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教学内容
1、时域模型：分别通过从简单的电学电路和力学 时域模型： 系统讲解，如何建立数学模型; 系统讲解，如何建立数学模型; 复域模型：重点介绍传递函数的概念； 2、复域模型：重点介绍传递函数的概念； 讲解传递函数的极点对系统性能的影响； 3、讲解传递函数的极点对系统性能的影响； 介绍典型环节的传递函数； 4、介绍典型环节的传递函数； 系统的结构图及化简； 5、系统的结构图及化简； 系统的信号流图和梅逊(Meson)公式； (Meson)公式 6、系统的信号流图和梅逊(Meson)公式； 闭环系统的传递函数和误差传递函数。 7、闭环系统的传递函数和误差传递函数。
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图2-3 电枢控制直流电动机原理图 41
解： 电枢控制直流电动机的工作实质是将输入 的电能转换为机械能 由输入的电枢电压U 由输入的电枢电压 a (t)在电枢回路中产生电枢电流 在电枢回路中产生电枢电流 ia(t)，再由电流 a (t)与激磁磁通相互作用产生电磁转距 ，再由电流i 与激磁磁通相互作用产生电磁转距 Mm(t)，从而拖动负载运动。 ，从而拖动负载运动。 因此，直流电动机的运动方程可由以下三部分组成。 因此，直流电动机的运动方程可由以下三部分组成。 1、电枢回路电压平衡方程 、 ＋ if 2、电磁转距方程 、 3、电动机轴上转距平衡方程 、
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第二章控制系统的数学模型
5、数学模型分为动态模型与静态模型。 a控制系统的动态模型是指描述变量各阶导数之间 关系的方程。即线性定常微分方程，可由此分析系统 的动态特性。 b 控制系统的静态模型是指在静态条件下（即变量 的各级导数为零），描述变量之间关系的代数方程。 6、建立系统数学模型时，必须 （1）全面了解系统特性，确定研究目的以及准确性 要求，决定能否忽略一些次要因素而简化系统的数学 模型。 （2）根据所应用的系统分析方法,建立相应形式的数 学模型。 9
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第二章控制系统的数学模型
8、数学模型有3种形式 、数学模型有 种形式
以时间为变量所建立的模型称为时域模型 时域模型— 1). 以时间为变量所建立的模型称为时域模型—微分 方程、差分方程、状态方程。 方程、差分方程、状态方程。 在复平面内建立的模型称为复域模型 传递函数、 复域模型— 2). 在复平面内建立的模型称为复域模型—传递函数、 方框图、信号流图。 方框图、信号流图。 以频率为变量所建立的模型称为频域模型 频域模型— 3). 以频率为变量所建立的模型称为频域模型—频率 特性（波特图、奈氏曲线图）。 特性（波特图、奈氏曲线图）。 同一系统所取变量不同，其模型也不同， 同一系统所取变量不同，其模型也不同，因此同一系 统可用多种方法去研究。 统可用多种方法去研究。
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补充： 补充：元件的运算模型
L ui(t) R C
uo(t)
复数域的方程。就例2 而言有： 复数域的方程。就例2-1而言有：
U L ( s ) = Ls I ( s ) ； U R ( s ) = RI ( s ) ；U o ( s ) = 1 I ( s ) ； Cs U i (s) = U L (s) + U R (s) + U o (s) ；
第二章控制系统的数学模型
7、建立数学模型主要途径
控制系统数学模型的要求可采用解析法和实验法 解析法是根据系统和元件所遵循的有关定律来建立数学 模型的。用解析法建立数学模型时，对其内部所体现 的运动机理和科学规律要十分清楚，要抓住主要矛盾 ，忽略次要矛盾，力求所建立的数学模型要合理。 实验法是根据实验数据来建立数学模型的，即人为地在 系统上加上某种测试信号，用实验所得的输入和输出 数据来辨识系统的结构，阶次和参数，这种方法也称 为系统辨识。 仿真实验法 在模型上(物理的/数学的)所进行的系统性 10 能分析与研究方法。
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(3)列出中间变量的表达式: (t ) = Kx (t ), F1 (t ) = f dt
(4)将中间变量带入原始方程， (4)将中间变量带入原始方程，可到系统的微分方 将中间变量带入原始方程 程为： 程为：
dx(t ) d 2 x(t ) F (t ) − Kx(t ) − f =m dt dt 2 d 2 x(t ) dx(t ) ⇒m +f + Kx(t ) = F (t ) 2 dt dt
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2-1 控制系统的时域数学模型
1. 线性元件的微分方程
由电阻R 电感L和电容C组成的R 例1 : 由电阻R、电感L和电容C组成的R-L-C无 系统。写出以u 为输入量， 源网络 系统。写出以 i(t) 为输入量， uo(t) 为输出量的网络微分方程。
ui (t )
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(1)确定系统的输入为电压 解: (1)确定系统的输入为电压 ui (t )，输出为电容电 压 u0 (t ) ，中间变量为电流 i (t ) 。 电容：电压与电流的关系： 电容：电压与电流的关系：
