公式为正常公式,不是图片版正项级数收敛性判别法的比较及其应用一、引言数学分析作为数学专业的重要基础课程。

级数理论是数学分析的重要组成部分，在实际生活中的运用也较为广泛，如经济问题等。

而正项级数又是级数理论中重要的组成部分，级数的收敛性更是级数理论的核心问题，要想解决正项级数的求和问题必须先解决正项级数收敛性判断。

正项级数收敛性判断的方法虽然较多，但使用起来仍有一定的技巧，根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断，能够最大限度的节约时间，提高效率，特别是一些典型问题，运用典型方法，才能事半功倍。

二、预备知识1、正项级数收敛的充要条件部分和数列{}n S有界，即存在某正数M，对0>n∀，有n S<M。

2、几种不同的判别法2.1 比较判别法设∑∞=1nnu和∑∞=1nnv是两个正项级数，如果存在某正数N，对一切n>N都有nnvu≤，那么（1）若级数∑∞=1nnv收敛，则级数∑∞=1nnu也收敛；（2）若级数∑∞=1nnu发散，则级数∑∞=1nnv也发散；即∑∞=1nnu和∑∞=1nnv同时收敛或同时发散。

比较判别法的极限形式：设∑∞=1nnu和∑∞=1nnv是两个正项级数。

若lvunnn=+∞→lim，则（1）当时，∑∞=1nnu与∑∞=1nnv同时收敛或同时发散；（2）当0=l 且级数∑∞=1n n v 收敛时，∑∞=1n n u 也收敛；（3）当∞→l 且∑∞=1n n v 发散时，∑∞=1n n u 也发散。

2.2 比值判别法设∑∞=1n n u 为正项级数，若从某一项起成立着11<q u u n n≤-，0N ∃，有 （1）若对一切0N n >，成立不等式q u u n n ≤+1，则级数∑∞=1i n u 收敛； （2）若对一切0N n >，成立不等式11≥+n n u u ，则级数∑∞=1i n u 发散。

比值判别法的极限形式： 若∑∞=1n n u 为正项级数，则（1） 当1lim<nnn v u +∞→时，级数∑∞=1i n u 收敛； （2） 当1lim≥+∞→nnn v u 时，级数∑∞=1i n u 发散。

2.3 根式判别法 设∑∞=1n n u 是正项级数，且存在某正整数0N 及正常数M（1） 若对一切0N n >，成立不等式1<M u n n ≤，则级数∑∞=1i n u 收敛；（2） 若对一切0N n >，成立不等式1≥nn u ，则级数∑∞=1i n u 收敛根式判别法的极限形式： 设∑∞=1n n u 是正项级数，且l u nn n =+∞→lim，则（1）当1<l 时，级数∑∞=1n n u 收敛；（2）当1>l 时，级数∑∞=1n n u 发散；（3）当1=l 时，级数的敛散性进一步判断。

2.4 柯西积分判别法对于正项级数∑∞=1n n u ，设{}n u 单调减少的数列，作一个连续的单调减少的正值函数()()0>x x f ，使得当x 等于自然数n 时，其函数恰为n u 。

那么级数∑∞=1n n u 与数列{}n A ，这里()⎰∞=1x f A n ，同为收敛或同为发散。

2.5 拉贝判别法设∑∞=1n n u 是正项级数，且存在自然数0N 及常数r ，（1）若对一切0N n >，成立不等式111>r u u n n n ≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+，则级数∑∞=1i n u 收敛；（2）若对一切0N n >，成立不等式111<⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+n n u u n ，则级数∑∞=1i n u 收敛拉贝判别法的极限形式：设∑∞=1n n u 是正项级数，且极限r u u n n n n =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++∞→11lim 存在，则 （1）当1<r 时，级数∑∞=1n n u 收敛；（2）当1>r 时，级数∑∞=1n n u 发散。

（3）当1≡r 时，拉贝判别法无法判断。

2.6 阿贝尔判别法 如果：()i 级数∑∞=1n n b ；()ii 级数{}n a 单调有界，()⋅⋅⋅=≤,3,2,1n Ka n，则级数∑∞=1n n n b a 收敛。

2.7 狄立克莱判别法 如果：()i 级数∑∞=1n n b 的部分和n B 有界，()⋅⋅⋅=≤,3,2,1n MB n()ii 级数{}n a 单调趋近于零，则级数∑∞=1n n n b a 收敛。

2.8 对数判别法设0>a ，0n n ≥，∑∞=1n n u 为正项级数，若（1）a n n +≥1ln 1ln，0>n ，∑∞=1n n u 收敛 （2）1ln 1ln≥n n ，a nn +≥1ln 1ln收敛2.9 等价判别法设∑∞=1n n u 为正项级数，n n a u ~，∑∞=1n n a 收敛，则∑∞=1n n u 也收敛三、 判别方法的比较1、当级数可化为含参数的一般式、通项为等差或等比值或通项为含二项以上根式的四则运算且通项极限无法求出时，可以选用正项级数的充要条件进行判断。

