博弈论经典案例“囚徒困境”以及其拓展05-06-13 10:57 发表于：《没有范的世界》分类：未分类博弈论（game theory）对人的基本假定是：人是理性的（rational，或者说自私的）,理性的人是指他在具体策略选择时的目的是使自己的利益最大化，博弈论研究的是理性的人之间如何进行策略选择的。

“囚徒困境”“囚徒困境”是博弈论里最经典的例子之一。

讲的是两个嫌疑犯（Ａ和Ｂ）作案后被警察抓住，隔离审讯；警方的政策是"坦白从宽，抗拒从严"，如果两人都坦白则各判８年；如果一人坦白另一人不坦白，坦白的放出去，不坦白的判１０年；如果都不坦白则因证据不足各判１年。

在这个例子里，博弈的参加者就是两个嫌疑犯Ａ和Ｂ，他们每个人都有两个策略即坦白和不坦白，判刑的年数就是他们的支付。

可能出现的四种情况：Ａ和Ｂ均坦白或均不坦白、Ａ坦白Ｂ不坦白或者Ｂ坦白Ａ不坦白，是博弈的结果。

Ａ和Ｂ均坦白是这个博弈的纳什均衡。

这是因为，假定Ａ选择坦白的话，Ｂ最好是选择坦白，因为Ｂ坦白判８年而抵赖却要判十年；假定Ａ选择抵赖的话，Ｂ最好还是选择坦白，因为Ｂ坦白判不被判刑而抵赖确要被判刑１年。

即是说，不管Ａ坦白或抵赖，Ｂ的最佳选择都是坦白。

反过来，同样地，不管Ｂ是坦白还是抵赖，Ａ的最佳选择也是坦白。

结果，两个人都选择了坦白，各判刑８年。

在（坦白、坦白）这个组合中，Ａ和Ｂ都不能通过单方面的改变行动增加自己的收益，于是谁也没有动力游离这个组合，因此这个组合是纳什均衡。

囚徒困境反映了个人理性和集体理性的矛盾。

如果Ａ和Ｂ都选择抵赖，各判刑１年，显然比都选择坦白各判刑８年好得多。

当然，Ａ和Ｂ可以在被警察抓到之前订立一个"攻守同盟"，但是这可能不会有用，因为它不构成纳什均衡，没有人有积极性遵守这个协定。

在经济学方面的实例:一．电信价格竞争根据我国电信业的实际情况，我们来构造电信业价格战的博弈模型。

假设此博弈的参加者为电信运营商A与B, 他们在电信某一领域展开竞争，一开始的价格都是P0。

A（中国电信）是老牌企业，实力雄厚，占据了绝大多数的市场份额；B（中国联通）则刚刚成立不久，翅膀还没有长硬，是政府为了打破垄断鼓励竞争而筹建起来的。

正因为B是政府扶植起来鼓励竞争的，所以B得到了政府的一些优惠，其中就有B的价格可以比P0低10％。

这一举动，还不会对A产生多大的影响，因为A的根基实在是太牢固了。

在这样的市场分配下，A、B可以达到平衡，但由于B在价格方面的优势，市场份额逐步壮大，到了一定程度，对A造成了影响。

这时候，A该怎么做？不妨假定：A降价而B维持，则A获利15，B损失5，整体获利10；A维持且B也维持，则A获利5，B获利10，整体获利15；A维持而B降价，则A损失10，B获利15，整体获利5；A降价且B也降价，则A损失5，B损失5，整体损失10。

从A角度看，显然降价要比维持好，降价至少可以保证比B好，在概率均等的情况下，A降价的收益为15×50％－5×50％＝5，维持的收益为5×50％－10×50％＝－2．5，为了自身利益的最大化，A就不可避免地选择了降价。

