第２ ６卷 第 ５期
２１ ０ ２年 ９月
甘 肃联 合 大 学 学 报 （ 自然 科 学 版 ）
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆ ｎ ｕ Ｌｉｎ ｅ Ｕｎ ｖ ｒ ｉ （ ｔ ｒ ｌ ｃｅ ｃ ｓ ｏ ｒ ａ ｏ Ｇａ ｓ ａ ｈ ｉ ｅ ｓｔ Ｎａ ｕ ａ ｉｎ ｅ ） ｙ Ｓ
Ｖｏ１ ２ ． ６ ＮＯ． ５
ｆ ，
一
ａ
（ 一。 ， Ｅ ［ ，］ ） 口 ６．
由于 函数 厂 ｚ 在 闭 区间 ［ ，］ 连续 ， 开 （） ｎ６上 在
区间 （ ６ 上 可 导 ， ｎ， ） 因此 ， 数 （ 也 在 闭 区 间 函 ）
［ ，］ 连 续 ， 开 区 间 （ ， ） 可 导 ， 有 声 ｎ 口６上 在 ａ６上 并 （）
Ｓｅ ｔ ２ ２ ｐ ． Ｏ１
文章 编 号 ：１７ —９ Ｘ（０ ２０ —１００ ６ ２６ １ ２ １ ）５０ ０ —４
微 分 中值 定理 证 明 方 法
李 飞 飞 ， 临龙 赵
（ 康学 院 数学 与 应 用数 学 研 究 所 ， 西 安 康 ７ ５０ ） 安 陕 ２ ０ ０
摘 要 ： 用 Ｒ ｌ 中 值 定 理 ， 出 Ｌ ｇａ ｇ 利 ｏｌ ｅ 给 ａ ｒｎ ｅ中值 定 理 和 Ｃ ｕｈ ａ ｃｙ中值 定 理 的 作 辅 助 函 数 、 何 作 图证 明 、 角 几 三
形 面积 法 证 明方 法 ．
关键 词 ： ａｒｎ ｅ 值 定 理 ； ａｅ ｙ中值 定 理 ； ｏｌ 理 ； 明方 法 Ｌ ｇａｇ 中 Ｃ ｕｈ Ｒｌ ｅ定 证
中 图 分 类 号 ： ７ ． Ｏ１ ４ １ 文献标识码 ： Ａ
０ 引 言 及 预备 知 识
微 分 中值 定 理在《 数学 分析 》 中有 着重要 的地
．
Ｏ 口 ６ ｊ
（） １ 作辅 助 函数
（ ）一 ＿ ） ｆ ａ 一 ｚ 厂 （ 一 （）
图 １
（ ） 角形 面积法 ３三 如图 ２ 设 函数 声 ｚ） 示 以 曲线 上 的三 个 点 ， （ 表 （ ， （ ） ，６ － ６ ） （ － ） 为顶 点 的 三 角形 口 ＿ ｎ ） （ ， （ ） ，ｚ， （ ） 厂 厂 厂 的 面积 ， 面积表 达式 为
一
点 ∈（ ， ） 使 得 ≯ （） ｎ６ ， 一０ 即 ｆ（ ） ＿ ６ 一 ， ａ一厂 ） （
（ －ｂ ｆ （） ， 出 口 ） 一０ 推
） 一 ．
圈 ３
２ 柯 西 中值 定 理 证 明
Ｃ ｕｈ ａ ｃ ｙ中值 定理 … 设 函数 － ） ｇ ） 厂 （ 和 （ 满
， （）一 ．
１ 拉 格 朗 日中值 定 理 证 明
Ｌ ｇａ ｇ ａ ｒｎ ｅ中值 定 理 在一 点 ∈（ ，） 使得 ｎ６ ，
厂 （）一
证 明
） ， ‘
， ｆ
，
设 函数 厂（ 在 闭 区 ｚ）
