必修1复习专题函数之二(值域)吴川三中文科数学出版一 相关概念 1、值域：函数A x x f y ∈=，)(，我们把函数值的集合}/)({A x x f ∈称为函数的值域。
2、最值：求函数最值常用方法和函数值域的方法基本相同。
事实上，如果在函数的值域中存在一个最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值。
因此，求函数的最值和值域，其实质是相同的，只是提问不同而已。
二 确定函数值域的原则1、当函数)(x f y =用表格给出时，函数的值域指表格中实数y 的集合；2、数)(x f y=的图像给出时，函数的值域是指图像在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合；3、数)(x f y =用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定；4、由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义决定。
三 基本函数的值域1、一次函数）（0≠+=a b kx y 的值域为R ；2、二次函数）（02≠++=a c bx ax y ；]44(0);44[022a b ac ，，a ，a b ac ，a --∞<∞+->值域是时值域是时 3、反比例函数)0(≠=k xk y 的值域为}0/{≠y y ；4、数函数)10(≠>=a a a y x且的值域为}0/{>y y ；5、对数函数)10(log ≠>=a a x y a 且的值域为R 。
6，函数y=sinx 、y=cosx 的值域是 ][1,1-四 求函数值域的方法1、观察法： “直线类，反比例函数类”用此方法；2、配方法.：“二次函数”用配方法求值域； 例1. ]53(232，求函数-∈+-=x x x y 的值域；解：1223)61(32322+-+-=x x x y ＝求函数画出图像（图略）从图可知, .721223)615(35;1223612maxmin=+-====，y x ，y x 时时所以此函数的值域为]721223[，. 例2. 求562---=x x y 函数 的值域；解：设;0562≥---=μμ，则x x ;44)3(5622≤++-=---=x x x μ.400≤≤∴≥μμ，又].2,0[],2,0[值域为∴∈μ３、换元法： 形如常用换元法求值域的函数且为常数、、、)0(≠+±+=a ，d c b a d cx b ax y ；例3. 求函数x x y -+=142的值域解：设2101t x x t -=≥-=则,44)1(224222≤+--=++-=∴t t t y , (]4,∞-∴值域为.4、判别式法：形如域的函数用判别式法求值不同时为零，)(2122221121a a c x b x a c x b x a y ++++=； 例4 求函数xx y 1+=的值域； 解：011122=+-⇒+=+=yx x xx x x y 要上面的方程有实数根，04114)(22≥-=⨯⨯--=∆y y求出12-≤≥y y 或,所以函数的值域为).,2[]2,(∞+--∞Y５、反函数法：直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
形如)0(≠++=a b ax d cx y 的函数用反函数法求值域；例 求函数y=6543++x x 值域。
６、分离常数法：形如)0(≠++=a bax dcx y 的函数也可用此法求值域； 例5求函数213-+=x x y 的值域；解：方法一：（反函数法）求出函数213-+=x x y 的反函数为312-+=x x y ，其定义域为}3/{≠∈x R x x 且，所以原函数的值域为}3/{≠∈y R y y 且 方法二：（分离常数法）,27327)2(3213-+=-+-=-+=x x x x x y Θ .3273,027≠-+∴≠-x x Θ}.3/{213≠∈-+=∴y R y y x x y 且的值域为 ７、函数有界性法 (通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容)直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。
我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。
例 求函数y=11+-x xe e ，2sin 11sin y θθ-=+，的值域８、数形结合法。
例6求函数的值域|4||1|++-=x x y （方法一可用到图象法） 方法二：（单调性）为减函数时32,4--=-≤x y x ;53)4(2=--⨯-≥∴y 为增函数时当32,1+=≥x y x ;5312=+⨯≥∴y ;514=<<-，y x 时当所以此函数的值域为[)∞+，5注：不论采用什么方法求函数的值域均应先考虑其定义域。
一．回顾与应用1．若函数y =f (x )的值域是[-2，3]，则函数y =∣f (x )∣的值域是 （ ）A ．[-2，3]B ．[2，3]C ．[0，2]D ．[0，3] 2．函数y=log 0.3(x 2+4x+5)的值域是 . 3．函数844)(2++-=x x x f 的值域为 ．4．定义域为R 的函数y = f (x )的值域为[a ，b ]，则f (x +a )的值域为 （ ） A ．[2a ，a +b ] B ．[0，b -a ] C ．[a ，b ] D ．[-a ，a +b ] 5．若函数f(x)=x 21log 2的值域是[-1，1]，则函数f –1(x)的值域是（ ）A ]2,22[B [-1,1]C ]2,21[ D ),2[]22,(+∞⋃-∞ 6．函数y =x +2x -1的值域是 （ ） A ．{y |y ≥12} B ．{y |y ≤12} C ．{y |y ≥0} D ．{y |y ≤0}二．题型举例1．求下列函数的值域：（1）122+--=x x xx y （2）x x y 21--=2．已知x 1、x 2是方程x 2-(k-2)x+k 2+3k+5=0(k ∈R)的两个实根，求x 12+x 22的最大值。