从B角度看，效果也一样，降价同样比维持好，其降价收益为5，维持收益为2．5，它也同样会选择降价。

在这轮博弈中，A、B都将降价作为策略，因此各损失5，整体损失10，整体收益是最差的。

这就是此博弈最终所出现的纳什均衡。

我们构造的这一电信业价格战博弈模型是典型的囚徒困境现象，各个局部都寻求利益的最大化，而整体利益却不是最优，甚至是最差。

许多其他行业的价格竞争都是典型的囚徒困境现象，如可口可乐公司和百事可乐公司之间的竞争、各大航空公司之间的价格竞争等等。

二．OPEC组织成员国之间的合作与背叛“囚徒困境”告诉我们，个人理性和集体理性之间存在矛盾，基于个人理性的正确选择会降低大家的福利，也就是说，基于个人利益最大化的前提下，帕累托改进得不到进行，帕累托最优得不到实现。

上述我们在对电信价格竞争的博弈分析中，只是一次性的“囚徒困境”博弈，因此得到了互相降价的纳什均衡。

而在现实生活当中，信任与合作很少达到如此两难的境地，无论在自然界还是在人类社会，“合作”都是一种随处可见的现象。

比如中东石油输出国组织（ＯｒｇａｎｉｚａｔｉｏｎｏｆＰｅｔｒｏｌｅｕｍＥｘｐｏｒｔｉｎｇＣｏｕｎｔｒｉｅｓ简称ＯＰＥＣ）的成立，本身就是要限制各石油生产国的产量，以保持石油价格，以便获取利润，是合作的产物。

OPEC之所以能够成立，各组织成员国之间之所以能够合作，是因为囚徒困境如果是一次性博弈(One shot game)的话，基于个人利益最大化，得到纳什均衡解，但如果是多次博弈，人们就有了合作的可能性，囚徒困境就有可能破解，合作就有可能达成。

连续的合作有可能成为重复的囚徒困境的均衡解，这也是博弈论上著名的“大众定理”(Folk Theorem)的含义。

合作的可能性不是必然性。

博弈论的研究表明，要想使合作成为多次博弈的均衡解，博弈的一方（最好是实力更强的一方）必须主动通过可信的承诺(Credible commitment) ，向另一方表示合作的善意，努力把这个善意表达清楚，并传达出去。

如果该困境同时涉及多个对手，则要在博弈对手中形成声誉，并用心地维护这个声誉。

这里“可信的承诺”是一个很牵强的翻译，“Credible commitment”并不是什么空口诺言，而是实实在在的付出。

所以合作是非常困难的。

所以OPEC组织经常会有成员国不遵守组织的协定，私自增加石油产量。

每个成员国都这样想，只要他们不增加产量，我增加一点点产量对价格没什么影响，结果每个国家都增加产量，造成石油价格下跌，大家的利润都受到损失。

当然，一些产量增加较少的国家损失更多，于是也更加大量生产，造成价格进一步下降--结果，陷入一个困境：大家都增加产量，价格下跌，大家再增加产量，价格再下跌……。

理论上，几乎所有的卡特尔都会遭到失败，原因就在于卡特尔的协定（类似囚犯的攻守同盟）不是一个纳什均衡，没有成员有兴趣遵守。

那么是不是不可能有卡特尔合作成功了？理论上，如果是无限期的合作，双方考虑长远利益，他们的合作是会成功的。

但只要是有限次的合作，合作就不会成功。

比如合作１０次，那么在第九次博弈参与人就会采取不合作态度，因为大家都想趁最后一次机会捞一把，反正以后我也不会跟你合作了。

但是大家料到第九次会出现不合作，那么就很可能在第八次就采取不合作的态度。

第八次不合作会使大家在第七次就不合作……一直到，从第一次开始大家都不会采取合作态度。

以上是运用博弈论中的经典案例“囚徒困境”对现实经济生活的一些简单的理论上的分析，虽然在现实生活当中影响人们决策和态度的因素很多，但是，博弈论作为现代经济学的前沿领域，始终是一个强有力的分析工具。

囚徒困境在理论上的延伸:一、博弈中最优策略的产生艾克斯罗德（Robert Axelrod）在开始研究合作之前，设定了两个前提：一、每个人都是自私的；二、没有权威干预个人决策。