间 ［ ，］ 连续 ， 口 ６上 在开 区间 （ ， ） 可导 ， 至少 存 ｎ ６上 则
连续 ， 开 区间 （ ， ） 可 导 ， ｆ（ ） 厂 ６ ， 在 口６上 且 ａ ：＿（ ） 则 至少存 在一 点 ∈（ ，） 使 得 ｆ （） ． 口６， 一０
平 移直 线 Ｚ至它 与 曲 线 ＿（ 相 切 时 ， ｘ） 对 ， 厂 ） ｆ（ 所 应 的点 ∈（ ，） 且 ｎ ６ ，口
一
（ ＝０． ６）＝ ＝
于是 由罗尔 中值 定 理 ， 至少 存 在一 点 ∈（ ， ａ
６， ） 使得 （） ． ＝０ 对 （ 求导 并 令 （） ｚ） 一０ 对 ， 其整 理后 ， 得
厂 （ ）一 ．
图 ２
（ ） 何作 图证 明 ２几
收 稿 日期 ： ０ ２０ — ３ ２ １ — ５２ ．
＋ａ ６ ｆ（ ）一 （ ， ｎ）
船＝ ＝
．
其中， ｚ∈Ｆ ，］ 显 然有 （ ） （ ）＝ ， 声 ） ａ ６． ｎ 一声 ６ ＝ ０ 且 （ ＝ 亦 是一 个在 ［ ６ 连续 ， （ ， ） 导 的 函数 ， 此 ，］ 在 “ ６可 因 （ 满足 罗尔 中值 定 理 的所 有 条 件 ， ） 即至 少存 在
（ｉ 在［ ，］ ） ｎ ６ 上都 连续 ； （Ｉ） （ ，） ｉ 在 口 ６ 内都 可导 ；
如 图 １ 由 于 （ ， （ ） ，６ ｆ ６ ） 连 线 的 方 ， ＆ ｆ ａ ） （， （） 的
程 为 Ｚ ：
：
位 与作 用 引， 成为人 们研 究 的热 点 问题 ， 专著 见
ｂ
—— ａ
（ 一 口） 厂（ ， ＋ ）
［］ ３ 和论 文 ［ —６ ． ４ ］ Ｒｌ ｏｌ ｅ定理 设 函
基金项目： 安康学院大学生科技创新项 目（０１ Ｋ Ｙ Ｘ ０）安康学院重点扶持学科建设项目（ Ｚ Ｚ１７ ２１Ａ Ｘ Ｄ Ｓ９； Ａ Ｘ ００）
作 者 简 介 ： 飞 飞 （９ ０） 男 ， 西 宝 鸡 人 ， 校 学 生 ， 要 从 事 基 础 数 学 的研 究 与 学 习． 李 １ ９一 ， 陕 在 主
足
即 Ｃ ｕｈ ａ ｃ ｙ中值 定理 也 可 以看 成 是 Ｌ ｇａ ｇ ａ ｒｎ ｅ 中值定 理 的参数 表达 形式 ． （ ） 角形 面积 法 ３三 如 图 ４ 设 函数 （ ） 示 以 曲线 上 的三个 点 ， ｚ表
（ （ ） ｆ ａ ） （ ６ ， ６ ） （ ） ｆ（ ） 顶 ｇ ｎ ， （ ） ， ｇ（ ） 厂（ ） ，ｇ（ ， ｘ） 为
第 ５期
李 飞 飞 等 ： 分 中值 定 理 证 明 方 法 微
１１ Ｏ
ｚ ｆ（ ）
（ ） 一 ａ ｆ（ ｄ）
设 一， 应 于 ｔ ∈（ ６ ， 由参 数 形 式 ７ 对 一 口，） 则 函数 的求 导 公式 ， 有
ｂ ｆ（ ） ｂ
Ｅ （ ） － ６ ］ 一 （ ６ ／ ） ｆ ａ 一 厂 ）－ （ ｔ ｎ一 ） ， （