁的受力特征, 即常说的弯曲问题。

平板在垂直于板面的荷载作用下产生挠度W 。

当最大挠度w 远小于t 时, 称为小挠度问题(or 刚性板)(stiffness plate) 当最大挠度w 与t 相差不大时,称为大挠度问题(or 柔性板)(flexure plate)(工程定义: 51≤t w 为刚性板；551≤≤t w 为柔性板； 5>tw为绝对柔性板。

) 4.1 基本理论一、基本假定１、略去垂直于中面的法向应力。

（0=z σ），即以中面上沿Z 方向的挠度W 代表板的挠度) ２、变形前垂直中面的任意直线，变形后仍保持为垂直中面的直线。

（─法向假定0=zx τ,0=zy τ）３、板弯曲时，中面不产生应力。

(─中面中性层假定)上述假定常称为薄板小挠度问题假定（or 柯克霍夫假定）。

符合上述假定的平板即为刚性板。

二、基本方法以上述假定为基础，板分析中常用挠度w 作为基本未知量,下面介绍以w 为基本未知量所导出的有关方程。

１、几何方程（应变─挠度关系）①弹性曲面沿x, y 方向的倾角从中面取出一微小矩形ABCD ，如图所示，设其边长为dx, dy ，变形后弯曲成曲面A'B'C'D' 设A 点挠度w , 则沿x 方向倾角(绕y 轴)x wy ∂∂=θ (B ’点绕度dx x w w ∂∂+) 沿y 方向倾角(绕x 轴) y wx ∂∂=θ (D ’点绕度dy yw w ∂∂+) ② 沿x, y 方向位移作平行于xoz 平面,设中面上点A 到A 1的距离为Z ，变形后,A 点有挠度W, 同时发生弯曲，曲面沿x 方向的倾角为xw∂∂, 根据法线假定,则A 1点沿x 方向的位移:x wz u∂∂-= (负号为方向与x 相反)同理取yoz 平面得： y wzv ∂∂-= (4-1-1)③ Z 平面的应变分量和曲、扭率 基本假定，由于0===zy zx zττσ, 故板内任意点的应变与平面问题相同:xv y u yv x u xy y x ∂∂+∂∂=∂∂=∂∂=εεε−−−→−代入将V U .{}⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∂∂∂-∂∂-∂∂-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧y x w z y w z x w z xy y x 222222εεεε＝ (4-1-2)此为Z 平面的应变─挠度度几何方程。

上式中的22x w ∂∂,22y w ∂∂,yx w∂∂∂2为曲面在X,Y 方向的曲、扭率，记为：{}⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∂∂∂-∂∂-∂∂-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=y x w y w x w xy y x 222222χχχχ (4-1-3) 所以, {}{}χεz =２、物理方程（应力─挠度关系）由于忽略σz 对变形的影响, 因此z 平面的应力─应变关系具有与平面问题相同的形式:()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=+-=+-=xy xy x y y y x x E EEγμτμεεμσμεεμσ121122 将(4-1-2)代入得:{}[]{}εμμμμμτσσσ022222222222111D y x wEz x w y w Ez y w x w Ez xy y x =⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂--=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧= 或简写为：{}[]{}x D z 0=σ (4-1-4)式中弹性矩阵:⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=21000101120μμμμE D ３、内力方程（内力─挠度关系）从板内取微元体tdxdy , 由其上正应力x σ,y σ和剪应力xy τ,可在截面上合成合力矩:x M (z y 0面上由x σ产生的绕Y 轴弯矩)y M (z x 0面上由y σ 产生的绕X 轴弯矩)扭矩: xy M （由剪应力产生，如图）假定 xy y x M M M ,,分别表示单位宽度上的内力矩。

如是，内力矩阵：{}{}[]{}[]⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∂∂∂-∂∂-∂∂===⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰--y x w y w x w D t dz D z dz z M M M F t t t t xy y x 2222203222202212χσ 简写成 {}[]{}χ0312D t F = (4-1-5) 比较(4-1-4)和(4-1-5)可得用内力矩表示的平板应力: []{}F z t 312=σ由此可见，平板上、下表面处的应力最大： {}{}F t t z 226±=±=σ以上是薄板弯曲问题中的基本公式,从中可见其挠度W 是弯曲问题中的基本未知函数。

且由于忽略了z 方向的变化,因此它只是x ，y 的函数: w=w(x, y )。

若w 已知，则位移，内力、应力均可按上述相应公式求出。

在经典解析法中，W(x, y)常设为三角级数形式。

例如，四边简支矩形板的W(x, y)设为: (纳维尔解)()∑∑∞=∞==11sin sin,m n mn byn a x m A y x w ππ 式中mn A 为待定系数。

