3． lim ( x, y)(0,0)
x2 y2 x2 y2

0
，
(x,
lim
y)(0,0)
1 x2 y2 x2 y2
， lim (x, y)(0,0)
x2 y2
2，
1 x2 y2 1
lim (x
(x, y)(0,0)
y) sin
x2
1
y2

0
，
xx0 y y0
y y0 xx0
( x, y )( x0 , y0 )
2．若累次极限 lim lim f (x, y) 与 lim lim f (x, y) 存在但不相等，则重极限 lim f (x, y) 必不存在．
xx0 y y0
y y0 xx0
( x, y )( x0 , y0 )
f (x) 是以 2 为周期且在[ , ] 上可积的函数：
1．
f
(x)

a0 2

n1
(an
cos nx
bn
sin
nx)
， a0

1

f (x)dx ，

-2-
《数学分析（3）》复习资料
中南财经政法大学 统数学院信科 1101 陈弄祺整理
an

1


r
1上 一 致 收 敛
1上 不 一 致 收 敛

．
（6）函数项级数
xn 在[0,1] 上一致收敛． n2
（7）函数项级数
(1)n1 在 (, ) 上一致收敛． x2 n
（8）函数项级数
x2 (1 x2 )n1
在
(, )
上不．一致收敛．
第十四章 幂级数（10%）
则（i）当 AC B2 0 ， A 0 时， f 在点 P0 取得极小值； （ii）当 AC B2 0 ， A 0 时， f 在点 P0 取得极大值； （iii）当 AC B2 0 时， f 在点 P0 不能取得极值； （iv）当 AC B2 0 时，不能肯定 f 在点 P0 是否取得极值．
．
z z x z y t x t y t
3．若函数 f 在点 P0 可微，则 f 在点 P0 沿任一方向 l(x0 , y0 , z0 ) 的方向导数都存在，且
fl (P0 ) fx (P0 ) cos f y (P0 ) cos fz (P0 ) cos ，其中 cos ， cos ， cos 为方向 l(x0 , y0 , z0 ) 的方向余弦，



y Fz

y0 Fx



z Fx

z0 Fy

，

Gy
Gz


Gz
Gx


Gx
Gy

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法．线．方程为

Fy Gy
Fz Gz

(
x
0
l
f
(x)

a0 2

n1
an
cos nx
， an

1
f (x) cos nxdx 2


f (x) cos nxdx ， n 1, 2,．
0
（2）奇函数的傅里叶级数：
f
(x)

n 1
bn
sin
n l
x
， bn

1 l
l f (x) sin n x dx 2
Fx Gx
， J yv

Fy Gy
Fv Gv
， Juy

Fu Gu
Fy ， Gy
u J xv ， v Jux ， u J yv ， v Juy ．
x
Juv x
Juv y
Juv y
Juv
4．平面曲线 F (x, y) 0 在点 P0 (x0 , y0 ) 的切．线．方程为 Fx (x0 , y0 )(x x0 ) Fy (x0 , y0 )( y y0 ) 0 ，


1 (1 x2 )
( x 1) ．
（5）
n2
n(n
1) x n2

n1
(xn )


n1
xn


x 1 x 源自 1 (1 x2 )


1 (1 x)3
第十五章 傅里叶级数（10%）
( x 1) ．

1．对于幂级数
n0
an xn
，若 lim n
n
an
（ lim an1 a n
n
）
则（i）当 0 时，收敛半径 R ，收敛域为 (, ) ；
-1-
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（ii）当 时，收敛半径 R 0 ，仅在 x 0 处收敛；
(x,
lim
y )( 0,0)
sin(x2 y2 x2 y2
)
1．
第十七章 多元函数微分学（20%）
1．全微分： dz z dx z dy ． x y
z
z
z
x
y
2．
x
y
x
x y
y
s
t
s
t
s
t
s
t
z z x z y s x s y s
梯度，记作 gradf ( fx (P0 ), f y (P0 ), fz (P0 )) ．向量 gradf 的长度（或模）为 gradf fx (P0 )2 f y (P0 )2 fz (P0 )2 ．
5．设 z

f (x
y, xy) ，
f
有二阶连续偏导数，则有 z x

f1 1
-3-
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即 cos
x0
， cos
y0
， cos
z0
．
x02 y02 z02
x02 y02 z02
x02 y02 z02
4．若 f (x, y, z) 在点 P0 (x0 , y0 , z0 ) 存在对所有自变量的偏导数，则称向量 ( fx (P0 ), f y (P0 ), fz (P0 )) 为函数 f 在点 P0 的
（3）函数列
fn (x)

1
x n2 x2
,n
1, 2, 在 (, )
上一致收敛．
（4）函数列
fn (x)

x n
,n
1, 2, 在[0, )
上不．一致收敛．
（5）函数列
fn (x)

sin
x n
,n
1, 2,
在 (, ) 上不．一致收敛．

3．（1）函数项级数 xn 在 (1,1) 上不．一致收敛． n0
f

2

y

f1
yf2
，
2z xy



z x

y

(
f1

yf

2
)
y

f11 1
f12 x
f2

y(
f

21
1

f

22

x)

f

2

f11 (x
y)
f12

xyf

22
．
6． 设 fx (P0 ) f y (P0 ) 0 ，令 fxx (P0 ) A ， fxy (P0 ) B ， f yy (P0 ) C ，
fn (x)

sin nx n
,n
1, 2, 收敛域为 (, )
，极限函数为
f
(x)

0
．
2．（1）函数列 fn (x) nxenx2 , n 1, 2,在 (0, ) 上不．一致收敛．
（2）函数列 fn (x)
x2 1 , n 1, 2, 在 (1,1) 上一致收敛． n2
（4） ln(1 x) (1)n1 xn (1)n xn1(1 x 1) ， ln(1 x) xn (1 x 1) ．
n 1
n
n0 n 1
n1 n

（5） sin x
(1)n x2n1 ， cos x (sin x) (1)n x2n ( x ) ．
f
(x) cos nxdx ， bn

1
f (x) sin nxdx ， n 1, 2,．

2． f (x) a0 2

n1

an
cos
n l
x

bn
sin
n l
x

，
a0
1 l
l l
f (x)dx ，
an
1 l
l l
f
(
x)
cos
n l
第十八章 隐函数定理及其应用（10%） 1．隐函数 F (x, y) 0 ，则有 dy Fx ．
dx Fy
2．隐函数 F (x, y, z) 0 ，则有 z Fx ， z Fy ． x Fz y Fz