A $0.0025002 B $489
请问你有何结论？
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• 绝对风险厌恶： 确定性等价：一个参与者与一个公平博弈所
要求的风险溢价 ，定义为：
E[u(w g)] u(w )
在小风险博弈下泰勒展开得到
绝对风险厌恶：
A(w) u(w) u(w)
• 相对风险厌恶：考虑如下以总财富为基数 的博弈和风险溢价：
• 定理：如果凸的连续偏好表示为上述的期 望效用函数，那么相应的效用函数u(.)是凹 的
风险厌恶的定义
• 基于公平博弈的定义： 定义：记 g为一个不确定的支付。如果E[g] 0
，则称 g 为一个公平博弈。
风险厌恶：称效用函数u(.) 的参与者是（严 格）风险厌恶的，如果
E[u(w g)] E[u(w)], E[g] 0
风险厌恶
熊和平 2012年秋季
一、风险厌恶的定义
• 风险厌恶有多种定义方法，这里利用效用 函数定义——给定财富水平和效用函数， 定义风险厌恶。如下述定义：
• 定义：如果投资者不喜欢任何零均值（即 公平博弈）彩票，则称其为风险厌恶者。
• 效用函数的凸凹性与风险态度紧密相连
定义:凹性
• A function f:R→R is concave iff:
More risk aversion
Eu1 (w0 X ) Eu2 (w0 X ) dfn
Eu2 (w0 X ) Jensen
u2 (w0 )
u2 ind .
u1 (w0 )
dfn
主要结论
• 定理：下面的命题是等价的： 1、w, A1(w) A2 (w)
2、u1(u21(z)) 是凹的；
decision under risk. Econometrica 47: 263-291
谢谢观看！ 2020
定理：当且仅当 u(.) 是（严格）凹函数时， 参与者是（严格）风险厌恶的。
An agent is risk-averse if he dislikes all zero- mean risk at all wealth levels (Gollier 2001)
zero- mean risk=fair gamble
• This is true if and only if A(w0) is decreasing in w0.
• DARA is equivalent to:
u '''(z) u ''(z) for all z. u ''(z) u '(z)
其他概念
• 绝对风险厌恶递增（IARA）
A(w) 0 • 相对风险厌恶递减(DRRA)
3、f (.), f (.) 0, f (.) 0 使得 u1(w) f [u2 (w)]
4、 1 2 对所有的w和公平博弈成立
递减的绝对风险厌恶【Decreasing absolute risk aversion (DARA)】
• It is widely accepted that is a decreasing function of w0.
x, y,p [0,1]: pf (x) (1 p) f ( y) f ( px (1 p) y), or equivalently, iff Ef ( X ) f (EX ), with X (x, p; y,1 p).
• 风险厌恶与凸凹性有关，如果效用函数为 凹的则风险厌恶；反之凸效用函数为风险 喜好；直线为风险中性。
• Chris Starmer.2000. Developments in non-expected utility theory: the hunt for descriptive theory of choice under risk. Journal of Economic
Literature :332-382 • Kahneman，D and Tversky. 1979. Prospect theory: an analysis of
• 例子：
100元 （概率为3/4）
L
-40元 （概率为1/4）
E(L)=100×3/4+(-40) ×1/4=65元
选L而不是65元
E(u(L))>u(E(L))
选65而不是L
E(u(L))<u(E(L))
对两者的态度相同 E(u(L))=u(E(L))
二、风险厌恶的度量
• 通常我们假设所有经济人为风险厌恶者， 接下来我们希望知道如何量化风险厌恶， 从而能够比较不同参与者或同一参与者在 不同情况时的风险厌恶程度。
＝E(W ) W
风险溢价（risk premium)
具体地：
E[u ( w0＋z )]＝u[w0＋Ce ]
C e C e (w0,u, z）
(w0,u, z）
Arrow-Pratt度量：
E[u(W )]＝u[E（W）- ]
u(W )＝u[E(W )] u[E(W )](W E(W ))＋ 0.5u[E(W )](W E(W ))2＋h.o.t
函数：
u(W ) （ W )1
T (W ) W
ARA(W ) W
0
CRRA
CARA
度量你的风险厌恶程度
• 假定你当前财富为100，面临50%-50%机 会获得或失去财富的 a%.
• 你愿意支付多少来消除该风险?
u[100(1 )] 0.5u[100(1a)] 0.5u[100(1a)]
• 假定 CRRA + estimate from above eq.
•
[100(1 )]1 [100(1 a )]1 [100(1 a )]1
1
2(1 )
2(1 )
Estimation of relative RA
RRA a=10% a=30% =0.5 =0.3% =2.3% =1 =0.5% =4.6% =4 =2.0% =16.0% =10 =4.4% =24.4% =40 =8.4% =28.7%
典型的效用函数(动态)
• 最简单情形：跨时可加
E0[u(C)] E0[ etu(Ct )]或 E0[u(C)] E0[ etu(Ct )dt]
• 跨时依赖： t0
0
habit formation(见Chan&Kogan，2002）
E0[
T et
0
1
1
(Ct )1 dt] Xt
spirit of of capitalism (Bakshi&Chen1996）
A(w) a, R(w) aw
• 平方效用函数：u(w) w 1 aw2
2
A(w) a , R(w) aw
1 aw
1 aw
• 幂指数效用函数：
u(w) 1 w1
1
A(w) , R(w)
w
三、风险厌恶的比较
风险厌恶的比较：
• 定义：称u1 比 u2 更加厌恶风险若在任何财富水平
• They all belong to the HARA family:
u(z)
z
1
A( z )
z
1
➢二次效用函数：
u(W ) aW bW 2
➢CARA或指数效用函数：
u(W ) eaW / a
➢CRRA效用函数：
u(W )
[W 1
1] /(1 )
1
lnW
1
➢HARA（hyperbolic absolute risk aversion) 效用
Tu＝-
1 ARAu
两种方法的比较：
例子（Copeland）：
某人具有对数效用函数，初始财富为$20,000 面临两种风险决策：
（1）
50%
$10
A
50%-$10Fra bibliotek(2) B
80% 20%
-$1,000 -$10,000
Arrow-Pratt度量
A $0.0025 B $324
Markowtz 度量
• 基于效用函数的定义：
• 风险态度的定义：
➢若对于风险投资L投资者满足：
E[u(L)] u[E(L)] E[u(L)] u[E(L)]
风险厌恶 风险偏爱
E[u(L)] u[E(L)]
风险中性
Risk aversion
• An agent is risk-averse if and only if his
下前者不喜欢（dislikes）所有后者觉得无差异的 彩票:
for any X,w0: Eu2(w0+X)=u2(w0) Eu1(w0+X)≤ u1(w0).
NSC:
concave: u1(w) (u2 (w)) w.
Or : u ''1(w) u ''2 (w) w. u '1(w) u '2 (w)
E0[
T et Ct1 (Wt
0
1 2 Vt
)b dt]
• 递归效用 [Epstein 和Zin（1989、1991）]
(1 )Ut {(1 et [Ct St ] (t)
1
et [Et (1 )Utt ]1 }
参考文献：
• Machina ,M.1987. Choice under uncertainty: problems solved and unsolved. Journal of Economic Perspectives 1: 281-296
u[E（W）- ]＝u[E(W )]－u[E(W )]＋h.o.t
＝-
1 2
u(W u(W
) )
2 W