3．已知函数862++-=m mx mx y 的定义域为R.(1) 求实数m 的取值范围。
（2）当m 变化时，若y 的最小值为f(m)，求f(m)的值域。
三．课后练习 1．函数523+-=x x y 的值域是 ；．函数523+-=x xy )0(≥x 的值域是 。
2．函数y=-x(x+2)(x ≥0)的反函数的定义域是 。
3．若函数)2(log 221k kx x y +-=的值域为R ，则k 的取值范围是（ ）A 0<k<1B 0≤k<1C k ≤0或k ≥1D k=0或k ≥14．若函数y=x 2-3x-4的定义域为[0,m]，值域为]4,425[--，则m 的取值范围是（ ） A ]4,0( B ]4,23[ C ]3,23[ D ),23(+∞5．求下列函数的值域：（1） 11+-=xxe e y （2）x x y --=246．若函数23212+-=x x y 的定义域和值域都是[1,b](b>1)，求b 的值。
7．已知函数f(x)=1-2a x -a 2x (a>1)。
（1）求f(x)的值域。
（2）若x ∈[-2,1]时，函数的最小值为-7，求a 及f(x)的最大值。
答案参考 1．D 2.]0,(-∞ 3. [0，3 ] 4. C 5. A 提示：反函数的值域是原函数的定义域；令1log 2121≤≤-x ，求x 。
6．A二．1．求下列函数的值域：解：（1）43)21(112+--=x y ，而 4343)21(2≥+-x ，所以3443)21(102≤+-<x143)21(11312<+--≤-x ； 所以函数的值域是)1,31[-（2）1]1212)21[(212121)21(21++-+--=+----=x x x x y=211211)121(212=+-≤++--x ，所以函数的值域是]21,(-∞。
2． 解：令 ∆=（k-2）2-4(k 2+3k+5)= -3k 2-16k-16≥0，得 344-≤≤-k 。
x 12+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2=(k-2)2-2(k 2+3x+5)= -k 2-10k-6= -(k+5)2+19因为 344-≤≤-k ，所以 9121)5(12≤+≤k ；-(k+5)2+19≤19-1=18。
故x 12+x 22的最大值是18。
3． 解：（1） m=0满足条件。
当m ≠0时，令 ⎩⎨⎧≤+->0)8(43602m m m m 解得 0<m ≤1，所以m 的取值范围是[0，1]。
（2）m x m m x x m y 88)3(88)96(22-+-=-++-=所以 f(m)=)10(88≤≤-m m ； 22)(0≤≤m f 。
故f(m)的值域为[0，22]。
三．课后练习1. }21,|{-≠∈y R y y ]53,21(- 2. ]0,(-∞ 3. C 4．C 解：f(0)= -4，f(23)=425-，f(3)=f(0)，所以 m ]3,23[∈5. 解：（1）2120,121<+<+-=x x e e y ；所以-1<y<1。
即函数的值域是（-1，1）法二：y(e x +1)=e x -1， e x (y-1)= -y-1；yy e x-+=11，又e x >0；从而解得。
（2）2)22(6224)2(2≤+--=+----=x x x y ；函数的值域是]2,(-∞。
法二：xy -+=221'〉0，所以函数y 是]2,(-∞上的增函数，当x=2时，y 有最大值2，从而得结论。
6．解：1)1(212+-=x y ，y 在[1，b]上为增函数，f(1)=1，f(b)=b ； 所以 b b =+-1)1(212；解得：b=1(舍去)、b=3。
所以 b=37．解：（1）f(x)= -(a x +1)2+2<1；所以f(x)的值域是)1,(-∞。
（2）f /(x)<0，所以f(x)为R 上的减函数，所以 f(1)= -7；即 -（a+1）2+2= -7；a=2. f(-2)= -(2 –2+1)2+2=167 。
所以a=2，f(x)的最大值是167。
必修1复习专题之函数(定义域 解析式 分段函数) ----------答案【你会做哪些】1．π+1 2．D 3． - 4 4． B 5．D 6．B 7. 解析：本题路程S 与时间t的关系有3种情况，应分3个时间段处理．答案：.5.105.65.6550)5.6(6526026052,,,,,≤≤≤<≤=<⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+t t t t t S8. 18 4或－6 9. 3=a10. V ＝2)2(x a x －｛x ｜0＜x ＜a /2｝【训练反馈】 1．B 2．A 3．C 4．D 5．B 6．D 7． {x |-1≤x ＜8} 8．（0，5] 9． y =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-≤+-≤+-≤≤.43,4,32,106,21,22,10,22x x x x x x x x x x πππ 10．提示：若k =0，则函数的定义域为R ；若k ≠0，则对任意x ∈R ，kx 2+4kx +3≠0，从而，△＜0，解得0＜k ＜34．从而所求k 的取值范围为{k |0≤k ＜34}． 12．（1）f (1) =0，f (4)=2；（2）增函数；（3）3＜x ≤4． 补充专题1----如何求复合函数的定义域？[]如：函数的定义域是，，，则函数的定f x a b b a F(x f x f x ())()()>->=+-0义域是_____________。