L[ y ( x) y ( x)] [ y ( x), y ( x)] max y ( x)
L[ y( x ), y( x )]
是泛函增量的 线性主部
l拉格朗日定义
[ y(x) y(x)] [ y(x)] [ y(x)] L[ y(x),y(x)]
B (x1, y1)
L 随函数y =y(x) 的选取而变，它是一个泛
函。用间接法确定使L最短的函数曲线即泛函有极 值的自变函数曲线为
y =c1x+c2 ,1阶导数2个待定常数
其中常数 c1 、c2可由边界点A、B的坐标（即边 界条件）确定。
图1.1 两点间的最短弧线
x
引例2：求通过两点A (x0, y0)、B (x1,, y1)且长度l 为一定值的函数曲线 y=y(x)，使图中曲边梯形ABCD的面积AS达到最大。
y y1=y1(x) y2=y2(x)
y
y2=y2(x) y1=y1(x)
o ( a)
x
0 ( b)
x
图1.3
曲线的接近度
dy和δy的区别
dy : δy：
是在x不变时，针对两条接近 的函数曲线 的微差 y 。 y 是x 的函数。 y 在边界点一定为零。
o x
是针对一条曲线 y =y(x) ，当△x= dx 时 函数值增量的线 性主部是 dy 。 dy一般不等于零。？
其中常数c1,c2, r 可由条件
2
2
2
o
x C D
y0 , y(x1) y1, 及
x1
x0
1 [ y(x)]2 dx l
来确定。
引例3：由最小势能原理，变形全能随所选取的三个位移函 数ui(i=1,2,3)而变，[u]也是一个泛函。而ui必须满足的体积不 变条件
拉氏定义：微分也等于y(x+ε△x)对ε导数在ε=0时的值。
y ( x x ) y ( x x ) x y ( x x ) 0 y ( x ) x dy ( x )
(1.5)
泛函变分定义
l一般定义： [ y ( x) y ( x)] [ y ( x)]

x1
x0
F ( x, y y , y y ) y F ( x, y y , y y ) y dx u1 u 2 0
x1 [ y y ] ＝0 F ( x, y , y ) y F ( x, y , y ) y dx x 0 y y
1.变分法
1.1 泛函与变分定义
1.1.1 泛函的概念
引例1： 平面两点 A (x0, y0)、B (x1,y1)，求连接A、B两点的最短弧线。 解：设A、B 两点间函数为y=y(x) 则由弧长微分公式
x1
» AB = L =
ò
x2
1+ [ y¢ ( x )]2 dx
(1.1)
y y=y(x) A (x0, y0) dL o
y δy y1=y1(x) y =y ( x )
y
y(x) 和 y1(x)
dy
△x=dx
图 1.4 dy和δy的区别
1.1.3 泛函的变分
微分一般定义 ：△y=y(x+△x)-y(x) ＝A(x)△x + (x,△x)△x
dy dy A( x) x y( x) x, x dx; y x A( x) dx
F F y y dx x0 y y
x1
(1.9)
泛函二阶变分及增量为：

2 x1
x0
2 F 2 F 2 F 2 2 y y ( y ) dx 2 ( y ) 2 2 yy y y
A
s


x1 x0
ydx
（1.2）
AS依y的选取而定，它也是一个泛函，约束条件为AB长度
l
x1
x0
1 [ y ( x)]2 dx const （1.3）
y A(x0 , y0)
y
这是带约束条件的泛函极值由间接 变分法，泛函As的极值曲线为
B(x1,y1)
( x c 2 ) ( y c1 ) r
零阶接近度：对任何x值， y1(x) 和y2(x)的差都很小， δy = y2(x) –y1(x)很小 . ………… n阶接近度：
一阶接近度:不仅纵坐标值很接近. δy = y2(x) – y1(x) δy′= y(x)′–y1(x)′也很小
y 0, y 0, y 0 , y ( n ) 0
L、As、Φ都是依赖于可变化的函数。称其为自变函数，随 自变函数而变的量称为泛函。用符号φ、J 表示，记作 φ[y(x)]或φ(y)等。 • 变分法就是研究求泛函极大值和极小值的方法。
1.1.2 泛函自变函数的变分
• 函数y=y(x) ,自变量为x ，增量 △x, 称dx为自变 量x微分。 • 泛函φ[y(x)],自变函数为y(x)，当△y(x) 变化无 限小时，称为自变函数的变分，表为δy(x) ，δy • δy是指函数y(x) 和跟它相接近的另一函数y1(x) 的微差。
[ y(x),y(x)] maxy(x)
[ y ( x) y ( x)] L[ y ( x), y ( x)] [ y ( x), y ( x)]max y ( x) { [ y ( x), y ( x)]}max y ( x) 0 L[ y ( x), y ( x)]
即证明了拉格朗日的泛函变分的定义：
[ y ( x ) y ( x )]
0
(1.8)
例：简单泛函 [ y]

x1
x0
F ( x, y, y)dx
一阶变分。
x1 [ y y ] F ( x, y y , y y ) dx x0 u1 u2