8 4m2 4 设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ，则 x1 x2 m, x1 x2 ， 5 5 由 64m2 20(4m2 4) 0 得 5 m 5 .
4m2 4 4 2 8 | PQ | 2 m 4 5 m2 . 5 5 5 当 l 过 A 点时， m 1 ，当 l 过 C 点时， m 1 .


4 3
x2 y 2 1． 9 5
9 （2）设点 P( x1 , y1 ) （ 2 x1 3 ） ，点 M ( , y2 ) ， 2 ∵点 F 、P、M 三点共线， x1 2 ， y y 13 y1 9 13 y1 )． ∴ 1 2 ， y2 ，∴点 M ( , 13 2( x1 2) 2 2( x1 2) x1 2 2 13 y12 y 13 y1 y 13 y1 ∵ k1 1 ， k2 ∴ k1 k2 = 1 = ． x1 3 3( x1 2) x1 3 3( x1 2) 3( x1 2)( x1 3)


APCB 面积的最大值为
62 ，求椭圆的方程. 3
y
y P
M
A P C
F
O
A
x
O
F
x
B
3 x2 y 2 相关题：如图，椭圆 M : 2 2 1(a b 0) 的离心率为 ，直线 x a 和 y b 所围成的矩形 ABCD 的面 2 a b 积为 8. (Ⅰ)求椭圆 M 的标准方程； (Ⅱ) 设直线 l : y x m( m R ) 与椭圆 M 有两个不同的交点 P , Q , l 与矩形 ABCD 有两个不同的交点 S , T .求 | PQ | 的最大值及取得最大值时 m 的值. | ST |
2
到，此时 P 的横坐标是 a ． 综上所述，若 a ≤ 2c ，当 | PM | 取得最小值时，点 P 的横坐标是 若 a 2c ，当 | PM | 取得最小值时，点 P 的横坐标是 a 或 c
a 2 (a c) ； 2c 2
∴
x y 1， 9 5
2 1
2 1
5 ∴ y12 ( x12 9) ． 9
设点 P( x, y) ： x2 2 y 2 2b2 ，点 P 到直线 AC 距离为 d
x 2 y 2b 5

x 2 y 2b 5
5 13 ( )( x12 9) 65 x 3 65 1 9 )． ∴ k1 k2 = = 1 = (1 27 x1 2 27 x1 2 3( x1 2)( x1 3)
2
2
①当 5 m 1 时，有 S (m 1, 1), T (2,2 m),| ST | 2(3 m) ，
| PQ | 4 5 m2 4 4 6 2 1 ， 2 | ST | 5 (3 m) 5 t t
| PQ | 1 3 4 5 2 其中 t m 3 ，由此知当 ，即 t , m ( 5, 1) 时， 取得最大值 5. | ST | t 4 3 3 5 | PQ | 5 2 ②由对称性，可知若 1 m 5 ，则当 m 时， 取得最大值 5. | ST | 3 5 | PQ | 2 5 m2 ， ③当 1 m 1 时， | ST | 2 2 ， | ST | 5 | PQ | 2 由此知，当 m 0 时， 取得最大值 5. | ST | 5 | PQ | 5 2 综上可知，当 m 和 0 时， 取得最大值 5. | ST | 3 5 例 2. （1）设点 F (c, 0) ， B(0, b) ， C ( x, y)
（2）设 P 是“果圆”的半椭圆
y
B2
A1
.F . . O M .F F
2 1
0
A2
x
B1
1
江苏省前黄高级中学 2013 届高三数学
椭圆中的最值和范围问题
例 1. 解： （1）
由 BF 3FC ，得： c, b 3 x c, y 解得： C ( c, b ) 代入椭圆方程得：
“果圆” 与 x ， y 轴的交点， M 是线段 A1 A2 的中点． （1） 若 △F0 F1 F2 是边长为 1 的等边三角形，求该“果圆”的方程；
y2 x2 1 ( x ≤ 0) 上任意一点．求证：当 PM 取得最小值时， P 在 b2 c2 点 B1，B2 或 A1 处； （3）若 P 是“果圆”上任意一点，求 PM 取得最小值时点 P 的横坐标．
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椭圆中的最值和范围问题
x2 y 2 1 （ a b 0 ）的左焦点为 F ，右顶点为 A，动点 a 2 b2 2 M 为右准线上一点（异于右准线与 x 轴的交点） ，设线段 FM 交椭圆 C 于点 P，已知椭圆 C 的离心率为 ， 3 9 点 M 的横坐标为 ． 2 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）设直线 PA 的斜率为 k1 ，直线 MA 的斜率为 k 2 ，求 k1 k2 的取值范围．
2
4 4 相关题： 解： （1） “果圆”方程为 x2 y 2 1 ( x ≥ 0) ， y 2 x2 1 ( x ≤ 0) ． 7 3
y （2）设 P ( x， ) ，则 | PM | 2 x