也就是说，个人可以完全按照自己利益最大化的企图进行决策。

在此前提下，合作要研究的问题是：第一、人为什么要合作；第二、人什么时候是合作的，什么时候又是不合作的；第三、如何使别人与你合作。

社会实践中有很多合作的问题。

比如国家之间的关税报复，对他国产品提高关税有利于保护本国的经济，但是国家之间互提关税，产品价格就提高了，丧失了竞争力，损害了国际贸易的互补优势。

在对策中，由于双方各自追求自己利益的最大化，导致了群体利益的损害。

对策论以著名的囚犯困境来描述这个问题。

A和B各表示一个人，他们的选择是完全无差异的。

选择C代表合作，选择D代表不合作。

如果AB都选择C合作，则两人各得3分；如果一方选C，一方选D，则选C 的得零分，选D的得5分；如果AB都选D，双方各得1分。

显然，对群体来说最好的结果是双方都选C，各得3分，共得6分。

如果一方选C，一方选D，总体得5分。

如果两人都选D，总体得2分。

对策学界用这个矩阵来描述个体理性与群体理性的冲突：每个人在追求个体利益最大化时，就使群体利益受损，这就是囚徒困境。

在矩阵中，对于A来说，当对方选C，他选D得5分，选C只得3分；当对方选D，他选D得1分，选C得零分。

因此，无论对方选C或D，对A来说，选D都得分最多。

这是A单方面的优超策略。

而当两个优超策略相遇，即A，B都选D时，结果是各得1分。

这个结果在矩阵中并非最优。

困境就在于，每个人采取各自的优超策略时，得出的解是稳定的，但不是帕累托最优的，这个结果体现了个体理性与群体理性的矛盾。

在数学上，这个一次性决策的矩阵没有最优解。

如果博弈进行多次，只要对策者知道博弈次数，他们在最后一次肯定采取互相背叛的策略。

既然如此，前面的每一次也就没有合作的必要，因此，在次数已知的多次博弈中，对策者没有一次会合作。

如果博弈在多人间进行，而且次数未知，对策者就会意识到，当持续地采取合作并达成默契时，对策者就能持续地各得3分，但如果持续地不合作的话，每个人就永远得1分。

这样，合作的动机就显现出来。

多次对局下，未来的收益应比现在的收益多一个折现率W，W越大，表示未来的收益越重要。

在多人对策持续进行下去，且W比较大，即未来充分重要时，最优的策略是与别人采取的策略有关的。

假设某人的策略是，第一次合作，以后只要对方不合作一次，他就永不合作。

对这种对策者，当然合作下去是上策。

假如有的人不管对方采取什么策略，他总是合作，那么总是对他采取不合作的策略得分最多。

对于总是不合作的人，也只能采取不合作的策略。

艾克斯罗德做了一个实验，邀请多人来参加游戏，得分规则与前面的矩阵相同，什么时候结束游戏是未知的。

他要求每个参赛者把追求得分最多的策略写成计算机程序，然后用单循环赛的方式将参赛程序两两博弈，以找出什么样的策略得分最高。

第一轮游戏有14个程序参加，再加上艾克斯罗德自己的一个随机程序(即以50%的概率选取合作或不合作)，运转了300次。

结果得分最高的程序是加拿大学者罗伯布写的"一报还一报"(tit for tat)。

这个程序的特点是，第一次对局采用合作的策略，以后每一步都跟随对方上一步的策略，你上一次合作，我这一次就合作，你上一次不合作，我这一次就不合作。

艾克斯罗德还发现，得分排在前面的程序有三个特点：第一，从不首先背叛，即"善良的"；第二，对于对方的背叛行为一定要报复，不能总是合作，即" 可激怒的"；第三，不能人家一次背叛，你就没完没了的报复，以后人家只要改为合作，你也要合作，即"宽容性"。

为了进一步验证上述结论，艾氏决定邀请更多的人再做一次游戏，并把第一次的结果公开发表。