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教学重点与教学学时
1、系统时域模型的建立—微分方程； 系统时域模型的建立—微分方程； 复域s模型－－传递函数(Transfer function)； －－传递函数 2、复域s模型－－传递函数(Transfer function)； 传递函数的零、极点对系统性能的影响； 3、传递函数的零、极点对系统性能的影响； 系统的方框图、传递函数和信号流图； 4、系统的方框图、传递函数和信号流图； 教学学时： 学时。 5、教学学时：10 学时。
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例3：右图所示为电枢控制直流电动机的微分方程，要 ：右图所示为电枢控制直流电动机的微分方程， 求取电枢电压U 为输入量， 求取电枢电压 a(t)(v)为输入量，电动机转速 m(t)(rad/s) 为输入量 电动机转速ω 为输出量，列写微分方程。 为输出量，列写微分方程。 ＋ 图中R 图中 a(Ω)、La(H）分别是 ） i 电枢电路的电阻和电感， 电枢电路的电阻和电感， L R Mc(N·M)是折合到电动机 ＋ 是折合到电动机 i ω 轴上的总负载转距。 轴上的总负载转距。 负 J ,f U SM E 载 激磁磁通为常值。 激磁磁通为常值。
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第二章控制系统的数学模型
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第二章控制系统的数学模型
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第二章控制系统的数学模型
摘要 1、描述系统各变量之间关系的 数学表达式，就做 系统的数学模型。实际存在的系统的动态特性都可 以通过数学模型来描述(例如微分方程、传递函数 等)。 2、自动控制系统的组成可以是电气的，机械的， 液压的，气动的等等，然而描述这些系统的数学模 型却可以是相同的。因此，通过数学模型来研究自 动控制系统，就摆脱了各种类型系统的外部关系而 抓住这些系统的共同运动规律，控制系统的数学模 型是通过物理学,化学,生物学等定律来描述的,如机 械系统的牛顿定律，电气系统的基尔霍夫定律等都 是用来描述系统模型的基本定律。
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第二章控制系统的数学模型
3、建立合理的控制系统数学模型是控制系统分析 中最重要的内容，与系统性能密切相关。如果描述 系统的数学模型是线性的微分方程，则该系统为线 性系统，若方程中的系数是常数，则称其为线性定 常系统。本章将对系统和元件的数学模型建立，主 要讨论的是线性定常系统。 4、线性系统最重要的特性是可用叠加原理。对非 线性系统当非线性不严重或变量变化范围不大时， 可利用小偏差线性化的方法使数学模型线性化。以 后各章所讨论的系统，除第8章外，均指线性化的 系统。
di (t ) 1 Ri (t ) + L + ∫ i (t )dt = ui (t ) dt C (3)列写中间变量 与 的关系式： (3)列写中间变量i (t ) u0(t) 的关系式：
1 u0 (t ) = ∫ i (t ) dt C
(4)消去中间变量， (4)消去中间变量，得到了描述网络输出输入关 消去中间变量 系的微分方程： 系的微分方程：
1 u0 (t ) = ∫ i (t )dt C
du0 (t ) i (t ) = C dt
电感：电流与电压的关系： 电感：电流与电压的关系：
di (t ) u L (t ) = L dt
1 i (t ) = ∫ u L (t )dt L
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(2)由基尔霍夫定律可得回路方程： (2)由基尔霍夫定律可得回路方程： 由基尔霍夫定律可得回路方程
消去中间变量 I(s)，得 取拉氏反变换
d 2u0 (t ) du0 (t ) LC + RC + u0 (t ) = ui (t ) 2 dt dt
( LCs 2 + RC2 s + 1)U o ( s ) = U i ( s ) 。
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弹簧-质量-阻尼的机械位移系统。写出质量块m在 例2 弹簧-质量-阻尼的机械位移系统。写出质量块 在 受外力F(t)作用下，位移 的运动方程。 作用下， 的运动方程。 受外力 作用下 位移x(t)的运动方程 解：这是一个经典的直线机械位移 动力学系统， 动力学系统，可以假定系统采用 为质点。 集中参数 m为质点。 为质点 弹性力：是一种弹簧的弹性恢复力: 弹性力：是一种弹簧的弹性恢复力: F2 (t ) = Kx(t ) 阻尼器： 阻尼器：平动阻尼器阻尼力 :
d 2u0 (t ) du0 (t ) LC + RC + u0 (t ) = ui (t ) 2 dt dt
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建立数学模型的步骤
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补充： 补充：元件的运算模型
电阻 uR = Ri 复阻抗 U ( s) = RI ( s)
R
电感 复阻抗 di uL = L U ( s ) = LsI ( s ) - Li (0-) dt 电容 复阻抗 dUC (t ) iC = C IC (s)=CsUC (s)-Cuc (0-) dt