面积 • 平均数为 0，标准差为 1
• 标准正态分布是由 z 分数所组成
• 标准正态分布仅有一个
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以标准正态分布表求概率
• 求下列 Z 值到平均数间的概率
▪ +1.00 ▪ -1.00 ▪ -1.65 ▪ +1.96
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率分布受到“自由度”（degree of freedom）的影响
• t 分布通常适用于小样本 （< 120）
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第三节 中央极限定理
• 定理的内容：如果从一个无限大的母体中抽样，样
本数为n ，假定所有样本数为n的样本都被抽出来
第四章 概率分布与中央极限定理
• 第一节 概率、随机变量与概率分布 • 第二节 正态分布与标准正态分布 • 第三节 中央极限定理
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第一节 概率、随机变量与概 率分布
• 概率与概率分布
• 随机变量
• 离散型随机变量 二项分布 卜瓦松分布（泊松分布） 多项分配 卡方分布
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样本•平某班均组数5个的工人分的日布工资
为34、38、42、46、50 元。
• = 42
• 2 = 32
• 现用重置抽样的方法从5 人中随机抽2个构成样本。 共有52=25个样本。如右 图。
样本
34,34 34,38 34,42 34,46 34,50 38,34 38,38 38,42 38,46 38,50 42,34 42,38 42,42 42,46 42,50
• 甲生的成绩要比93.32%学生的成绩来 得高，而乙生的成绩则仅超过15.87% 的学生 。
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• 如果某市女性平均身高为1.5米，标准差0.2米
• p (1.3 < x < 1.5) • p (1.5 < x < 1.8) • p (1.8 < x < 2) • p (1.2 < x < 1.3) • p (x < 1.2) • p (x > 2)
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正态曲线下的概率分布
x 1s.d. 68.3%
x 2s.d. 95.4%
x 3s.d. 99.7%
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标准正态分布
• 标准正态分布的特质
• 钟形曲线，涵盖面积定为100%，对称性，曲线尾端趋近
於于X 轴，以及平均数到k 个标准差的区间有一定比例的
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t 分布 • t 分布与正态分布有许多相像之处：钟形曲线，对称分 布，曲线两边的尾端趋近于 X 轴
• 当样本数够大（大于 120），两者的概率分布几乎完全 相同
• 平均数为 0
• 有许多 t 分布曲线 • 但是 t 分布与正态分布最大的不同点在於于t 分布的概
• 连续型随机变量 正态分布
t 分布
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第二节 正态分布与标准正态分 布
• 正态分布的特质
• 钟形曲线 • 全部面积定为100% • 曲线的分布是对称的
• 曲线两边的尾端趋近于X轴
• 有许多正态分布曲线 • 曲线的位置，形态的高低宽窄由其平均数与标准差来决
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• 求下列Z 值间的概率
▪ -1.65 与 +1.65 ▪ -1.15 与 +0.65 ▪ -1.96 与 +1.96 ▪ +1.15 与 +2.15 ▪ -2.25 与 -3.00
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• 例 1:甲乙两生不同期中考
xA 50 xB 80 S A 6.5 SB 5 甲 60 乙 75
样本平
均数 X
34 36 38 40 42 36 38 40 42 44 38 40 42 44 46
样本
46,34 46,38 46,42 46,46 46,50 50,34 50,38 50,42 50,46 50,50
样本平
均数 X
40 42 44 46 48 42 44 46 48 50
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• 100人参加赛跑。跑完全程的平均时间是42分钟， 标准差是9分钟。
• 有多少人不到30分钟就跑完全程? • 有多少人不到60分钟就跑完全程? • 有多少人是在30分钟到60分钟跑完全程? • 有多少人至少花了60分钟才跑完全程? • 第十名花了多少时间跑完全程? • 最慢的百分之二十至少花了多少时间才跑完全程? • 排名第95百分位的参赛者花了多少时间才跑完全程?
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• 求下列 Z 值到平均数间的概率
▪ +2.00 ▪ +2.52 ▪ -0.33 ▪ +3.12 ▪ -2.96
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• 求下列大于（或小于）Z 值的概率
▪ +1.00 ▪ -1.65 ▪ -0.50 ▪ -1.00 ▪ &中央极限定理1
定
• 从曲线的平均数到 k 个标准差之间，都有一定比例的面
积
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正态分布曲线图
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三个不同的正态分布曲线图
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正态分布曲线面积分布
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• 与各自班上的同学相比，谁考得比较好呢？
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• 甲生:
Z6 050 1.5s4.adb. otv hm eean • 乙生: 6.5
Z7 580 1s.adb. otv hm eeean 5
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• 换言之，
（也就是有K套样本），并计算其平均数，在样本
数够大的情况下，这K个样本平均数会非常接近正
态分布，而且这些样本平均数的平均数会等于母体
平均数，这些样本平均数的标准差（也称为标准
误 ）会等于 。
sx
n
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• 中央极限定理 :
x
sx n
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