ac b2 2 y 1 2 c 2
2
2 ( a c )2 b2， c ≤ x ≤ 0 ， x ( a c )x 4
例 1.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C：
例 2. 如图，在平面直角坐标系 xoy 中，椭圆
x2 y 2 1 a b 0 的右焦点为 F ，上下顶点分别为 A, B ， a 2 b2
直线 BF 交椭圆于 C 点,且 BF 3FC .(1)求椭圆的离心率； （2）若 P 点是椭圆上弧 AC 上动点，四边形
x2 y2 y2 x2 相关题：我们把由半椭圆 2 2 1 ( x ≥ 0 ) 与半椭圆 2 2 1 ( x ≤ 0 ) 合成的曲线称作“果圆” ，其 a b b c 2 2 2 中 a b c ， a 0 ， b c 0 ． 如图，设点 F0 ， F1 ， F2 是相应椭圆的焦点， A1 ， A2 和 B1 ， B2 是
2
c2 a 2 (a c) (a c) 2 a 2 (a c) 2 ac 2 b2 即可． | PM | x ． y 2 x 4 a 2c 2 4c 2 2 a 2 (a c) a 2 ( a c) 2 当x 时取到， ≤ a ，即 a ≤ 2c 时， | PM | 的最小值在 x 2c2 2c 2 a 2 (a c) 此时 P 的横坐标是 ． 2c 2 a 2 (a c) a ，即 a 2c 时，由于 | PM | 2 在 x a 时是递减的， | PM | 2 的最小值在 x a 时取 当x 2 2c
1 3
16c 2 1 1 9a 2 9
4 3 1 3
所以： e
c 2 2 2 ， a 2c ， b c a 2
（2）由（1）椭圆方程可写为，点 C ( b, b) 直线 AC： x 2 y 2b 0 ， S ABC
4 2 2 5 b ， AC b 3 3
∵点 P 在椭圆 C 上，
6 2 2 6 2 2 ， b 1 ，椭圆方程为： x 2 2 y 2 2 b 3 3
∴ k1 k2 的取值范围是 (, 相关题：(I)
x2 y2 1 . 4 x 2 4 y 2 4, (II) 5 x 2 8mx 4m2 4 0 ， y x xy x 2 4 y 2 2( x 2 y 2 ) 3( x 2 2 y 2 ) 6b 2 ，所以 dmax
6 2 b 5
∵ 2 x1 3 ，∴ k1 k 2
26 ． 9
26 )． 9
所以 Smax
1
b2 0 ， | PM | 2 的最小值只能在 x 0 或 x c 处取到． 2 c 即当 PM 取得最小值时， P 在点 B1，B2 或 A1 处．
（ 3 ） | A1 M || MA2 | ， 且 B1 和 B2 同 时 位 于 “ 果 圆 ” 的 半 椭 圆
x2 y 2 1 ( x ≥ 0) 和 半 椭 圆 a 2 b2 y 2 x2 x2 y 2 2 1 ( x ≤ 0) 上，所以，由（2）知，只需研究 P 位于“果圆”的半椭圆 2 2 1( x ≥ 0) 上的情形 b2 c a b