数学悖论与数学发展
悖论是强烈违反我们直觉的问题。

尽管从古希腊起至今，悖论一直给人们带来很大乐趣，可
是最伟大的数学家都总是极严肃地对待它。

在发展现代逻辑学和集合论等数学史上一些巨大
进展正是努力解决经典悖论的直接结果。

一、毕达哥拉斯悖论与第一次数学危机
1．第一次数学危机的内容
公元前六世纪，在古希腊学术界占统治地位的毕达哥拉斯学派，他们认为万物皆数，而数只
有两种，就是正整数和可通约的数。

然而不久毕达哥拉斯学派的一个学生希伯斯学习勾股定
理时，提出了一个问题：假设正方形边长为 1，并设其对角线长为 d，依勾股定理应有 d2＝
12＋12＝2，即 d2＝12＋12＝2，那么 d是多少呢？希伯斯花了很多时间来寻找这两个整数之比，结果没找到，反而找到了两数不可通约性的证明。

这一发现历史上称为毕达哥拉斯悖论。

2．第一次数学危机的影响
第一次数学危机的影响是巨大的，它极大的推动了数学及其相关学科的发展。

首先，第一次
数学危机让人们第一次认识到了无理数的存在，无理数从此诞生了，之后，许多数学家正式
研究了无理数，给出了无理数的严格定义，提出了一个新的数类——实数，并建立了完整的
实数理论，为数学分析的发展奠定了基础。

其次，第一次数学危机表明，直觉和经验不一定
靠得住，推理证明才是可靠的，从此希腊人开始重视演绎推理，并由此建立了几何公理体系。

欧氏几何就是人们为了消除矛盾，解除危机，在此时应运而生的。

第一次数学危机极大地促
进了几何学的发展，使几何学在此后两千年间成为几乎是全部严密数学的基础，这不能不说
是数学思想史上的一次巨大革命。

二、贝克莱悖论与第二次数学危机
1．第二次数学危机的内容
公元 17世纪，牛顿和莱布尼兹创立了微积分，微积分能提示和解释许多自然现象，它在自
然科学的理论研究和实际应用中的重要作用引起人们高度的重视。

然而，因为微积分才刚刚
建立，这时的微积分只有方法，没有严密的理论作为基础，许多地方存在漏洞，还不能自圆
其说。

对于牛顿对求导过程的论述，哲学家贝克莱发现了其中的问题，他一针见血的指出，在同一
问题的讨论中，将所谓的无穷小量有时作为 0，有时又异于 0的做法，不得不让人怀疑。

无
穷小量究竟是不是0？无穷小及其分析是否合理？贝克莱悖论的出现危及到了微积分的基础，引起了数学界长达两个多世纪的论战，从而形成了数学发展史中的第二次危机。

2．第二次数学危机的影响
第二次数学危机出现后，经过欧拉、拉格朗日等人的努力，微积分取得了一些进展；从 19
世纪开始为彻底解决微积分的基础问题，柯西、外尔斯特拉斯等人进行了微积分理论的严格
化工作。

在解决使无穷小数学化的问题上，出现了罗比达公理，而柯西又采用的ε .δ 方法刻
画无穷小，无穷小被极限代替了。

后来外尔斯特拉斯又给出了极限的严格定义，建立了极限
理论，使微积分建立在极限基础之上。

极限的ε .δ 定义就是用静态的ε .δ 刻画动态极限，用
有限量来描述无限性过程，它是从有限到无限的桥梁和路标，它表现了有限与无限的关系，
使微积分朝科学化、数学化前进了一大步。

极限理论的建立加速了微积分的发展，它不仅在
数学上，而且在认识论上也有重大的意义。

后来在考查极限理论的基础中，经过代德金、康
托尔、海涅、外尔斯特拉斯和巴门赫等人的努力，产生了实数理论；在考查实数理论的基础
时，康托尔又创立了集合论。

这样有了极限理论、实数理论和集合论三大理论后，微积分才
算建立在比较稳固和完美的基础之上了，进而开辟了下一个世纪的函数论的发展道路。

三、罗素悖论与第三次数学危机
1．第三次数学危机的内容
19世纪 70年代，德国数学家康托尔创立了集合论，为整个数学大厦奠定坚实的基础。

1900年，在巴黎召开的国际数学家会议上，法国数学家庞加莱宣布：“我们可以说，现在数学已经达到了绝对的严格。

”然而，英国数学家罗素 1902年提出了著名的“罗素悖论”：设集合 B是
一切不以自身为元素的集合所组成的集合，问：B是否属于 B？若 B属于 B，则 B是 B的元素，于是 B不属于自身，即 B不属于 B；反之，若 B不属于 B，则 B不是 B的元素，于是 B属于
自己，即 B属于 B。

这样，利用集合的概念，罗素导出了——集合 B不属于 B当且仅当集合 B 属于 B时成立的悖论。

之后，罗素本人还提出了罗素悖论的通俗版本，即“理发师悖论”。

罗
素悖论的出现，动摇了数学的基础，震撼了整个数学界，导致了第三次数学危机。

2．第三次数学危机的影响
罗素悖论导致的第三次数学危机，使数学家们面临着极大的困难。

值得庆幸的是，产生罗素
悖论的根源很快被找到了，原来康托尔提出集合论时对“集合”的概念没有做必要的限制，以
至于可以构造“一切集合的集体”这种过大的集合而产生了悖论。

为了从根本上消除集合论中出现的各种悖论，特别是罗素悖论，许多数学家进行了不懈的努力。

如以罗素为主要代表的逻辑主义学派，提出了类型论以及后来的曲折理论、限制大小理论、非类理论和分支理论，这些理论都对消除悖论起到了一定的作用；而最重要的是德国数
学家策梅罗提出的集合论的公理化，策梅罗认为，适当的公理体系可以限制集合的概念，从
逻辑上保证集合的纯粹性，他首次提出了集合论公理系统，后经费兰克尔、冯·诺伊曼等人的
补充形成了一个完整的集合论公理体系（ZFC系统），在 ZFC系统中，“集合”和“属于”是两个
不加定义的原始概念，另外还有十条公理。

ZFC系统的建立，使各种矛盾得到回避，从而消
除了罗素悖论为代表的一系列集合悖论，第三次数学危机也随之销声匿迹了。

四、结语
数学发展的历史表明每一次危机的消除都会给数学带来许多新内容、新认识，甚至是革命性
的变化，使数学体系达到新的和谐，数学理论得到进一步深化和发展。

悖论的存在反映了数
学概念、原理在一定历史阶段会存在很多矛盾，导致人们的怀疑，产生危机感，然而事物就
是在不断产生矛盾和解决矛盾中逐渐发展完善起来的，旧的矛盾解决了，新的矛盾还会产生，而就是在其过程中，人们才不断积累了新的认识、新的知识，发展了新的理论。

数学家对悖
论的研究和解决促进了数学的繁荣和发展，数学中悖论的产生和危机的出现，不单给数学带
来麻烦和失望，更重要的是给数学的发展带来新的生机和希望。