1．2 一般形式的柯西不等式
1．已知a ，b ，c 大于0，且a ＋b ＋c ＝1，则a 2＋b 2＋c 2的最小值为( )
A ．1
B ．4
C.13
D.12
解析：选C.根据柯西不等式，有(a 2＋b 2＋c 2)(12＋12＋12)≥(a ＋b ＋c )2＝1，
∴a 2＋b 2＋c 2≥13
. 2．设a 、b 、c 为正数，且a ＋2b ＋3c ＝13，则3a ＋2b ＋c 的最大值为( )
A ．13 B.13 C.1333 D.33
解析：选C.(a ＋2b ＋3c )[(3)2＋12＋(13)2] ≥(a ·3＋2b ·1＋3c ·13
)2 ＝(3a ＋2b ＋c )2.
∴(3a ＋2b ＋c )2≤1323
. ∴3a ＋2b ＋c ≤1333
. 当且仅当a 3＝2b 1＝3c 13时取等号． 又a ＋2b ＋3c ＝13，
∴此时a ＝9，b ＝32，c ＝13
. ∴3a ＋2b ＋c 有最大值1333
. 3．设x 1，x 2，x 3∈R ＋，且x 1＋x 2＋x 3＝1，则x 211＋x 1＋x 221＋x 2＋x 231＋x 3
的最小值为( ) A ．1 B.13
C.12
D.14
解析：选 D.(1＋x 1＋1＋x 2＋1＋x 3)(x 211＋x 1＋x 221＋x 2＋x 231＋x 3)＝[(1＋x 1)2＋(1＋x 2)2＋(1＋x 3)2]·[(x 11＋x 1)2＋(x 21＋x 2)2＋(x 31＋x 3
)2] ≥(1＋x 1·x 11＋x 1＋1＋x 2·x 21＋x 2
＋1＋x 3 ·x 31＋x 3
)2 ＝(x 1＋x 2＋x 3)2＝1，
∴x 211＋x 1＋x 221＋x 2＋x 231＋x 3≥14
.
4．已知a 、b 、c 均大于0，A ＝a 2＋b 2＋c 23，B ＝a ＋b ＋c 3
，则A ，B 的大小关系是( ) A ．A >B B ．A ≥B
C ．A <B
D ．A ≤B
解析：选B.∵(12＋12＋12)·(a 2＋b 2＋c 2)
≥(a ＋b ＋c )2，∴a 2＋b 2＋c 23≥(a ＋b ＋c )2
9
， 当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．
又a 、b 、c 均大于0，∴a ＋b ＋c >0，
∴ a 2＋b 2＋c 23≥a ＋b ＋c 3
，故选B. 5．(2013·南通调研)若正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，则13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2
的最小值是( ) A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
解析：选A.因为正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，
所以(13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2)[(3a ＋2)＋(3b ＋2)＋(3c ＋2)]≥(1＋1＋1)2，即13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2
≥1， 当且仅当3a ＋2＝3b ＋2＝3c ＋2，即a ＝b ＝c ＝13
时，原式取最小值1. 6．已知a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，x 21＋x 22＋…＋x 2n ＝1，则a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值为( )
A ．1
B ．－1
C ．0
D ．不确定
解析：选A.∵(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(x 21＋x 22＋…＋x 2n )≥(a 1x 1＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a n x n )2，
∴(a 1x 1＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a n x n )2≤1.
即a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n ≤1.
7.（2013湖南卷）
8．已知a 、b 、c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，则4a ＋1＋4b ＋1＋4c ＋1的最大值是________． 解析：由柯西不等式得： (4a ＋1＋4b ＋1＋4c ＋1)2
＝(1×4a ＋1＋1×
4b ＋1＋1×4c ＋1)2 ≤(12＋12＋12)(4a ＋1＋4b ＋1＋4c ＋1)＝21，
当且仅当a ＝b ＝c ＝13
时，取等号． 答案：21
9．设a ，b ，c ，x ，y ，z 都是正数，且a 2＋b 2＋c 2＝25，x 2＋y 2＋z 2＝36，ax ＋by ＋cz ＝30，则a ＋b ＋c x ＋y ＋z
＝________. 解析：由柯西不等式知：25×36＝(a 2＋b 2＋c 2)·(x 2＋y 2＋z 2)≥(ax ＋by ＋cz )2＝302＝25×36，
当且仅当a x ＝b y ＝c z
＝k 时取“＝”． 由k 2(x 2＋y 2＋z 2)2＝25×36，解得k ＝56
. 所以a ＋b ＋c x ＋y ＋z
＝k ＝56. 答案：56
10．已知a ，b ，c ，d ，e 满足a ＋b ＋c ＋d ＋e ＝8，a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋e 2＝16，求e 的范围． 解：∵4(a 2＋b 2＋c 2＋d 2)＝(1＋1＋1＋1)(a 2＋b 2＋c 2＋d 2)≥(a ＋b ＋c ＋d )2，
∴4(16－e 2)≥(8－e )2，
∴5e 2－16e ≤0.
解得0≤e ≤165
. 11．(2013·淮南质检)已知x 2＋3y 2＋4z 2＝2，求证：|x ＋3y ＋4z |≤4.
证明：由柯西不等式知
(x 2＋3y 2＋4z 2)(1＋3＋4)≥(x ＋3y ＋4z )2.
又∵x 2＋3y 2＋4z 2＝2，
∴2×8≥(x ＋3y ＋4z )2，
∴|x ＋3y ＋4z |≤4.
12．设x ，y ，z ∈R ＋，且2x ＋3y ＋5z ＝29，求2x ＋1＋3y ＋4＋5z ＋6的最大值． 解：∵2x ＋3y ＋5z ＝29，
∴()2x ＋1＋3y ＋4＋5z ＋62
≤()1·2x ＋1＋1·3y ＋4＋1·5z ＋62
≤()12＋12＋12[()2x ＋12＋()3y ＋42＋()
5z ＋62] ＝3(2x ＋3y ＋5z ＋11)＝120， ∴2x ＋1＋3y ＋4＋5z ＋6≤230.
当且仅当2x ＋1＝3y ＋4＝5z ＋6，
即x ＝376，y ＝289，z ＝2215
时，等号成立． ∴
2x ＋1＋3y ＋4＋5z ＋6的最大值为230.。