假定荷载 ()∑∑∞=∞==11sin sin ,m n mn b y n a x m q y x q ππ则可得位移函数: ()∑∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=byn a x m b n a m q D y x w mn πππsin sin 1,2222244.2 有限元分析方法一、矩形单元的典型形式将图示矩形薄板沿x,y 方向划分成若干小矩形(常取等分)从中取出一小矩形(单元)，共有四个结点，此时不能象在平面问题中一样，将结点视为“铰”，而是“刚性的”，即每个结点有三个位移分量： 挠度w ,绕x 、y 轴转角()()⎪⎩⎪⎨⎧方向倾角上节为沿轴转角绕方向倾角上节为沿轴转角绕挠度x y y x w y x θθ 即结点i 的位移{}iyi xi i i x w y w w w d ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∂∂-∂∂=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=θθ()4,1 =i 同理,相应的结点力{}）轴力偶（上节中的绕）轴力偶（上节中的绕竖向力x y M y M x ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=yi xi i i M M f F 符号重新定义是为了有限元表示的方便，由此得单元结位移向量{}[][]Ty x y x Te w w d d d 44411141θθθθ ==节点力{}[][]Ty x y x Te M Mf M M f F F F 44411141==二、 位移模式（函数）１、位移模式的选取插值多项式取为：()+++++++++=29283726524321,xy y x x y xy x y x y x wααααααααα312311310xy y x y ααα++ (4-2-1)在上式中,前10项取到了三次项的全部,最后两项则是从五个四次项()432234y xy y x y x x 中选用了两个。

没选22y x是因为它没有多一项与其配对，没选44,y x 它们在边界上结出的挠度函数是四次的，比y x3和3xy 要高一次,较之更难满足边界的协调和条件。

２、位移模式的检验（三个基本要求： 刚体位移，常应变，尽可能的边界协调） ① 前三项含单元的刚体位移状态：第一项1α与坐标x, y 无关, 表示z 方向的挠度是─常量, 刚体移动表示刚体转动第三项第二项⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=∂∂=-=∂∂-=32αθθαθθx x y y y wxw ② 二次项代表均匀变形状态:曲率 4222α-=∂∂xw， 6222α-=∂∂y w ， 522α-=∂∂∂y x w ③ 能保证相邻单元在公共边界上挠度的连续性。

④ 不能保证相邻单元在公共边界上法线转角的连续性。

以单元１～２边界为例，在此边界上b y -==常量，代入位移模式 4-2-1，可知边界上的挠度W 是x 的三次函数，合并整理后可得：34232121x c x c x c c w +++=-两个端点共有4个边界条件,(结点1,2的挠度W1 , W2 ,和转角21 ,y y θθ。

利用他们可唯一确定四个常数C1 ～C4。

因为相邻单元在结点1, 2的W, θy 对应相同，则两个单元依据四个条件得到的C1 ～C4 亦相同，即两单元在边界具有同一挠度函数W 。

⑤ 法线转角仍以1-2边界为例，将y=-b 代入后，此时342321x d x d x d d x +++=θ 但对θx 来讲，1, 2结点只能提供2个已知条件，不能完全确定上式，故边界的法线转角不能保证连续性。

因此，这种单元是非协调元，但可以验证这种非协调远是能通过分片试验的。

（即当单元划分不断缩小时，计算结果仍能收敛于精确解。

）三、形函数和形函数矩阵。

分别将单元结点1, 2, 3, 4的坐标值代入(4-2-1)，并事先求出y w x ∂∂=θ，xwy ∂∂-=θ，便可得到各结点的位移值。

一共可得12个关于i α的方程组，联立求解可得： []{}e d N w =}{ (4-2-2)形函数矩阵: []⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂=x N x N y N yN N N N N N N N y y y x y x ////4141444111式中形函数:()()()2221181ηξηηξξηηξξ--++++=ii i i i N()()()211181ηηηξξη-++-=i i i xi b N ()()()211181ξηηξξξ-++=ii i yi a N (4-2-3)(i=1 2 3 4)在上面的推导中,我们仍然选用了局部坐标(无因次坐标)。

局部坐标与整体坐标的关系为:()01x x a-=ξ()061y y -=ηz =ς四、单元的几何矩阵[B]和内力矩阵[S]1．几何矩阵[B]由前可知{}{}χεz =, 将（4－2－3）代入(4-2-4)得到几何矩阵：[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂-=y x N y x N y N y N x N x N x N x N B y y y y x 442122422122221221221222（4-2-5） 或以子块形式表示： [B]=[B 1 B 2 B 3 B 4]。