如：（1）、 ⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n 131211取2100<<ε，n ∀，若令n p ≡0212121212111ε>>=+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++++=-+n n n n n S S n p n所以级数发散（2）、n n n ++-+222 ()()()nn n S n ++-++++-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-=122...342523241223 =1221+-++-n n=12121++++-n nS=21lim -=∞→n n SP 级数只能用正项级数的充要条件进行判断最为简便。

2、当级数表达式型如nu 1，n u 为任意函数、级数一般项如含有θsin 或θcos 等 三角函数的因子可以进行适当的放缩，并与几何级数、P 级数、调和级数进行比较nn n u u 1lim ++∞→、n n n u +∞→lim 不易算出或1lim 1=++∞→n n n u u、等此类无法判断级数收敛性或进行有关级数的证明问题时，应选用比较判别法。

例：（1） ()∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛≤+11111n nna a a>级数收敛[]2 （2） ()∑∞==≤=12ln 2ln ln ln ln 111ln 1n n n n n n e e n 级数收敛 比较判别法使用的范围比较广泛，适用于大部分无法通过其它途径判别其敛散性的正项级数。

3、当级数含有阶n 次幂，型如!a 或n a 或分子、分母含多个因子连乘除时，选 用比值判别法。

当通项含()n1-与n u 的函数可以选用比值判别法的极限形式进行判断，例：（1） ()[]∑∞=-⋅⋅⋅⋅13!1231n n n2112lim lim 1=++=∞→++∞→n n u u n nn n 级数发散 （2） ()()()∑∞=+⋅⋅⋅++12111n nn x x x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+∞→101211lim 1><x x x x u u n n n 所以级数收敛（3）⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅+101067246724241432443lim lim 1<=++=∞→+∞→n n u u n nn n 级数()()∑+⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅241062431074n n 收敛4、当级数含有n 次幂，型如n a 或()nn u 或通项nn u p n ln 1=即分母含有含x ln 的函数，分子为1，或级数含有多个聚点时，可选用根式判别法。

例如：（1）∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+112n nn n2112limlim =+=∞→∞→n n u n n n n 级数收敛一般来说，当选用根式判别法无法判断时，我们也可以选用比值判别法来判断，但有时候我们用根式判别法而不使用比值判别法，因为根式判别法得到的收敛条件比比值判别法更优。

例如：（2）[]41⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n n c b bc b ()c b <<0 根式判别法bc c b n n n n =---∞→1211limbc c b n n n n =∞→2limbc>1，级数发散 bc<1，级数收敛bc=1，原式⋅⋅⋅++++=b b 11 级数发散 比值判别法1lim 1____>c cu u nn n =+∞→ 级数收敛1lim1>b buu nn n =+∞→ 级数发散由例题可知，两种判别法都可以用来判断上题，但根式判别法与比值判别法相比得出的收敛范围更小，约束条件更为详细。

因此，上题选用根式判别法比比值判别法更好。

在使用判别法时，我们可以选用根式判别法找到最佳收敛条件。

同时也存在只能使用根式判别法，使用比值判别法无法判断的情况。

例如： （3）()[]∑---512n()212121limlim 1==-∞→∞→n n n n n n u 级数收敛 不可使用比值判别法()nn n n n u u 12112lim lim -+-∞→+∞→= 无法判断敛散性 因此，当我们观察级数的一般项的极限趋近于0时，我们可以选用比值判别法或根式判别法。

5、当级数表达式型如n u 1，n u 为含有n ln 的表达式或nu 1可以找到原函数，或级数nu 为[]+∞,1上非负单调递减函数，n u 含有x sin 或x cos 等三角函数的因子可以找到原函数，可以选用柯西积分判别法。

例： ∑∞=3ln ln ln 1n n n n ，其中x x x u nln ln ln 1= 因为⎰∞3dx u n 发散，所以级数发散6、当级数同时含有阶层与n 次幂，型如!a 与n a 时，或使用比值、根式判别法时极限等于1或无穷无法判断其敛散性的时候，选用拉贝判别法。

例： ∑∞=1!n n n n n e 211lim 1-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞=n n n u u n 不能用比值判别法11lim -∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛-n n n 无法判断敛散性 不能用根式判别法n n n n n neu !lim =∞= 无法判断敛散性 因此，当根式判别法与比值判别法无法判断敛散性时，我们可以选用拉贝判别法。

7、当通项是由两个部分乘积而成，其中一部分为单调递减且极限趋于0的数列，另一部分为部分和有界的数列，如含有x sin 或x cos 等三角函数()n1-等；或可化为()n1-，如：()()()nn n 1121-=--；也可以型如()∑n u sin ，n u 为任意函数，则可以选用狄立克莱判别法。

阿贝尔判别法也可以看成是狄立克莱判别法的特殊形式。

例： 设∑∞=1n n b 收敛，则级数∑∞=1n nn b ，11+∑∞=n n b n n ，nn n n b ⎪⎭⎫⎝⎛+∑∞=111，n n b n n 213ln 1+∑∞=等都是极限8、当通项可通过泰勒展开式等方法找到其等价式，则可以通过判断其等价式的敛散性来判断原正项级数的敛散性，这需要对泰勒展开式能够较为熟练的使用，以及对各种等价式能够熟练的运用。